Examkin

Sayı Dizileri ve Örüntüler

28 soru

Soru 1Soru →
İlk terimi a1=5a_1 = 5 olan bir (an)(a_n) sayı dizisinin terimleri arasında, her n≥1n \geq 1 pozitif tam sayısı için
an+1=3an−2na_{n+1} = 3a_n - 2^n
bağıntısı bulunmaktadır.
Buna göre, bu dizinin beşinci terimi (a5a_5) kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 275

Cevap

Dizinin beşinci terimi 275'tir.
Verilen indirgemeli dizide, her terim kendisinden bir önceki terimin 3 katından 2n2^n çıkarılarak bulunur. a1=5a_1 = 5 başlangıç değeriyle başlanıp adım adım a2=13a_2 = 13, a3=35a_3 = 35, a4=97a_4 = 97 ve nihayetinde a5=275a_5 = 275 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
n=1n = 1 için a2a_2 terimini hesaplayın.
a2=3a1−21=3⋅5−2=13a_2 = 3a_1 - 2^1 = 3 \cdot 5 - 2 = 13
Dizinin ikinci terimine ulaşmak için a1a_1 değeri yerine konur.
2
n=2n = 2 için a3a_3 terimini hesaplayın.
a3=3a2−22=3⋅13−4=35a_3 = 3a_2 - 2^2 = 3 \cdot 13 - 4 = 35
Dizinin üçüncü terimine ulaşmak için bir önceki adımda bulunan a2a_2 değeri yerine konur.
3
n=3n = 3 için a4a_4 terimini hesaplayın.
a4=3a3−23=3⋅35−8=97a_4 = 3a_3 - 2^3 = 3 \cdot 35 - 8 = 97
Dizinin dördüncü terimine ulaşmak için bir önceki adımda bulunan a3a_3 değeri yerine konur.
4
n=4n = 4 için a5a_5 terimini hesaplayın.
a5=3a4−24=3⋅97−16=275a_5 = 3a_4 - 2^4 = 3 \cdot 97 - 16 = 275
Dizinin beşinci terimine ulaşmak için bir önceki adımda bulunan a4a_4 değeri yerine konur.

Anahtar Kavram

İndirgemeli sayı dizilerinde terimlerin ardışık olarak hesaplanması ve örüntü kurallarının uygulanması.
Soru 2Soru →
Terimleri sırasıyla belirli bir matematiksel kurala göre artan
2,5,13,27,79,159,?2, 5, 13, 27, 79, 159, ?
sayı dizisinde soru işareti (?) yerine hangi sayı gelmelidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 475

Cevap

Dizideki kurallar sırasıyla uygulandığında soru işareti yerine gelmesi gereken sayı 475 olmalıdır.
Dizideki tek sırada yer alan bir terimden hemen sonra gelen terim elde edilirken terimin 2 katının 1 fazlası alınmaktadır. Çift sırada yer alan bir terimden hemen sonra gelen terim elde edilirken ise terimin 3 katının 2 eksiği alınmaktadır. Buna göre, 6. terim olan 159159 sayısı çift sırada olduğundan, bir sonraki terim olan 7. terimi bulmak için üç katının iki eksiği kuralı uygulanmalıdır. Buradan 159×3−2=475159 \times 3 - 2 = 475 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin terimleri arasındaki artış ilişkisini incelemek amacıyla ardışık terimler arasındaki kuralları belirleyin.
1. terimden 2. terime geçerken (2→52 \rightarrow 5): 2×2+1=52 \times 2 + 1 = 5 (İki katının bir fazlası)
2. terimden 3. terime geçerken (5→135 \rightarrow 13): 5×3−2=135 \times 3 - 2 = 13 (Üç katının iki eksiği)
3. terimden 4. terime geçerken (13→2713 \rightarrow 27): 13×2+1=2713 \times 2 + 1 = 27 (İki katının bir fazlası)
4. terimden 5. terime geçerken (27→7927 \rightarrow 79): 27×3−2=7927 \times 3 - 2 = 79 (Üç katının iki eksiği)
5. terimden 6. terime geçerken (79→15979 \rightarrow 159): 79×2+1=15979 \times 2 + 1 = 159 (İki katının bir fazlası)
Dizinin genel örüntü kuralını ve ardışık adımlardaki periyodik değişimi tespit etmek.
2
Örüntünün periyodik kuralına göre bir sonraki adımda uygulanması gereken işlemi belirleyin.
Dizide tek sıradaki terimlerden çift sıradaki terimlere geçilirken (1. →\rightarrow 2., 3. →\rightarrow 4., 5. →\rightarrow 6.) 'iki katının bir fazlası' kuralı uygulanmaktadır. Çift sıradaki terimlerden tek sıradaki terimlere geçilirken (2. →\rightarrow 3., 4. →\rightarrow 5., 6. →\rightarrow 7.) ise 'üç katının iki eksiği' kuralı uygulanmaktadır.
Soru işaretinin bulunduğu 7. terime ulaşmak için hangi kuralın işletilmesi gerektiğini netleştirmek.
3
Bulunan kuralı son terime uygulayarak bilinmeyen terimi hesaplayın.
6. terim olan 159159 çift sırada yer aldığı için bir sonraki terimi bulmak üzere 'üç katının iki eksiği' kuralı işletilir:
159×3−2=477−2=475159 \times 3 - 2 = 477 - 2 = 475
İstenen bilinmeyen terimin sayısal değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Alternatifli Aritmetik İşlemler İçeren Sayı Dizileri ve Örüntüler
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 3Soru →

Elemanları arasında ardışık olarak sabit olmayan bir ilişki bulunan bir sayı dizisi 5,9,16,29,54,...5, 9, 16, 29, 54, ... şeklinde devam etmektedir.

Buna göre, bu dizide 54 sayısından sonra gelmesi gereken sayı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 103

