Examkin

Soru

Zorluk: ZorTek ve Çift Sayılar

xx, yy ve zz birer tam sayı olmak üzere,

x2+y⋅zx^2 + y \cdot z

ifadesinin bir tek sayı,

x+y+zx + y + z

ifadesinin ise bir çift sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

  1. A
    x⋅y+zx \cdot y + z
  2. B
    x⋅z+yx \cdot z + y
  3. x⋅y⋅zx \cdot y \cdot zCevap
  4. D
    x⋅y+y⋅z+x⋅zx \cdot y + y \cdot z + x \cdot z
  5. E
    (x+y)⋅z(x + y) \cdot z

Cevap

x⋅y⋅zx \cdot y \cdot z ifadesi her zaman çift sayıdır.
Yapılan analizde, koşulları sağlayan tüm durumlarda xx, yy ve zz sayılarından tam olarak bir tanesinin çift sayı olduğu görülmüştür. Çarpanlardan en az biri çift sayı olduğunda, bu sayıların çarpımı olan x⋅y⋅zx \cdot y \cdot z ifadesi her zaman bir çift sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1
x2+y⋅zx^2 + y \cdot z ifadesinin teklik-çiftlik durumunu sadeleştirme.
x+y⋅zx + y \cdot z ifadesinin tek sayı olduğu bulunur.
Herhangi bir tam sayının karesi ile kendisi aynı teklik-çiftlik karakterine sahiptir. Bu nedenle x2x^2 yerine xx yazarak inceleme yapabiliriz.
2
xx sayısının çift olması durumunu inceleme.
xx çift ise y⋅zy \cdot z tek olmalı, bu da yy ve zz sayılarının her ikisinin de tek olmasını gerektirir.
xx çift iken toplamın tek olması için y⋅zy \cdot z çarpımının tek olması gerekir. İki tam sayının çarpımı tek ise bu sayıların her ikisi de tek olmak zorundadır.
3
xx çift iken ikinci koşulu kontrol etme.
xx çift, yy tek ve zz tek olduğunda x+y+zx + y + z toplamı çift olur, bu da ikinci koşulu doğrular.
Çift ++ Tek ++ Tek == Çift kuralı uyarınca koşul sağlanır. Bu durumda x,y,zx, y, z sayılarından sadece xx çift sayıdır.
4
xx sayısının tek olması durumunu inceleme ve ikinci koşulla birleştirme.
xx tek ise y⋅zy \cdot z çarpımı çift olmalıdır. Ayrıca x+y+zx + y + z çift olduğundan y+zy + z toplamı tek olmalıdır. Bu durumda yy ve zz sayılarından biri tek, diğeri çifttir.
xx tek iken toplamın çift olması için diğer iki sayının toplamı (y+zy+z) tek olmalıdır. Toplamları tek olan iki sayıdan biri tek, diğeri çifttir. Bu durumda da x,y,zx, y, z sayılarından sadece biri (yy veya zz) çifttir.
5
Elde edilen durumları birleştirerek sonucu yorumlama.
Tüm durumlarda x,y,zx, y, z tam sayılarından tam olarak bir tanesi çift sayı olmaktadır.
Çarpanlarından en az biri çift sayı olan tam sayı çarpımlarının sonucu daima çift sayı olacağından, x⋅y⋅zx \cdot y \cdot z ifadesi her zaman çift sayıdır.

Anahtar Kavram

Tek ve çift tam sayılarda toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri kuralları ile üs alma özelliğinin analizi.
Bu soruyu puanla

Konular

Tek ve Çift Sayılar

Bu konudan daha fazla soru