Examkin

Soru

Zorluk: OrtaFaktöriyel
AA ve BB iki basamaklı doğal sayılar olmak üzere,
A!⋅B!A! \cdot B!
çarpımının asal bölenlerinden en büyüğü 1313'tür.

Buna göre, A+BA + B toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

  1. A
    20
  2. B
    22
  3. 23Cevap
  4. D
    24
  5. E
    26

Cevap

Toplamın alabileceği en küçük değer 23'tür.
Toplamın alabileceği en küçük değer 23'tür. En küçük iki basamaklı doğal sayı 10 olup, en büyük asal bölenin 13 olması için diğer sayının en az 13 olması gerekir. Bu durumda sayılar 13 ve 10 seçilerek en küçük toplam elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Faktöriyel kavramı ile asal bölen ilişkisini kurma.
n!n! sayısının asal bölenleri, nn sayısından küçük veya nn sayısına eşit olan tüm asal sayılardır.
Faktöriyel, 1'den n'ye kadar olan ardışık tam sayıların çarpımı olduğundan bu aralıktaki tüm asal sayıları çarpan olarak barındırır.
2
En büyük asal bölen koşulunu analiz etme.
A!⋅B!A! \cdot B! çarpımının en büyük asal böleninin 1313 olması için, AA ve BB sayılarından en az birinin 1313 veya daha büyük olması, ancak her ikisinin de bir sonraki asal sayı olan 1717'den küçük olması gerekir (yani A,B<17A, B < 17 ve max⁡(A,B)≥13\max(A, B) \ge 13).
Eğer sayılardan biri 17 veya daha büyük olsaydı, çarpımın en büyük asal böleni en az 17 olurdu. Eğer her ikisi de 13'ten küçük olsaydı, en büyük asal bölen en fazla 11 olurdu.
3
İki basamaklı olma koşulunu uygulayarak toplamı en küçük yapacak değerleri seçme.
AA ve BB iki basamaklı doğal sayılar olduğundan A≥10A \ge 10 ve B≥10B \ge 10 olmalıdır. Toplamı en küçük yapmak için sayılardan birini en küçük iki basamaklı doğal sayı olan 1010, diğerini ise koşulu sağlayan en küçük değer olan 1313 olarak seçeriz.
Koşulları sağlayan en küçük (A,B)(A, B) ikilisi sırasıyla 13 ve 10'dur.
4
Toplamı hesaplama.
A+B=13+10=23A + B = 13 + 10 = 23 bulunur.
En küçük iki basamaklı değerlerin toplamı hedeflenmiştir.

Anahtar Kavram

Faktöriyel içeren ifadelerin asal bölenlerini belirleme ve verilen kısıtlar altında en küçük değerleri bulma.

İpuçları

1
Bir n!n! sayısının asal bölenlerinin, nn'den küçük veya nn'ye eşit asal sayılar olduğunu hatırlayın.
2
A!⋅B!A! \cdot B! çarpımının en büyük asal böleni 13 ise, bu sayılardan en az birinin en az 13 olması gerektiğini ve her ikisinin de 17'den küçük olması gerektiğini düşünün.
3
AA ve BB sayılarının iki basamaklı en küçük doğal sayılar olması kısıtını kullanarak, birini en küçük iki basamaklı sayı olan 10, diğerini ise en büyük asal böleni 13 yapacak en küçük sayı olan 13 olarak seçin.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Faktöriyel

Bu konudan daha fazla soru