Cevap

103
Dizinin ardışık terimleri arasındaki farklar incelendiğinde farkların sırasıyla 4, 7, 13 ve 25 olduğu görülür. Bu fark serisinde her bir fark, bir önceki farkın 2 katının 1 eksiğidir. Dolayısıyla 25'ten sonra gelmesi gereken fark 2×25−1=492 \times 25 - 1 = 49 olmalıdır. Son terim olan 54'e 49 eklendiğinde 103 değerine ulaşılır. Alternatif bir kural olarak, dizinin genel geçiş kuralı an+1=2an−na_{n+1} = 2a_n - n şeklindedir; buradan a6=2×54−5=103a_6 = 2 \times 54 - 5 = 103 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin terimleri arasındaki farkları ve bu farkların nasıl değiştiğini inceleyelim.
Terimler arası farklar sırasıyla: 9−5=49 - 5 = 4, 16−9=716 - 9 = 7, 29−16=1329 - 16 = 13, 54−29=2554 - 29 = 25 şeklindedir.
Örüntünün kuralını bulmak için ardışık terimler arasındaki artış miktarlarını analiz etmeliyiz.
2
Bulunan farklar (4,7,13,254, 7, 13, 25) arasındaki ilişkiyi belirleyelim.
Farkların bir önceki farkın 2 katının 1 eksiği olduğu görülür: 2×4−1=72 \times 4 - 1 = 7, 2×7−1=132 \times 7 - 1 = 13, 2×13−1=252 \times 13 - 1 = 25.
Farklar dizisinin kendi içindeki kuralını tespit etmek.
3
Belirlenen kurala göre bir sonraki farkı hesaplayalım ve dizinin son terimine ekleyelim.
Bir sonraki fark 2×25−1=492 \times 25 - 1 = 49 olur. Son terim olan 54 sayısına bu farkı eklediğimizde 54+49=10354 + 49 = 103 sonucuna ulaşırız.
Dizinin aranan bir sonraki terimini bulmak.

Anahtar Kavram

Sayı Dizilerinde Ardışık Farklar ve İndirgemeli İlişkiler

Alternatif Yöntem

Dizinin genel terim geçiş kuralı an+1=2an−na_{n+1} = 2a_n - n şeklindedir. Burada nn, terimin dizideki sırasını temsil eder. Örneğin; a2=2a1−1=2(5)−1=9a_2 = 2a_1 - 1 = 2(5) - 1 = 9, a3=2a2−2=2(9)−2=16a_3 = 2a_2 - 2 = 2(9) - 2 = 16 vb. Bu kurala göre bir sonraki terim a6=2a5−5=2(54)−5=108−5=103a_6 = 2a_5 - 5 = 2(54) - 5 = 108 - 5 = 103 olarak bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 4Soru →

Bir xnx_n sayı dizisinin ilk iki terimi x1=1x_1 = 1 ve x2=3x_2 = 3 olarak verilmiştir. Bu dizinin sonraki terimleri, her n≥3n \geq 3 doğal sayısı için aşağıdaki kurala göre belirlenmektedir:

xn={2xn−1−xn−2,n tek isexn−1+3xn−2,n c¸ift isex_n = \begin{cases} 2x_{n-1} - x_{n-2}, & n \text{ tek ise} \\ x_{n-1} + 3x_{n-2}, & n \text{ çift ise} \end{cases}

Buna göre, bu dizinin 7. terimi (x7x_7) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 107

Cevap

107
Dizinin tanımına göre nn tek sayı iken önceki terimin iki katından iki önceki terim çıkarılır; nn çift sayı iken önceki terim ile iki önceki terimin üç katı toplanır. Bu kurallar sırasıyla uygulandığında terimler x3=5x_3 = 5, x4=14x_4 = 14, x5=23x_5 = 23, x6=65x_6 = 65 ve nihayetinde x7=107x_7 = 107 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
n=3n = 3 (tek sayı) için kuralı uygulayarak üçüncü terimi hesaplayın.
x3=2x2−x1=2(3)−1=5x_3 = 2x_2 - x_1 = 2(3) - 1 = 5
nn tek olduğunda xn=2xn−1−xn−2x_n = 2x_{n-1} - x_{n-2} formülü kullanılır.
2
n=4n = 4 (çift sayı) için kuralı uygulayarak dördüncü terimi hesaplayın.
x4=x3+3x2=5+3(3)=14x_4 = x_3 + 3x_2 = 5 + 3(3) = 14
nn çift olduğunda xn=xn−1+3xn−2x_n = x_{n-1} + 3x_{n-2} formülü kullanılır.
3
n=5n = 5 (tek sayı) için kuralı uygulayarak beşinci terimi hesaplayın.
x5=2x4−x3=2(14)−5=23x_5 = 2x_4 - x_3 = 2(14) - 5 = 23
nn tek olduğunda xn=2xn−1−xn−2x_n = 2x_{n-1} - x_{n-2} formülü kullanılır.
4
n=6n = 6 (çift sayı) için kuralı uygulayarak altıncı terimi hesaplayın.
x6=x5+3x4=23+3(14)=65x_6 = x_5 + 3x_4 = 23 + 3(14) = 65
nn çift olduğunda xn=xn−1+3xn−2x_n = x_{n-1} + 3x_{n-2} formülü kullanılır.
5
n=7n = 7 (tek sayı) için kuralı uygulayarak yedinci terimi hesaplayın.
x7=2x6−x5=2(65)−23=107x_7 = 2x_6 - x_5 = 2(65) - 23 = 107
nn tek olduğunda xn=2xn−1−xn−2x_n = 2x_{n-1} - x_{n-2} formülü kullanılır.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı ve indirgemeli sayı dizilerinde indis kurallarına göre terim hesaplama
Soru 5Soru →

Bir (an)(a_n) sayı dizisinde her n≥2n \geq 2 pozitif tam sayısı için,

an={an−1+3,n c¸ift ise2⋅an−1,n tek isea_n = \begin{cases} a_{n-1} + 3, & n \text{ çift ise} \\ 2 \cdot a_{n-1}, & n \text{ tek ise} \end{cases}

eşitlikleri sağlanmaktadır.

a1=1a_1 = 1 olduğuna göre, a11a_{11} teriminin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 218218

