Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTemel Kavramlar
a,ba, b ve cc birbirinden farklı pozitif tam sayılardır.
a⋅b−b⋅c−a+c=6a \cdot b - b \cdot c - a + c = 6
olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
  1. A
    6
  2. 8Cevap
  3. C
    9
  4. D
    10
  5. E
    12

Cevap

En küçük toplam 8'dir.
Verilen denklem (b−1)(a−c)=6(b - 1)(a - c) = 6 şeklinde çarpanlarına ayrılır. a,b,ca, b, c pozitif ve birbirinden farklı tam sayılar olduğundan, b−1b - 1 ve a−ca - c pozitif tam sayılar olmalıdır. 6'nın pozitif bölen çiftleri incelendiğinde, toplamı en küçük yapan durumlar (b−1,a−c)=(2,3)(b - 1, a - c) = (2, 3) veya (3,2)(3, 2) olur. Buradan b=3b = 3 ve a−c=3a - c = 3 (veya b=4b = 4 ve a−c=2a - c = 2) elde edilir. En küçük toplam için c=1c = 1 seçildiğinde a=4a = 4 (veya a=3a = 3) bulunur. Değerler birbirinden farklı pozitif tam sayılar şartını sağlar ve toplam 4+3+1=84 + 3 + 1 = 8 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemi ortak çarpan parantezine alarak çarpanlarına ayırın.
b(a−c)−(a−c)=6⇒(b−1)(a−c)=6b(a - c) - (a - c) = 6 \Rightarrow (b - 1)(a - c) = 6
Denklemi analiz edebilmek ve bilinmeyenlerin alabileceği değerleri belirleyebilmek için.
2
a,ba, b ve cc pozitif tam sayılar olduğundan, b−1b - 1 ve a−ca - c değerlerinin 6'nın pozitif bölenleri olması gerektiğini belirleyin.
b−1>0b - 1 > 0 ve a−c>0a - c > 0 olmalıdır, çünkü b≥1b \ge 1 ve b≠1b \neq 1 (eğer b=1b=1 ise çarpım 0 olur). Dolayısıyla a>ca > c olur.
Bilinmeyenlerin tam sayı sınırlarını belirlemek ve toplamı en aza indirecek değerleri seçmek için.
3
6'nın pozitif çarpan çiftlerini (b−1,a−c)(b - 1, a - c) için deneyerek a,b,ca, b, c değerlerini ve toplamlarını bulun.
1) b−1=1  ⟹  b=2b - 1 = 1 \implies b = 2 ve a−c=6a - c = 6. c=1  ⟹  a=7c = 1 \implies a = 7. Bu durumda (7,2,1)  ⟹  a+b+c=10(7, 2, 1) \implies a+b+c = 10 olur.
2) b−1=2  ⟹  b=3b - 1 = 2 \implies b = 3 ve a−c=3a - c = 3. c=1  ⟹  a=4c = 1 \implies a = 4. Bu durumda (4,3,1)  ⟹  a+b+c=8(4, 3, 1) \implies a+b+c = 8 olur.
3) b−1=3  ⟹  b=4b - 1 = 3 \implies b = 4 ve a−c=2a - c = 2. c=1  ⟹  a=3c = 1 \implies a = 3. Bu durumda (3,4,1)  ⟹  a+b+c=8(3, 4, 1) \implies a+b+c = 8 olur.
4) b−1=6  ⟹  b=7b - 1 = 6 \implies b = 7 ve a−c=1a - c = 1. c=1  ⟹  a=2c = 1 \implies a = 2. Bu durumda (2,7,1)  ⟹  a+b+c=10(2, 7, 1) \implies a+b+c = 10 olur.
Birbirinden farklı pozitif tam sayı şartını sağlayan ve toplamı en küçük yapan kombinasyonu seçmek için.
4
Elde edilen sonuçlar arasından en küçük toplamı belirleyin.
En küçük toplam 8'dir. Bu toplam (4,3,1)(4, 3, 1) veya (3,4,1)(3, 4, 1) üçlüleri ile elde edilir.
Soru bizden en küçük değeri istediği için.

Anahtar Kavram

Ortak çarpan parantezine alma ve tam sayılarda değer verme
Bu soruyu puanla

Konular

Temel Kavramlar

Bu konudan daha fazla soru