Examkin

Soru

Zorluk: ZorKatı Cisimler

Taban yarıçapı RR ve yüksekliği HH olan dik dairesel silindir biçimindeki boş bir kabın içerisine; taban yarıçapı ve yüksekliği bu silindirle aynı olan bir dik dairesel koni, tepe noktası silindirin taban merkezine gelecek ve tabanı silindirin üst tabanıyla çakışacak biçimde yerleştiriliyor. Silindir ile koni arasında kalan boşluğa, su seviyesi silindirin yüksekliğinin yarısına gelene kadar su dolduruluyor. Buna göre, doldurulan suyun hacminin silindirin toplam hacmine oranı kaçtır?

  1. A
    512\frac{5}{12}
  2. 1124\frac{11}{24}Cevap
  3. C
    524\frac{5}{24}
  4. D
    13\frac{1}{3}
  5. E
    38\frac{3}{8}

Cevap

Doldurulan suyun hacminin silindirin toplam hacmine oranı 1124\frac{11}{24}'tür.
Su seviyesinin yarısına kadar olan silindir hacminden, tepe noktası tabanda bulunan koninin bu seviyenin altında kalan (benzerlik oranı 1/2 olan) küçük koni parçasının hacmi çıkarıldığında suyun hacmi elde edilir. Bu hesaplama 12−124=1124\frac{1}{2} - \frac{1}{24} = \frac{11}{24} oranını verir.

Adım Adım Çözüm

1
Silindir ve koninin toplam hacimlerini sembolik olarak ifade edin.
Silindirin hacmi Vsilindir=πR2HV_{\text{silindir}} = \pi R^2 H ise koninin hacmi Vkoni=13πR2H=13VsilindirV_{\text{koni}} = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}V_{\text{silindir}} olur.
Su hacmini silindirin toplam hacmi cinsinden oranlamak i��in her iki cismin hacim ilişkisini kurmak gerekir.
2
Su seviyesinin ulaştığı yüksekliğe kadar olan silindir hacmini hesaplayın.
Yarı yüksekliğe (H/2H/2) kadar olan silindir hacmi Vyarım_silindir=πR2(H2)=12VsilindirV_{\text{yarım\_silindir}} = \pi R^2 \left(\frac{H}{2}\right) = \frac{1}{2}V_{\text{silindir}} olur.
Doldurulan su bu seviyedeki silindir bölgesini kaplayacaktır.
3
Koninin bu yükseklikte kalan batan kısmının (küçük koninin) hacmini bulun.
Tepe noktası tabanda olduğundan, H/2H/2 yüksekliğindeki kısım tüm koni ile 12\frac{1}{2} benzerlik oranına sahiptir. Hacimler oranı benzerlik oranının küpü olduğundan, Vbatan_koni=(12)3Vkoni=18Vkoni=18⋅13Vsilindir=124VsilindirV_{\text{batan\_koni}} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 V_{\text{koni}} = \frac{1}{8}V_{\text{koni}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{3}V_{\text{silindir}} = \frac{1}{24}V_{\text{silindir}} olur.
Koni içindeki boşluğa su giremeyeceği için koninin batan kısmının hacmini silindir hacminden düşmemiz gerekir.
4
Su hacmini ve bunun silindir hacmine oranını bulun.
Vsu=Vyarım_silindir−Vbatan_koni=12Vsilindir−124Vsilindir=1124VsilindirV_{\text{su}} = V_{\text{yarım\_silindir}} - V_{\text{batan\_koni}} = \frac{1}{2}V_{\text{silindir}} - \frac{1}{24}V_{\text{silindir}} = \frac{11}{24}V_{\text{silindir}} olur. Buradan oran 1124\frac{11}{24} bulunur.
Suyun hacmi, yarım silindirin hacminden koninin batan kısmının hacmi çıkarılarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Koni ve silindir hacim formülleri ile katı cisimlerde benzerlik oranı ve hacim ilişkisi.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Katı Cisimler

Bu konudan daha fazla soru