Cevap

218
Dizinin terimleri, indisin çift veya tek olmasına göre belirlenen kurallara göre adım adım hesaplandığında 11. terim olan a11a_{11} değeri 218 olarak bulunur. a10=109a_{10} = 109 bulunduktan sonra, 11 tek bir sayı olduğu için bu değer 2 ile çarpılarak 218 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin ilk terimi olan a1=1a_1 = 1 değerinden başlayarak sırasıyla sonraki terimleri tanımlanan kurallara göre hesaplamak.
a1=1a_1 = 1
Sonraki terimleri bulmak için başlangıç değerine ihtiyacımız vardır.
2
n=2n = 2 için nn çift olduğundan a2=a1+3a_2 = a_1 + 3 kuralını uygulamak.
a2=1+3=4a_2 = 1 + 3 = 4
Çift indisli terimler bir önceki terimin 3 fazlasına eşittir.
3
n=3n = 3 için nn tek olduğundan a3=2⋅a2a_3 = 2 \cdot a_2 kuralını uygulamak.
a3=2⋅4=8a_3 = 2 \cdot 4 = 8
Tek indisli terimler bir önceki terimin 2 katına eşittir.
4
Aynı mantığı takip ederek sırasıyla a4a_4 ile a11a_{11} arasındaki tüm terimleri sırayla hesaplamak.
a4=11a_4 = 11, a5=22a_5 = 22, a6=25a_6 = 25, a7=50a_7 = 50, a8=53a_8 = 53, a9=106a_9 = 106, a10=109a_{10} = 109, a11=218a_{11} = 218
İndis çift ise 3 ekleme, tek ise 2 ile çarpma kuralı ardışık olarak uygulanarak a11a_{11} değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Belirli bir kurala göre ilerleyen sayı dizilerinde terimlerin adım adım hesaplanması ve örüntünün analizi.
Soru 6Soru →
Bir (xn)(x_n) dizisinde başlangıç terimleri x1=2x_1 = 2 ve x2=3x_2 = 3 olarak verilmiştir. Bu dizinin sonraki her bir terimi, kendisinden önceki iki terim kullanılarak
xn=S(xn−12+xn−2)(n≥3)x_n = S(x_{n-1}^2 + x_{n-2}) \quad (n \geq 3)
biçiminde tanımlanmaktadır. Burada S(a)S(a) sembolü, aa doğal sayısının rakamları toplamını temsil etmektedir.
Buna göre, bu dizinin 2026. terimi olan x2026x_{2026} değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Dizinin 2026. terimi olan 12 sayısı doğru cevaptır.
Dizinin terimleri yazıldığında, başlangıçtaki geçiş terimlerinin ardından 5. terimden itibaren her 8 adımda bir tekrarlanan {6,7,10,8,11,12,11,7}\{6, 7, 10, 8, 11, 12, 11, 7\} döngüsü gözlemlenir. İndis analizi yapıldığında 2026. terim, bu döngüdeki 12 değerine tam olarak karşılık gelmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin ilk birkaç terimini verilen kurala göre hesaplayalım.
x3=S(32+2)=S(11)=2x_3 = S(3^2 + 2) = S(11) = 2
x4=S(22+3)=S(7)=7x_4 = S(2^2 + 3) = S(7) = 7
x5=S(72+2)=S(51)=6x_5 = S(7^2 + 2) = S(51) = 6
x6=S(62+7)=S(43)=7x_6 = S(6^2 + 7) = S(43) = 7
x7=S(72+6)=S(55)=10x_7 = S(7^2 + 6) = S(55) = 10
x8=S(102+7)=S(107)=8x_8 = S(10^2 + 7) = S(107) = 8
x9=S(82+10)=S(74)=11x_9 = S(8^2 + 10) = S(74) = 11
x10=S(112+8)=S(129)=12x_{10} = S(11^2 + 8) = S(129) = 12
x11=S(122+11)=S(155)=11x_{11} = S(12^2 + 11) = S(155) = 11
x12=S(112+12)=S(133)=7x_{12} = S(11^2 + 12) = S(133) = 7
x13=S(72+11)=S(60)=6x_{13} = S(7^2 + 11) = S(60) = 6
x14=S(62+7)=S(43)=7x_{14} = S(6^2 + 7) = S(43) = 7
Dizinin ilerleyen adımlarında bir örüntü veya periyodik tekrar oluşup oluşmadığını kontrol etmek.
2
Terimler arasındaki tekrarlama döngüsünü (periyodu) belirleyelim.
x5=6x_5 = 6 ve x6=7x_6 = 7 iken, x13=6x_{13} = 6 ve x14=7x_{14} = 7 olarak aynı ardışık ikilinin elde edildiği görülür. Dizi tanımı gereği her terim kendinden önceki iki terime bağlı olduğundan, dizi x5x_5 teriminden itibaren kendini periyodik olarak tekrar etmeye ba��lar. Bu döngünün uzunluğu 13−5=813 - 5 = 8 terimdir.
Sonsuz terimi tek tek hesaplamak yerine periyodiklik kuralı sayesinde büyük terimleri hızlıca bulabilmek.
3
Döngüyü oluşturan 8 terimlik periyodik grubu listeleyelim.
Tekrar eden grup: {6,7,10,8,11,12,11,7}\{6, 7, 10, 8, 11, 12, 11, 7\} şeklindedir.
Buna göre, her k≥0k \geq 0 tam sayısı için:
x5+8k=6x_{5+8k} = 6, x6+8k=7x_{6+8k} = 7, x7+8k=10x_{7+8k} = 10, x8+8k=8x_{8+8k} = 8, x9+8k=11x_{9+8k} = 11, x10+8k=12x_{10+8k} = 12, x11+8k=11x_{11+8k} = 11, x12+8k=7x_{12+8k} = 7 eşitlikleri yazılabilir.
Genel terimlerin hangi indis formüllerine karşılık geldiğini netleştirmek.
4
2026. terim (n=2026n = 2026) için periyottaki karşılığını hesaplayalım.
n≥5n \geq 5 için n=5+8k+rn = 5 + 8k + r biçiminde ifade edilirse, 2026−5=20212026 - 5 = 2021 elde edilir.
20212021 sayısı 88'e bölündüğünde: 2021=8×252+52021 = 8 \times 252 + 5 olur ve kalan r=5r = 5 bulunur.
Bu durumda x2026=x10=12x_{2026} = x_{10} = 12 olarak hesaplanır.
Bölme işlemiyle 2026 indisinin periyodun kaçıncı elemanına denk düştüğünü saptamak.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden indirgemeli sayı dizilerinde periyot belirleme ve modüler aritmetik yardımıyla büyük indisli terimleri bulma.
Soru 7Soru →

Belirli bir kurala göre oluşturulan aşağıdaki sayı dizisinde soru işareti yerine hangi sayı gelmelidir?

3,7,15,31,?3, 7, 15, 31, ?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 63

Cevap

Soru işareti yerine gelmesi gereken sayı 63'tür.
Dizideki her bir terim, kendisinden önceki terimin 2 katının 1 fazlasına eşittir. Bu kurala göre 31 sayısından sonra gelmesi gereken terim 31×2+1=6331 \times 2 + 1 = 63 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin terimleri arasındaki aritmetik ilişkiyi belirleyin.
3'ten 7'ye geçerken 3×2+1=73 \times 2 + 1 = 7, 7'den 15'e geçerken 7×2+1=157 \times 2 + 1 = 15 ve 15'ten 31'e geçerken 15×2+1=3115 \times 2 + 1 = 31 işlemleri yapılmıştır. Kural, her terimin 2 katının 1 fazlasını almaktır.
Dizinin genel örüntü kuralını belirlemek için.
2
Belirlenen kuralı son terime uygulayarak bir sonraki terimi hesaplayın.
31×2+1=62+1=6331 \times 2 + 1 = 62 + 1 = 63 bulunur.
Soru işareti yerine gelecek değeri bulmak için.

Anahtar Kavram

Sayı Dizileri ve Örüntüler
Soru 8Soru →

Bir sayı dizisinin terimleri sırasıyla 3,5,11,29,83,?3, 5, 11, 29, 83, ? şeklindedir.

