Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKüme Problemleri

Bir turizm acentesindeki 8080 rehberin her biri İngilizce, Almanca ve Rusça dillerinden en az birini bilmektedir. Bu rehberlerle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* En az iki dil bilen rehber sayısı 1818, üç dili de bilen rehber sayısı ise 44'tür.
* Sadece iki dil bilen rehberlerden İngilizce ve Almanca bilenlerin sayısı; Almanca ve Rusça bilenlerin sayısının 22 katı, İngilizce ve Rusça bilenlerin sayısının ise yarısıdır.
* İngilizce bilen rehberlerin sayısı, sadece Rusça bilen rehberlerin sayısının 33 katıdır.
* Almanca bilen rehberlerin sayısı, sadece İngilizce bilen rehberlerin sayısın��n 22 katıdır.

Buna göre, bu acentedeki rehberlerden sadece Almanca bilenlerin sayısı kaçtır?

  1. A
    24
  2. B
    28
  3. 30Cevap
  4. D
    32
  5. E
    36

Cevap

Sadece Almanca bilen rehberlerin sayısı 30'dur.
Sorudaki tüm kısıtlar ve oranlar küme bölgelerine yerleştirilip cebirsel denklem çözüldüğünde, sadece Almanca bilen rehber sayısı net olarak 30 olarak hesaplanmaktadır. Bu değer tüm koşulları (toplam rehber sayısı, en az iki dil bilenler ve dil bilenlerin oranları) mükemmel şekilde sağlamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Kümeleri ve bölgeleri harflerle sembolize edelim.
Sadece İngilizce bilenler: aa, sadece Almanca bilenler: bb, sadece Rusça bilenler: cc. Sadece iki dil bilenler: ��ngilizce ve Almanca için xx, Almanca ve Rusça için yy, İngilizce ve Rusça için zz. Üç dili de bilenler: w=4w = 4.
Soruda verilen sözel ifadeleri cebirsel olarak ifade edebilmek için her bölgeye bir değişken atamamız gerekir.
2
İki dil bilenlerin sayıları arasındaki ilişkileri bulalım.
En az iki dil bilenler x+y+z+w=18  ⟹  x+y+z=14x+y+z+w = 18 \implies x+y+z = 14 olur. Verilen oranlara göre x=2yx = 2y ve x=z/2  ⟹  z=4yx = z/2 \implies z = 4y yazılır. Buradan 2y+y+4y=14  ⟹  7y=14  ⟹  y=22y + y + 4y = 14 \implies 7y = 14 \implies y = 2 bulunur. Dolayısıyla x=4x = 4 ve z=8z = 8 elde edilir.
Sadece iki dil bilen rehberlerin sayılarını kesin olarak tespit etmek, diğer denklem sistemlerini basitleştirecektir.
3
Tüm dilleri bilenler ve sadece iki dil bilenleri kullanarak genel toplam denklemini yazalım.
Toplam rehber sayısı 8080 olduğundan: a+b+c+x+y+z+w=80  ⟹  a+b+c+14+4=80  ⟹  a+b+c=62a+b+c + x+y+z+w = 80 \implies a+b+c + 14 + 4 = 80 \implies a+b+c = 62 olur.
Sadece bir dil bilenlerin toplam sayısına ulaşarak bilinmeyen sayısını azaltmak için.
4
Dil bilenlerin sayılarını veren diğer koşulları denklemlere dökelim.
İngilizce bilenler: a+x+z+w=a+4+8+4=a+16a+x+z+w = a+4+8+4 = a+16 kişidir. Sadece Rusça bilenler cc olduğuna göre; a+16=3c  ⟹  a−3c=−16a+16 = 3c \implies a - 3c = -16 olur. Almanca bilenler: b+x+y+w=b+4+2+4=b+10b+x+y+w = b+4+2+4 = b+10 kişidir. Sadece İngilizce bilenler aa olduğuna göre; b+10=2a  ⟹  b=2a−10b+10 = 2a \implies b = 2a-10 olur.
Verilen sözel oranları tekil değişkenler cinsinden denklem sistemine dönüştürmek için.
5
Elde edilen denklem sistemini çözelim.
a+b+c=62a+b+c=62 denkleminde b=2a−10b = 2a-10 yazılırsa: a+2a−10+c=62  ⟹  3a+c=72  ⟹  c=72−3aa + 2a - 10 + c = 62 \implies 3a + c = 72 \implies c = 72 - 3a elde edilir. Bu değeri a−3c=−16a - 3c = -16 denkleminde yerine koyalım: a−3(72−3a)=−16  ⟹  a−216+9a=−16  ⟹  10a=200  ⟹  a=20a - 3(72-3a) = -16 \implies a - 216 + 9a = -16 \implies 10a = 200 \implies a = 20 bulunur. Buradan b=2(20)−10=30b = 2(20) - 10 = 30 ve c=72−3(20)=12c = 72 - 3(20) = 12 elde edilir.
Tüm bilinmeyenlerin sayısal değerlerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Üçlü Venn diyagramı üzerinde bölgelerin harflendirilerek denklem sistemleri yardımıyla çözülmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Küme Problemleri

Bu konudan daha fazla soru