Examkin

Soru

Zorluk: ZorSayı Problemleri

Bir kırtasiyede A, B ve C marka üç farklı kalem satılmaktadır. Bu kalemlerin birer adetlerinin fiyatları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Bir adet B marka kalemin fiyatı, A marka kalemin fiyatının 22 katıdır.
* Bir adet C marka kalemin fiyatı, B marka kalemin fiyatından 5 TL5\text{ TL} fazladır.
* Kalemlerin her birinin birim fiyatı TL\text{TL} cinsinden birer tam sayıdır.

Bu kırtasiyeden bu üç kalemden de en az birer tane alan bir müşteri, toplam 1414 adet kalem satın almış ve 260 TL260\text{ TL} ödemiştir.

Müşterinin aldığı A marka kalemlerin sayısı C marka kalemlerin sayısına eşit olduğuna göre, B marka kalemlerden kaç tane satın almıştır?

  1. A
    4
  2. B
    5
  3. 6Cevap
  4. D
    8
  5. E
    10

Cevap

B marka kalemlerden 6 adet satın alınmıştır.
Doğru cevap, B marka kalemlerden 6 adet satın alındığını belirten seçenektir. Fiyatların tam sayı olması ve her kalem türünden en az birer tane alınması koşulu altında kurulan maliyet denkleminin tek çözümü a=4a=4 ve x=10x=10'dur. Toplam kalem sayısı 14 olduğundan B marka kalemlerin sayısı 14−2⋅4=614 - 2 \cdot 4 = 6 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kalemlerin birim fiyatlarını ve adetlerini değişkenler kullanarak tanımlamak.
A marka kalemin fiyatı xx olsun. Bu durumda B'nin fiyatı 2x2x ve C'nin fiyatı 2x+52x+5 olur. A ve C marka kalemlerin adetleri eşit olup aa tane ise, B marka kalemlerin sayısı bb olsun.
Sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürmek için başlangıç değişkenlerini belirlemek gerekir.
2
Toplam kalem sayısı ilişkisinden yararlanarak bb değerini aa cinsinden yazmak.
Toplam kalem sayısı a+b+a=14  ⟹  2a+b=14  ⟹  b=14−2aa + b + a = 14 \implies 2a + b = 14 \implies b = 14 - 2a olarak bulunur.
Bilinmeyen sayısını azaltarak tek bir fiyat denklemi kurabilmek için bu dönüşüm gereklidir.
3
Toplam ödenen tutar (260 TL) bilgisini kullanarak fiyat ve adet denklemini kurmak.
a⋅x+(14−2a)⋅2x+a⋅(2x+5)=260  ⟹  ax+28x−4ax+2ax+5a=260  ⟹  x(28−a)+5a=260a \cdot x + (14 - 2a) \cdot 2x + a \cdot (2x + 5) = 260 \implies ax + 28x - 4ax + 2ax + 5a = 260 \implies x(28 - a) + 5a = 260 elde edilir.
Birim fiyatlar ile adetlerin çarpımlarının toplamı toplam maliyete eşit olmalıdır.
4
Elde edilen denklemde xx değişkenini yalnız bırakarak tam sayı çözümlerini araştırmak.
x(28−a)=260−5a  ⟹  x=260−5a28−a  ⟹  x=5+12028−ax(28 - a) = 260 - 5a \implies x = \frac{260 - 5a}{28 - a} \implies x = 5 + \frac{120}{28 - a} ifadesi elde edilir.
Birim fiyatların tam sayı olması kısıtı kullanılarak olası değerler kümesi daraltılır.
5
Kalem adetlerinin pozitif tam sayı olması kısıtını kullanarak tek geçerli çözümü bulmak.
Her kalemden en az bir tane alındığı için a≥1a \ge 1 ve b=14−2a≥1  ⟹  a≤6b = 14 - 2a \ge 1 \implies a \le 6 olmalıdır. Dolayısıyla 28−a28 - a ifadesi 2222 ile 2727 arasında değerler alabilir. Bu aralıkta 120120 sayısını bölen tek sayı 2424'tür. 28−a=24  ⟹  a=428 - a = 24 \implies a = 4 bulunur. Buradan b=14−2(4)=6b = 14 - 2(4) = 6 elde edilir.
Sınırlar dahilindeki tam sayı bölünebilirlik kuralı bizi tekil ve kesin çözüme ulaştırır.

Anahtar Kavram

Tam sayı kısıtlı diophantine denklemleri içeren sayı problemleri.

İpuçları

1
Kalemlerin birim fiyatlarını A'nın fiyatı xx olacak şekilde xx, 2x2x ve 2x+52x+5 olarak belirleyin.
2
A ve C kalemlerinin sayısına aa derseniz, B kalemlerinin sayısı 14−2a14-2a olur. Toplam tutar denklemini kurup sadeleştirin.
3
x(28−a)+5a=260x(28-a) + 5a = 260 denkleminde fiyatların tam sayı olduğunu unutmayın. xx'i çekip bölünebilirlik kuralını uygulayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde tam sayı kısıtları içeren ve bir değişkenin değer aralığından yararlanılarak çözülen diğer sayı ve denklem kurma problemlerini inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Seçeneklerden giderek de çözüm yapılabilir. B kalemlerinin sayısı çift olmak zorundadır çünkü 2a+b=14  ⟹  b=14−2a2a + b = 14 \implies b = 14 - 2a eşitliğinde 2a2a ve 1414 çift olduğundan bb de çift olmalıdır. Bu durumda tek ihtimaller 4, 6, 8 veya 10'dur. Bu değerler yerine koyularak tam sayı fiyat veren tek seçeneğin 6 olduğu görülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Problemleri

Bu konudan daha fazla soru