Buna göre, soru işareti yerine hangi sayı gelmelidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 245

Cevap

Dizinin kuralına göre her terim, bir önceki terimin 3 katının 4 eksiğidir. Bu kural son terim olan 83 sayısına uygulandığında aranan sayı 245 olarak bulunur.
Verilen sayı dizisinde her bir terim, kendisinden bir önceki terimin 3 katının 4 eksiği alınarak oluşturulmaktadır. Dizinin bilinen en son terimi 83 olduğuna göre, bu terimden sonra gelmesi gereken sayı 3×83−4=249−4=2453 \times 83 - 4 = 249 - 4 = 245 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin ardışık terimleri arasındaki ilişkiyi analiz edin.
Dizi elemanları arasındaki farklar incelendiğinde; 5 ile 3 arasındaki fark 2, 11 ile 5 arasındaki fark 6, 29 ile 11 arasındaki fark 18 ve 83 ile 29 arasındaki fark 54'tür. Farklar dizisi 2, 6, 18, 54 şeklinde olup her adımda 3 ile çarpılarak artmaktadır.
Örüntünün artış kuralını veya terimler arasındaki matematiksel ilişkiyi saptamak için bu adım gereklidir.
2
Elde edilen fark örüntüsünü veya genel kuralı formüle edin.
Alternatif olarak, dizinin her bir terimi kendinden önceki terimin 3 katının 4 eksiğidir. Matematiksel olarak an+1=3an−4a_{n+1} = 3a_n - 4 bağıntısı geçerlidir. Örneğin; 3×3−4=53 \times 3 - 4 = 5, 3×5−4=113 \times 5 - 4 = 11, 3×11−4=293 \times 11 - 4 = 29, 3×29−4=833 \times 29 - 4 = 83 şeklinde doğrulanır.
Dizinin bir sonraki terimini doğrudan hesaplayabilmek için genel kuralı netleştirmek gerekir.
3
Bulunan kuralı dizinin son terimine uygulayarak soru işareti yerine gelmesi gereken değeri hesaplayın.
3×83−4=249−4=2453 \times 83 - 4 = 249 - 4 = 245 bulunur. Fark örüntüsü üzerinden gidildiğinde ise bir sonraki fark 54×3=16254 \times 3 = 162 olmalıdır. Buradan 83+162=24583 + 162 = 245 sonucuna ulaşılır.
Örüntü kuralının uygulanmasıyla bilinmeyen terim doğrudan elde edilir.

Anahtar Kavram

Sayı Dizileri ve Örüntüler
Soru 9Soru →
İlk terimi a1=23a_1 = 23 olan bir (an)(a_n) sayı dizisinde, her n≥1n \geq 1 için bir sonraki terim
an+1=an+P(an)a_{n+1} = a_n + P(a_n)
kuralı ile belirlenmektedir. Burada P(x)P(x), xx doğal sayısının tüm basamaklarındaki rakamların çarpımıdır.

Buna göre, bu dizinin 10. terimi (a10a_{10}) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 110

Cevap

110
Doğru cevap 110 değeridir. Dizinin ilk teriminden itibaren adım adım kural uygulandığında 5. terim olan a5=110a_5 = 110 elde edilir. 110 sayısının rakamları çarpımı 1×1×0=01 \times 1 \times 0 = 0 olduğundan, sonraki terim a6=110+0=110a_6 = 110 + 0 = 110 olur. Bu durum zincirleme olarak devam eder ve 10. terim de dahil olmak üzere sonraki tüm terimler 110 olarak sabit kalır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk terim olan a1=23a_1 = 23 değerinden başlayarak bir sonraki terimleri bulmak için rakamların çarpımını ekleme kuralını uygulayalım.
a2=23+(2×3)=29a_2 = 23 + (2 \times 3) = 29
23 sayısının rakamları çarpımı 2×3=62 \times 3 = 6 olup, bu değer a1a_1 terimine eklenir.
2
İkinci terimden üçüncü terimi elde edelim.
a3=29+(2×9)=47a_3 = 29 + (2 \times 9) = 47
29 sayısının rakamları çarpımı 2×9=182 \times 9 = 18 olup, bu değer a2a_2 terimine eklenir.
3
Üçüncü terimden dördüncü terimi elde edelim.
a4=47+(4×7)=75a_4 = 47 + (4 \times 7) = 75
47 sayısının rakamları çarpımı 4×7=284 \times 7 = 28 olup, bu değer a3a_3 terimine eklenir.
4
Dördüncü terimden beşinci terimi elde edelim.
a5=75+(7×5)=110a_5 = 75 + (7 \times 5) = 110
75 sayısının rakamları çarpımı 7×5=357 \times 5 = 35 olup, bu değer a4a_4 terimine eklenir.
5
Beşinci terimden altıncı terimi elde edelim.
a6=110+(1×1×0)=110a_6 = 110 + (1 \times 1 \times 0) = 110
110 sayısının rakamları çarpımında sıfır (0) yutan eleman olduğu için çarpım 0 olur ve terim değişmez.
6
Sonraki tüm terimleri analiz edelim.
a7=a8=a9=a10=110a_7 = a_8 = a_9 = a_{10} = 110
Herhangi bir terim 110 değerine ulaştığında rakamları çarpımı her zaman 0 olacağından, bu adımdan sonraki tüm terimler sabit kalır ve 110 değerine eşit olur.

Anahtar Kavram

Sayı Dizileri ve Örüntüler

İpuçları

1
Terimleri tek tek yazarak örüntüyü takip edin. Özellikle 5. terime ulaştığınızda basamaklardaki rakamların çarpımına dikkat edin.
2
5. terim 75+35=11075 + 35 = 110 olur. Bir sonraki adımda 110 sayısının rakamları çarpımını (1×1×01 \times 1 \times 0) hesaplamanız gerekir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla çalışan fakat rakamları toplamına göre ilerleyen dizilerde periyodik tekrar durumlarını inceleyen soruları çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Dizinin terimlerinin bir noktadan sonra sabitlendiğini fark etmek soruyu çözmenin en hızlı yoludur. Rakamlar çarpımının sıfır olması için terimde en az bir adet '0' rakamı bulunmalıdır. a5=110a_5 = 110 elde edildikten sonra içinde 0 barındıran bu sayıdan sonraki tüm terimlerin değişmeyeceğini doğrudan öngörebiliriz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 10Soru →

Bir sayı dizisinde birinci terim 55’tir. Bu dizinin sonraki her bir terimi, bir önceki terimin 22 katının 33 eksiği alınarak elde edilmektedir. Buna göre, bu dizinin beşinci terimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3535

