Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorSayı Problemleri

Bir kargo dağıtım merkezinde bulunan toplam 200200 adet ürün; küçük, orta ve büyük boy kutulara yerleştirilecektir. Bu kutularla ilgili aşağıdaki bilgiler bilinmektedir:

* Her bir küçük boy kutuya 33 ürün, her bir orta boy kutuya 66 ürün ve her bir büyük boy kutuya 1010 ürün konulmaktadır.
* Tüm ürünler kutulara tam dolacak şekilde yerleştirildiğinde toplam 4040 adet kutu kullanılmıştır ve hiç ürün artmamıştır.
* Kullanılan küçük boy kutu sayısı, büyük boy kutu sayısının 33 katından fazladır.

Buna göre, kullanılan orta boy kutu sayısı en fazla kaçtır?

  1. A
    15
  2. B
    18
  3. C
    20
  4. 22Cevap
  5. E
    24

Cevap

Kullanılan orta boy kutu sayısı en fazla 22 olabilir.
Kutuların sayıları sırasıyla xx, yy ve zz olarak belirlenip denklemler çözüldüğünde 3y+7z=803y + 7z = 80 eşitliği ve x>3zx > 3z kısıtı elde edilir. Bu kısıtları sağlayan en büyük orta boy kutu sayısı 22 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Küçük, orta ve büyük boy kutu sayılarını sırasıyla xx, yy ve zz değişkenleri olarak tanımlayıp verilen bilgilere göre denklemleri kurun.
Toplam kutu sayısı için x+y+z=40x + y + z = 40, toplam ürün sayısı için 3x+6y+10z=2003x + 6y + 10z = 200 denklemleri elde edilir. Ayrıca küçük boy kutu sayısının büy��k boy kutu sayısının 3 katından fazla olduğu bilgisiyle x>3zx > 3z eşitsizliği yazılır.
Problemin sözel verilerini matematiksel denklemlere dönüştürmek için.
2
İlk denklemden xx değişkenini yalnız bırakıp ikinci denklemde yerine yazarak yy ve zz arasındaki ilişkiyi bulun.
x=40−y−zx = 40 - y - z ifadesini ürün sayısı denkleminde yerine yazarsak: 3(40−y−z)+6y+10z=200  ⟹  120−3y−3z+6y+10z=200  ⟹  3y+7z=803(40 - y - z) + 6y + 10z = 200 \implies 120 - 3y - 3z + 6y + 10z = 200 \implies 3y + 7z = 80 denklemi elde edilir.
Bilinmeyen sayıs��nı azaltarak değişkenler arasındaki matematiksel ilişkiyi sadeleştirmek için.
3
3y+7z=803y + 7z = 80 denkleminde yy ve zz değişkenlerinin pozitif tam sayı olma koşulunu ve x>3zx > 3z eşitsizliğini sağlayan durumları inceleyin.
Denklemden 3y=80−7z3y = 80 - 7z elde edilir. yy'nin bir tam sayı olabilmesi için 80−7z80 - 7z ifadesi 3'ün katı olmalıdır. Bu koşulu sağlayan ve y≥0y \geq 0 olmasını gerektiren zz değerleri 2,5,8,112, 5, 8, 11 olabilir. Bu değerler için yy ve xx değerleri hesaplanır:
* z=2z = 2 için y=22y = 22 ve x=40−22−2=16x = 40 - 22 - 2 = 16 olur. 16>3⋅2  ⟹  16>616 > 3 \cdot 2 \implies 16 > 6 (Sağlar)
* z=5z = 5 için y=15y = 15 ve x=40−15−5=20x = 40 - 15 - 5 = 20 olur. 20>3⋅5  ⟹  20>1520 > 3 \cdot 5 \implies 20 > 15 (Sağlar)
* z=8z = 8 için y=8y = 8 ve x=40−8−8=24x = 40 - 8 - 8 = 24 olur. 24>3⋅8  ⟹  24>2424 > 3 \cdot 8 \implies 24 > 24 (Sağlamaz)
* z=11z = 11 için y=1y = 1 ve x=40−1−11=28x = 40 - 1 - 11 = 28 olur. 28>3⋅11  ⟹  28>3328 > 3 \cdot 11 \implies 28 > 33 (Sağlamaz)
Sayı problemlerindeki tam sayı kısıtlamalarını ve eşitsizlik şartlarını sağlayan uygun tüm durumları belirlemek için.
4
Elde edilen geçerli çözümler arasından en büyük yy değerini belirleyin.
Geçerli çözümlerdeki orta boy kutu sayısı (yy) 2222 veya 1515 olabilir. Bu değerlerin en büyüğü 2222 olarak bulunur.
Soruda istenen en fazla kutu sayısını tespit etmek için.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemleri ve tam sayı kısıtlı optimizasyon problemleri.
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Problemleri

Bu konudan daha fazla soru