Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorSayı Problemleri

Bir kafede A, B ve C olmak üzere üç farklı kahve menüsü satılmaktadır. Bu menülerin birer adedinin satış fiyatları sırasıyla 120120 TL, 150150 TL ve 180180 TL'dir. Bir gün boyunca bu kafede bu üç menüden toplam 6060 adet satılmış ve toplam 93009300 TL gelir elde edilmiştir.

Gün boyunca satılan B menüsü sayısının, A menüsü sayısının 22 katından fazla olduğu bilinmektedir.

Buna göre, gün boyunca satılan C menüsü sayısı en fazla kaç olabilir?

  1. A
    2020
  2. B
    2121
  3. 2222Cevap
  4. D
    2323
  5. E
    2525

Cevap

Maksimum C menüsü sayısı 22 olmalıdır.
Kurulan denklem sisteminde x+y+z=60x+y+z=60 ve 120x+150y+180z=9300120x+150y+180z=9300 denklemleri ortak çözüldüğünde 2x+y=502x+y=50 ve z=10+xz=10+x bağıntılarına ulaşılır. Sorudaki y>2xy > 2x koşulu uygulandığında 50−2x>2x  ⟹  4x<50  ⟹  x<12.550-2x > 2x \implies 4x < 50 \implies x < 12.5 sınırlandırması bulunur. C menüsü adedini temsil eden zz değerinin en büyük olması için xx en büyük tam sayı olan 12 seçilmelidir. Buradan z=10+12=22z = 10 + 12 = 22 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenleri tanımlama ve temel denklemleri kurma
Satılan A menüsü sayısı xx, B menüsü sayısı yy ve C menüsü sayısı zz olsun. Bu durumda x+y+z=60x + y + z = 60 ve 120x+150y+180z=9300120x + 150y + 180z = 9300 denklemleri elde edilir.
Sözel problemi matematiksel eşitliklere dönüştürmek.
2
Fiyat denklemini sadeleştirme ve değişkenler arasındaki ilişkiyi bulma
120x+150y+180z=9300120x + 150y + 180z = 9300 denkleminin her iki tarafı da 3030 ile bölündüğünde 4x+5y+6z=3104x + 5y + 6z = 310 denklemi elde edilir.
Büyük katsayılı işlemlerden kaçınmak ve çözümü basitleştirmek.
3
Değişken sayısını azaltmak için yerine koyma yöntemini uygulama
x+y+z=60  ⟹  z=60−x−yx + y + z = 60 \implies z = 60 - x - y ifadesini sadeleştirilmiş denklemde yerine yazalım: 4x+5y+6(60−x−y)=310  ⟹  4x+5y+360−6x−6y=310  ⟹  −2x−y=−50  ⟹  2x+y=504x + 5y + 6(60 - x - y) = 310 \implies 4x + 5y + 360 - 6x - 6y = 310 \implies -2x - y = -50 \implies 2x + y = 50 elde edilir. Buradan y=50−2xy = 50 - 2x bulunur.
Sistemdeki değişkenleri birbirine bağlayarak tek bir değişkene indirgemek.
4
zz değişkenini xx cinsinden ifade etme
z=60−x−y  ⟹  z=60−x−(50−2x)  ⟹  z=10+xz = 60 - x - y \implies z = 60 - x - (50 - 2x) \implies z = 10 + x bağıntısı elde edilir.
zz değerini en büyük yapmak için hangi değişkeni optimize etmemiz gerektiğini görmek.
5
Eşitsizlik kısıtını uygulama ve en büyük değeri bulma
Satılan B menüsü sayısının, A menüsü sayısının 22 katından fazla olduğu (y>2xy > 2x) belirtilmiştir. y=50−2xy = 50 - 2x ifadesini yerine yazarsak: 50−2x>2x  ⟹  50>4x  ⟹  x<12.550 - 2x > 2x \implies 50 > 4x \implies x < 12.5 elde edilir. xx bir tam sayı olması gerektiğinden alabileceği en büyük değer 1212 olur. Bu durumda en büyük zz değeri z=10+12=22z = 10 + 12 = 22 olarak hesaplanır.
Soruda verilen eşitsizlik koşuluna göre sınır tespiti yapmak.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden çok bilinmeyenli denklem sistemleri ve doğrusal eşitsizliklerin sınır değer analiziyle çözümü.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Problemleri

Bu konudan daha fazla soru