Cevap

Beşinci terim olan 3535
Dizinin birinci terimi 55 olarak verilmiştir. Her yeni terim bir önceki terimin 22 katından 33 çıkarılarak bulunur. Bu kural sırasıyla uygulandığında ikinci terim 77, üçüncü terim 1111, dördüncü terim 1919 ve beşinci terim 3535 bulunur. Bu nedenle doğru yanıt 3535 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci terim olan a1=5a_1 = 5 değerini kullanarak ikinci terimi (a2a_2) hesaplamak.
a2=2×5−3=7a_2 = 2 \times 5 - 3 = 7
Dizi kuralına göre sonraki terim, bir önceki terimin 2 katının 3 eksiğidir.
2
İkinci terim olan a2=7a_2 = 7 değerini kullanarak üçüncü terimi (a3a_3) hesaplamak.
a3=2×7−3=11a_3 = 2 \times 7 - 3 = 11
Örüntü kuralını bir sonraki adıma uygulamak.
3
Üçüncü terim olan a3=11a_3 = 11 değerini kullanarak dördüncü terimi (a4a_4) hesaplamak.
a4=2×11−3=19a_4 = 2 \times 11 - 3 = 19
Örüntüyü adım adım ilerleterek beşinci terime yaklaşmak.
4
Dördüncü terim olan a4=19a_4 = 19 değerini kullanarak beşinci terimi (a5a_5) hesaplamak.
a5=2×19−3=35a_5 = 2 \times 19 - 3 = 35
İstenen beşinci terime ulaşmak.

Anahtar Kavram

Sayı dizilerinde indirgemeli örüntü kuralını adım adım uygulama
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 11Soru →

Belirli bir kurala göre oluşturulan aşağıdaki sayı dizisinin ilk beş terimi verilmiştir:

3,8,17,32,573, 8, 17, 32, 57

Buna göre, soru işareti (?) yerine hangi sayı gelmelidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 100

Cevap

100
Dizinin genel terim örüntüsü an=2n+n2a_n = 2^n + n^2 şeklindedir. Bu kurala göre 6. terim için n=6n = 6 değeri yerine yazıldığında 26+62=64+36=1002^6 + 6^2 = 64 + 36 = 100 sonucu bulunur. Bu nedenle doğru yanıt 100 sayısıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin terimleri arasındaki ilişkiyi bulmak amacıyla her terimin kendi sırası (indisi nn) ile ilişkisini analiz edin.
1. terim için 33, 2. terim için 88, 3. terim için 1717, 4. terim için 3232 ve 5. terim için 5757 değerleri verilmiştir.
Örüntünün genel kuralını belirlemek için girdi (nn) ile çıktı (terim değeri) arasındaki bağıntıyı keşfetmemiz gerekir.
2
Terimlerin 2n+n22^n + n^2 kuralına uyup uymadığını kontrol edin.
a1=21+12=3a_1 = 2^1 + 1^2 = 3, a2=22+22=8a_2 = 2^2 + 2^2 = 8, a3=23+32=17a_3 = 2^3 + 3^2 = 17, a4=24+42=32a_4 = 2^4 + 4^2 = 32 ve a5=25+52=57a_5 = 2^5 + 5^2 = 57 eşitlikleri doğrulanır.
Bulunan kuralın verilen tüm terimler için geçerli ve tutarlı olduğunu teyit etmek gerekir.
3
Dizinin 6. terimini (n=6n = 6) bulmak için genel kuralı uygulayın.
a6=26+62=64+36=100a_6 = 2^6 + 6^2 = 64 + 36 = 100 elde edilir.
Soru işareti ile belirtilen 6. terimin değerini hesaplamak.

Anahtar Kavram

Sayı dizilerinde genel terim kuralını belirleme ve üslü ifadeler içeren örüntüleri çözme.
Soru 12Soru →
Bir (an)(a_n) sayı dizisinin ilk iki terimi a1=4a_1 = 4 ve a2=5a_2 = 5 olarak verilmiştir. Her n≥2n \geq 2 pozitif tam sayısı için bu dizinin terimleri arasında
an+1=an+an−1−na_{n+1} = a_n + a_{n-1} - n
bağıntısı tanımlanmıştır.

Buna göre, bu dizinin sekizinci terimi (a8a_8) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 31

Cevap

Sekizinci terim 31'dir.
Verilen an+1=an+an−1−na_{n+1} = a_n + a_{n-1} - n bağıntısı n=2n=2'den itibaren sırasıyla uygulandığında, her terim kendinden önceki iki terimin toplamından o adımın nn indisinin çıkarılmasıyla bulunur. Bu adımlar sırasıyla takip edildiğinde a3=7a_3 = 7, a4=9a_4 = 9, a5=12a_5 = 12, a6=16a_6 = 16, a7=22a_7 = 22 ve nihayetinde sekizinci terim olan a8=31a_8 = 31 olarak bulunur. Dolayısıyla doğru yanıt 31'dir.

Adım Adım Çözüm

1
n=2n = 2 için bağıntıyı uygulayarak üçüncü terimi (a3a_3) hesaplayalım.
a3=a2+a1−2=5+4−2=7a_3 = a_2 + a_1 - 2 = 5 + 4 - 2 = 7
Dizinin sonraki terimlerine ulaşabilmek için indirgeme bağıntısını sırasıyla uygulamamız gerekir.
2
n=3n = 3 için bağıntıyı uygulayarak dördüncü terimi (a4a_4) hesaplayalım.
a4=a3+a2−3=7+5−3=9a_4 = a_3 + a_2 - 3 = 7 + 5 - 3 = 9
Bir sonraki terimi bulmak için son iki terimi toplarız ve geçerli nn değerini çıkarırız.
3
n=4n = 4 için bağıntıyı uygulayarak beşinci terimi (a5a_5) hesaplayalım.
a5=a4+a3−4=9+7−4=12a_5 = a_4 + a_3 - 4 = 9 + 7 - 4 = 12
Aynı kuralı n=4n = 4 için sürdürürüz.
4
n=5n = 5 için bağıntıyı uygulayarak altıncı terimi (a6a_6) hesaplayalım.
a6=a5+a4−5=12+9−5=16a_6 = a_5 + a_4 - 5 = 12 + 9 - 5 = 16
Aynı kuralı n=5n = 5 için sürdürürüz.
5
n=6n = 6 için ba��ıntıyı uygulayarak yedinci terimi (a7a_7) hesaplayalım.
a7=a6+a5−6=16+12−6=22a_7 = a_6 + a_5 - 6 = 16 + 12 - 6 = 22
Aynı kuralı n=6n = 6 için sürdürürüz.
6
n=7n = 7 için bağıntıyı uygulayarak sekizinci terimi (a8a_8) hesaplayalım.
a8=a7+a6−7=22+16−7=31a_8 = a_7 + a_6 - 7 = 22 + 16 - 7 = 31
Sekizinci terime ulaşmak için son adımı uygularız.

