Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSayı Dizileri ve Örüntüler

Elemanları arasında ardışık olarak sabit olmayan bir ilişki bulunan bir sayı dizisi 5,9,16,29,54,...5, 9, 16, 29, 54, ... şeklinde devam etmektedir.

Buna göre, bu dizide 54 sayısından sonra gelmesi gereken sayı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    98
  2. B
    102
  3. 103Cevap
  4. D
    104
  5. E
    113

Cevap

103
Dizinin ardışık terimleri arasındaki farklar incelendiğinde farkların sırasıyla 4, 7, 13 ve 25 olduğu görülür. Bu fark serisinde her bir fark, bir önceki farkın 2 katının 1 eksiğidir. Dolayısıyla 25'ten sonra gelmesi gereken fark 2×25−1=492 \times 25 - 1 = 49 olmalıdır. Son terim olan 54'e 49 eklendiğinde 103 değerine ulaşılır. Alternatif bir kural olarak, dizinin genel geçiş kuralı an+1=2an−na_{n+1} = 2a_n - n şeklindedir; buradan a6=2×54−5=103a_6 = 2 \times 54 - 5 = 103 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin terimleri arasındaki farkları ve bu farkların nasıl değiştiğini inceleyelim.
Terimler arası farklar sırasıyla: 9−5=49 - 5 = 4, 16−9=716 - 9 = 7, 29−16=1329 - 16 = 13, 54−29=2554 - 29 = 25 şeklindedir.
Örüntünün kuralını bulmak için ardışık terimler arasındaki artış miktarlarını analiz etmeliyiz.
2
Bulunan farklar (4,7,13,254, 7, 13, 25) arasındaki ilişkiyi belirleyelim.
Farkların bir önceki farkın 2 katının 1 eksiği olduğu görülür: 2×4−1=72 \times 4 - 1 = 7, 2×7−1=132 \times 7 - 1 = 13, 2×13−1=252 \times 13 - 1 = 25.
Farklar dizisinin kendi içindeki kuralını tespit etmek.
3
Belirlenen kurala göre bir sonraki farkı hesaplayalım ve dizinin son terimine ekleyelim.
Bir sonraki fark 2×25−1=492 \times 25 - 1 = 49 olur. Son terim olan 54 sayısına bu farkı eklediğimizde 54+49=10354 + 49 = 103 sonucuna ulaşırız.
Dizinin aranan bir sonraki terimini bulmak.

Anahtar Kavram

Sayı Dizilerinde Ardışık Farklar ve İndirgemeli İlişkiler

Alternatif Yöntem

Dizinin genel terim geçiş kuralı an+1=2an−na_{n+1} = 2a_n - n şeklindedir. Burada nn, terimin dizideki sırasını temsil eder. Örneğin; a2=2a1−1=2(5)−1=9a_2 = 2a_1 - 1 = 2(5) - 1 = 9, a3=2a2−2=2(9)−2=16a_3 = 2a_2 - 2 = 2(9) - 2 = 16 vb. Bu kurala göre bir sonraki terim a6=2a5−5=2(54)−5=108−5=103a_6 = 2a_5 - 5 = 2(54) - 5 = 108 - 5 = 103 olarak bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Dizileri ve Örüntüler

Bu konudan daha fazla soru