Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTemel Kavramlar
xx, yy ve zz pozitif tam sayılar olmak üzere,
x⋅y+z=100x \cdot y + z = 100
x+y⋅z=80x + y \cdot z = 80
eşitlikleri sağlanmaktadır. Buna göre, x+y+zx + y + z toplamı kaçtır?
  1. A
    35
  2. B
    40
  3. C
    41
  4. D
    48
  5. 62Cevap

Cevap

Denklem sistemini sağlayan pozitif tam sayı değerlerinin toplamı 62'dir.
Denklemler taraf tarafa çıkarılıp ortak paranteze alındığında (y−1)(x−z)=20(y-1)(x-z)=20, taraf tarafa toplandığında ise (x+z)(y+1)=180(x+z)(y+1)=180 denklemleri elde edilir. x,y,zx, y, z pozitif tam sayı şartını sağlayan ve x,zx, z değerlerini tam sayı yapan tek bölen çifti y−1=1y-1=1 (y=2y=2) durumudur. Buradan x=40x=40, z=20z=20 bulunur ve toplamları 62 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen iki denklemi taraf tarafa çıkaralım.
(x⋅y+z)−(x+y⋅z)=100−80  ⟹  x⋅y−y⋅z+z−x=20(x \cdot y + z) - (x + y \cdot z) = 100 - 80 \implies x \cdot y - y \cdot z + z - x = 20 elde edilir.
Değişkenler arasındaki cebirsel ilişkiyi sadeleştirip çarpanlarına ayırabilmek için taraf tarafa çıkarma işlemi yapılır.
2
Elde edilen ifadeyi ortak çarpan parantezine alarak gruplandıralım.
y(x−z)−(x−z)=20  ⟹  (y−1)(x−z)=20y(x - z) - (x - z) = 20 \implies (y - 1)(x - z) = 20 bulunur.
Çarpımın sonucunun 20 olmasını kullanarak tam sayı bölen analizi yapabilmek için ifade çarpanlarına ayrılır.
3
Verilen iki denklemi taraf tarafa toplayarak ikinci bir cebirsel ilişki kuralım.
(x⋅y+z)+(x+y⋅z)=100+80  ⟹  x(y+1)+z(y+1)=180  ⟹  (x+z)(y+1)=180(x \cdot y + z) + (x + y \cdot z) = 100 + 80 \implies x(y + 1) + z(y + 1) = 180 \implies (x + z)(y + 1) = 180 elde edilir.
Değişkenlerin tekil değerlerini belirleyebilmek amacıyla ikinci bir bağıntı kurulur.
4
x,y,zx, y, z pozitif tam sayılar olduğundan y≥1  ⟹  y−1≥0y \ge 1 \implies y - 1 \ge 0 olmalıdır. Çarpım 20 olduğuna göre y−1y - 1 değeri 20'nin pozitif bir böleni olmalıdır. Her bir bölen durumu için parite (teklik-çiftlik) kontrolü yapalım.
y−1=1  ⟹  y=2y - 1 = 1 \implies y = 2 için x−z=20x - z = 20 olur. Bu durumda y+1=3y + 1 = 3 olacağından ikinci denklemden x+z=180/3=60x + z = 180 / 3 = 60 elde edilir. Buradan x=40x = 40 ve z=20z = 20 bulunur. Diğer bölen durumlarında xx ve zz tam sayı çıkmamaktadır.
xx ve zz değerlerinin tam sayı olabilmesi için x−zx - z ve x+zx + z ifadelerinin aynı paritede (her ikisi de çift veya her ikisi de tek) olması zorunluluğu incelenir.
5
Bulunan tek geçerli çözüm kümesindeki değerleri toplayalım.
x+y+z=40+2+20=62x + y + z = 40 + 2 + 20 = 62 sonucuna ulaşılır.
Soruda bizden istenen toplam değerini hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Ortak çarpan parantezine alma ve tam sayıların bölen analizi
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Temel Kavramlar

Bu konudan daha fazla soru