Anahtar Kavram

İndirgemeli sayı dizilerinde terimleri bir önceki terimler ve indis ilişkisi yardımıyla adım adım hesaplama.
Soru 13Soru →

Terimleri belirli bir kurala göre artan bir sayı dizisinde ilk terim 22’dir. Sonraki her terim, bir önceki terime sırasıyla 4,6,8,10,…4, 6, 8, 10, \dots gibi ardışık çift sayılar eklenerek elde edilmektedir. Buna göre, bu dizinin yedinci terimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 56

Cevap

Dizinin yedinci terimi 56'dır.
Dizinin ilk terimi 2'dir. Tanımlanan kurala göre terimler sırasıyla ardışık çift sayılar olan 4, 6, 8, 10, 12 ve 14 eklenerek büyümektedir. Adım adım toplama işlemleri yapıldığında yedinci terim 56 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk terimi belirlemek ve artış kuralını tanımlamak.
İlk terim a1=2a_1 = 2 olarak verilmiştir. Sonraki terimleri bulmak için sırasıyla ardışık çift sayılar olan 4, 6, 8, 10, 12 ve 14 sayıları eklenmelidir.
Dizinin sonraki terimlerine ulaşmak için artış miktarının her adımda nasıl değiştiğini belirlememiz gerekir.
2
Yedinci terimi bulana kadar tüm terimleri adım adım hesaplamak.
Terimler sırasıyla şu şekilde hesaplanır:
- İkinci terim: a2=2+4=6a_2 = 2 + 4 = 6
- Üçüncü terim: a3=6+6=12a_3 = 6 + 6 = 12
- Dördüncü terim: a4=12+8=20a_4 = 12 + 8 = 20
- Beşinci terim: a5=20+10=30a_5 = 20 + 10 = 30
- Altıncı terim: a6=30+12=42a_6 = 30 + 12 = 42
- Yedinci terim: a7=42+14=56a_7 = 42 + 14 = 56
Her bir terim bir önceki terime bağlı olarak tanımlandığı için sırasıyla ardışık toplama işlemlerini gerçekleştirmeliyiz.

Anahtar Kavram

Sayı dizilerinde terimler arasındaki artış miktarının belirli bir kurala göre değiştiği örüntüleri çözümleme.
Soru 14Soru →

Bir sayı dizisinin elemanları belirli bir kurala göre dizilmiştir:

3,5,8,13,22,39,?3, 5, 8, 13, 22, 39, ?

Buna göre, soru işareti (?) yerine hangi sayı gelmelidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 72

Cevap

Sayı dizisinde soru işareti yerine gelmesi gereken sayı 72'dir.
Verilen sayı dizisinin kuralı incelendiğinde, her adımda bir önceki sayının 22 katı alınıp bu sayının dizideki sırası (indisi) çıkarılmaktadır. 66. terim olan 3939 sayısından bir sonraki terimi bulmak için 2×39−6=722 \times 39 - 6 = 72 işlemi gerçekleştirilir. Bu nedenle doğru yanıt 7272 sayısıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin terimleri arasındaki değişim ve kural incelemeye alınır.
Dizi terimleri a1=3a_1=3, a2=5a_2=5, a3=8a_3=8, a4=13a_4=13, a5=22a_5=22, a6=39a_6=39 şeklindedir. Ardışık terimler arasındaki farklar sırasıyla +2,+3,+5,+9,+17+2, +3, +5, +9, +17 olarak artmaktadır.
Örüntünün genel kuralını veya bir sonraki terimi bulmak için terimler arasındaki matematiksel ilişkiyi belirlemek gerekir.
2
Terimler arasındaki geçiş kuralı formüle edilir.
Her terim, bir önceki terimin 22 katından o terimin indisinin (sırasının) çıkarılmasıyla elde edilir. Yani, an+1=2an−na_{n+1} = 2a_n - n bağıntısı geçerlidir.
Ardışık terimler arasındaki geçişi sağlayan kuralı matematiksel olarak ifade etmek, bilinmeyen terimi bulmamızı sağlar.
3
Belirlenen kural son terim olan 3939 (a6a_6) üzerine uygulanarak bilinmeyen terim (a7a_7) hesaplanır.
a7=2a6−6⇒a7=2×39−6=78−6=72a_7 = 2a_6 - 6 \Rightarrow a_7 = 2 \times 39 - 6 = 78 - 6 = 72 bulunur.
Dizinin 7. terimini bulmak için 6. terim (3939) ve indis (66) kuralda yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Sayı dizilerinde ardışık terimler arasındaki aritmetik ilişkileri ve indis bağımlı değişim kurallarını belirleme.

Alternatif Yöntem

Örüntünün genel terimi an=2n−1+n+1a_n = 2^{n-1} + n + 1 formülü ile de modellenebilir. Bu genel terim formülünde 7. terim için n=7n = 7 yazılırsa, a7=27−1+7+1=26+8=64+8=72a_7 = 2^{7-1} + 7 + 1 = 2^6 + 8 = 64 + 8 = 72 elde edilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 15Soru →

İlk terimi 22 olan bir sayı dizisinde, ardışık terimler arasındaki farklar sırasıyla ardışık tek sayılardır.

Bu dizinin ilk birkaç terimi 2,5,10,17,262, 5, 10, 17, 26 olduğuna göre, dizinin bir sonraki terimi hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 37

Cevap

Bir sonraki terim 37 olmalıdır.
Verilen sayı dizisinde ardışık terimler arasındaki farklar incelendiğinde; ikinci terim ile birinci terim arasındaki fark 3, üçüncü terim ile ikinci terim arasındaki fark 5, dördüncü terim ile üçüncü terim arasındaki fark 7 ve beşinci terim ile dördüncü terim arasındaki fark 9'dur. Bu farklar sırasıyla ardışık tek sayılardır. Buna göre, beşinci terimden sonraki terim ile beşinci terim arasındaki fark sıradaki tek sayı olan 11 olmalıdır. Beşinci terim 26 olduğuna göre, bir sonraki terim 26 + 11 = 37 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Terimler arasındaki farkları hesaplayın.
5 - 2 = 3, 10 - 5 = 5, 17 - 10 = 7, 26 - 17 = 9. Farklar sırasıyla 3, 5, 7, 9 şeklindedir.
Örüntünün kuralını belirlemek için ardışık terimler arasındaki değişim miktarını bulmamız gerekir.
2
Bir sonraki farkı belirleyin ve bir sonraki terimi bulun.
Bir sonraki fark sıradaki tek sayı olan 11 olmalıdır. Buradan 26 + 11 = 37 bulunur.
Örüntünün kuralına göre farklar ardışık tek sayılar olarak devam etmektedir. Son fark 9 olduğuna göre bir sonraki fark 11 olmalıdır.

Anahtar Kavram

Sayı dizilerinde ardışık terimler arasındaki farkların oluşturduğu örüntüyü belirleme ve bir sonraki terimi hesaplama.

İpuçları

1
Terimler arasındaki artış miktarlarını sırasıyla yazarak başlayın.
2
Farkların 3, 5, 7, 9 şeklinde gittiğini göreceksiniz. Bu sayılar nasıl sayılardır?

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde farkları ardışık çift sayılar olan veya genel terimi n^2 - 2 olan dizilerle pratik yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Dizinin terimlerini terim numaraları (n) ile ilişkilendirebilirsiniz. Dikkat ederseniz 2 = 1^2 + 1, 5 = 2^2 + 1, 10 = 3^2 + 1 şeklindedir. Dolayısıyla genel terim a_n = n^2 + 1 olarak yazılabilir. Bu durumda 6. terim 6^2 + 1 = 37 olur.
Tahmini Süre:45s
Soru 16Soru →

Belirli bir kurala göre dizilen aşağıdaki sayı dizisinde xx ve yy harfleri birer terimi temsil etmektedir:

1,2,5,14,41,x,y1, 2, 5, 14, 41, x, y

Buna göre, x+yx + y toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 487

Cevap

Sayı dizisindeki bilinmeyen terimlerin toplamı 487 değerine eşittir.
Dizideki her terim, kendinden önceki terimin 3 katının 1 eksiği alınarak oluşturulmaktadır. Bu doğrultuda 41 sayısından sonra gelen terim 3⋅41−1=1223 \cdot 41 - 1 = 122 olur. Bir sonraki terim ise 3⋅122−1=3653 \cdot 122 - 1 = 365 olarak bulunur. Bu iki bilinmeyen terimin toplamı 122+365=487122 + 365 = 487 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin ardışık terimleri arasındaki ilişkiyi veya artış miktarlarını inceleyin.
Terimler aras��ndaki artış miktarları sırasıyla 2−1=1=302-1=1=3^0, 5−2=3=315-2=3=3^1, 14−5=9=3214-5=9=3^2 ve 41−14=27=3341-14=27=3^3 şeklindedir. Dolayısıyla ardışık terimler arasındaki farklar 3'ün ardışık kuvvetleridir. Alternatif olarak her terim, kendinden önceki terimin 3 katının 1 eksiğidir (an=3⋅an−1−1a_n = 3 \cdot a_{n-1} - 1).
Dizinin kuralını belirleyerek bir sonraki terimleri bulabilmek için bu adım gereklidir.
2
Belirlenen kuralı kullanarak sırasıyla bilinmeyen terimleri hesaplayın.
x=3⋅41−1=122x = 3 \cdot 41 - 1 = 122 ve y=3⋅122−1=365y = 3 \cdot 122 - 1 = 365 olarak bulunur.
Dizide eksik olan terimlerin sayısal değerlerine ulaşmak hedeflenmiştir.
3
Elde edilen terimleri toplayarak sonuca ulaşın.
x+y=122+365=487x + y = 122 + 365 = 487 elde edilir.
Soru kökünde istenen toplam işlemini gerçekleştirmek için bu adım uygulanır.

Anahtar Kavram

Sayı dizilerinde ardışık terimler arasındaki aritmetik ilişkiyi belirleme ve terim hesabı yapma.
Soru 17Soru →

Bir sayı dizisinin terimleri belirli bir kurala göre dizilmiştir:

2,5,11,23,47,?2, 5, 11, 23, 47, ?

Buna göre, soru işareti (?) yerine hangi sayı gelmelidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 95

Cevap

95
Dizideki her bir terim, kendisinden önceki terimin 2 katının 1 fazlası alınarak elde edilmektedir. Buna göre beşinci terim olan 47'den sonraki terim, 2×47+1=952 \times 47 + 1 = 95 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk terim ile ikinci terim arasındaki ilişkiyi incelemek.
2×2+1=52 \times 2 + 1 = 5 ilişkisi kurulur.
Örüntünün başlangıç kuralını belirlemek için ilk iki terim arasındaki bağıntı bulunur.
2
Bulunan kuralın diğer terimler için geçerliliğini kontrol etmek.
2×5+1=112 \times 5 + 1 = 11, 2×11+1=232 \times 11 + 1 = 23 ve 2×23+1=472 \times 23 + 1 = 47 işlemleri kuralı doğrular.
Örüntü kuralının tüm dizi boyunca tutarlı olup olmadığını teyit etmek gerekir.
3
Kuralı son terime uygulayarak bilinmeyen terimi bulmak.
2×47+1=952 \times 47 + 1 = 95 elde edilir.
Soru işareti yerine gelecek sayıyı hesaplamak için kural son adıma uygulanır.

Anahtar Kavram

Sayı dizilerinde ardışık terimler arasındaki aritmetik ilişkileri belirleme ve örüntüyü devam ettirme.

Alternatif Yöntem

Terimler arasındaki farklar incelendiğinde; 5 - 2 = 3, 11 - 5 = 6, 23 - 11 = 12, 47 - 23 = 24 olduğu görülür. Farklar sürekli 2 katına çıktığı için bir sonraki fark 48 olmalıdır. Bu durumda aranan terim 47 + 48 = 95 olarak bulunur.
Tahmini Süre:45s
Soru 18Soru →
Terimleri pozitif tam sayılardan oluşan bir sayı dizisi aşağıda verilmiştir:
7,14,24,36,54,72,90,108,x7, 14, 24, 36, 54, 72, 90, 108, x
Bu dizideki terimler belirli bir mantıksal örüntüye göre dizildiğine göre, xx yerine hangi sayı gelmelidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 135

Cevap

Dizideki örüntü kuralına göre 108 sayısından sonra gelmesi gereken terim 135 sayısıdır.
Dizideki her terim, kendisinden önceki terimin basamakları toplamı ile basamak sayısının çarpımının kendisiyle toplanmasıyla elde edilir. 108108 sayısı için basamak sayısı 33, basamakları toplamı 99 olduğundan eklenecek değer 9×3=279 \times 3 = 27 olur. Sonuç 108+27=135108 + 27 = 135 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Dizideki ardışık terimler arasındaki artış miktarlarını bulunuz.
Artış miktarları sırasıyla: 14−7=714-7=7, 24−14=1024-14=10, 36−24=1236-24=12, 54−36=1854-36=18, 72−54=1872-54=18, 90−72=1890-72=18, 108−90=18108-90=18 şeklindedir.
Ardışık terimler arasındaki ilişkileri veya artış kuralını belirlemek için farkları incelememiz gerekir.
2
Artış miktarları ile terimlerin basamak özellikleri (basamak sayısı ve basamaklar toplamı) arasındaki ilişkiyi kurarak genel kuralı belirleyiniz.
Dizideki her terim, kendisinden önceki terime o terimin basamakları toplamı ile basamak sayısının çarpılmasıyla elde edilen değer eklenerek bulunmaktadır. Matematiksel formül: an+1=an+(Basamakları Toplamı)×(Basamak Sayısı)a_{n+1} = a_n + (\text{Basamakları Toplamı}) \times (\text{Basamak Sayısı}) şeklindedir.
Örüntünün mantıksal kuralını formüle ederek tüm terimler için geçerliliğini teyit etmek gerekir.
3
Belirlenen kuralı dizideki tüm adımlar üzerinde test ediniz.
7→7+(7)×1=147 \to 7 + (7) \times 1 = 14
14→14+(1+4)×2=2414 \to 14 + (1+4) \times 2 = 24
24→24+(2+4)×2=3624 \to 24 + (2+4) \times 2 = 36
36→36+(3+6)×2=5436 \to 36 + (3+6) \times 2 = 54
54→54+(5+4)×2=7254 \to 54 + (5+4) \times 2 = 72
72→72+(7+2)×2=9072 \to 72 + (7+2) \times 2 = 90
90→90+(9+0)×2=10890 \to 90 + (9+0) \times 2 = 108 şeklinde kural doğrulanır.
Bulunan örüntü kuralının dizinin tamamında tutarlı bir şekilde çalıştığından emin olmak gerekir.
4
Kuralı son terim olan 108108 sayısına uygulayarak xx değerini hesaplayınız.
108108 sayısı 33 basamaklıdır ve basamakları toplamı 1+0+8=91+0+8=9'dur. Kural gereği eklenecek değer: 9×3=279 \times 3 = 27 olur. Buradan x=108+27=135x = 108 + 27 = 135 elde edilir.
xx sayısını bulmak için örüntüyü doğru basamak sayısı çarpanı (33) ile uygulamalıyız.

Anahtar Kavram

Sayı dizilerinde terimlerin basamak özellikleri ile aritmetik işlemler arasındaki ilişkileri çözümleme.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 19Soru →

Belirli bir kurala göre oluşturulan aşağıdaki sayı dizisi verilmiştir:

4,7,16,29,62,119,?4, 7, 16, 29, 62, 119, ?

Buna göre, soru işareti (?) yerine hangi sayı gelmelidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 244

Cevap

244
Dizideki her terim, kendinden önceki terimin 2 katı alındıktan sonra sırasıyla -1, +2, -3, +4, -5 değerleri eklenerek elde edilmektedir. Son terim olan 119'dan sonraki adıma geçmek için terimin 2 katı alınmalı ve serideki bir sonraki değer olan +6 eklenmelidir. Bu işlem sonucunda 244 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin ilk terimleri arasındaki ardışık geçişleri ve uygulanan işlemleri inceleyin.
4'ten 7'ye geçişte: 4×2−1=74 \times 2 - 1 = 7
7'den 16'ya geçişte: 7×2+2=167 \times 2 + 2 = 16
16'dan 29'a geçişte: 16×2−3=2916 \times 2 - 3 = 29
olarak bulunur.
Ardışık terimler arasındaki matematiksel ilişkiyi ve değişen örüntü yapısını saptamak.
2
Belirlenen iki aşamalı örüntü kuralını dizinin sonraki terimleri üzerinde test ederek doğrulayın.
29'dan 62'ye geçişte: 29×2+4=6229 \times 2 + 4 = 62
62'den 119'a geçişte: 62×2−5=11962 \times 2 - 5 = 119
işlemleri kuralı doğrulamaktadır.
Kuralın tüm dizi boyunca tutarlı bir şekilde işlediğinden emin olmak.
3
Genel kuralı son terim olan 119'a uygulayarak bilinmeyen terimi hesaplayın.
Örüntüye göre bir sonraki adımda terim 2 ile çarpılmalı ve sıradaki sayı olan 6 eklenmelidir: 119×2+6=238+6=244119 \times 2 + 6 = 238 + 6 = 244 elde edilir.
Soru işaretinin temsil ettiği değeri bulmak.

Anahtar Kavram

Sayı dizilerinde ardışık terimler arasındaki değişken işlemli örüntü kuralları
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 20Soru →
Terimleri arasında matematiksel bir ilişki bulunan bir sayı dizisi aşağıda verilmiştir:
1,5,19,65,211,?1, 5, 19, 65, 211, ?
Buna göre, soru işareti (?) yerine hangi sayı gelmelidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 665

Cevap

665
Dizideki her terim, kendinden önceki terimin 3 katına 2'nin ardışık kuvvetlerinin eklenmesiyle elde edilmektedir. Formül an=3⋅an−1+2n−1a_n = 3 \cdot a_{n-1} + 2^{n-1} şeklindedir. Beşinci terim 211211 olduğuna göre, altıncı terim 3⋅211+25=633+32=6653 \cdot 211 + 2^5 = 633 + 32 = 665 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sayı dizisindeki ardışık terimlerin artış hızını ve aralarındaki ilişkiyi analiz etmek.
Dizinin terimleri 1,5,19,65,2111, 5, 19, 65, 211 şeklindedir. Her bir terim, bir önceki terimin yaklaşık 3 katına yakındır.
Dizinin genel ilerleme kuralını keşfetmek amacıyla ilk gözlemi yapmak.
2
Her terimin bir önceki terimle olan ilişkisini veren matematiksel kuralı kurmak ve test etmek.
an=3⋅an−1+2n−1a_n = 3 \cdot a_{n-1} + 2^{n-1} kuralının geçerli olduğu doğrulanır. Örnek hesaplamalar:
- a2=3⋅1+21=5a_2 = 3 \cdot 1 + 2^1 = 5
- a3=3⋅5+22=19a_3 = 3 \cdot 5 + 2^2 = 19
- a4=3⋅19+23=65a_4 = 3 \cdot 19 + 2^3 = 65
- a5=3⋅65+24=211a_5 = 3 \cdot 65 + 2^4 = 211
Bir sonraki terimi hatasız bir şekilde tahmin edebilmek için örüntünün kuralını formülleştirmek.
3
Doğrulanmış örüntü kuralını kullanarak dizinin 6. terimini hesaplamak.
a6=3⋅211+25=633+32=665a_6 = 3 \cdot 211 + 2^5 = 633 + 32 = 665 bulunur.
Soru işareti yerine gelmesi gereken değeri matematiksel işlemlerle elde etmek.

Anahtar Kavram

Sayı Dizileri ve Örüntüler
Sayfa 1 / 2Sonraki