Examkin

Küme Problemleri

11 soru

Soru 1Soru →

Bir şirketteki çalışanların yabancı dil bilgileriyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Çalışanların %60\%60'ı İngilizce, %50\%50'si Almanca bilmektedir.
* Bu dillerin en az birini bilenlerin sayısı, hiçbirini bilmeyenlerin sayısının 44 katıdır.
* Her iki dili de bilenlerin sayısı, sadece Almanca bilenlerin sayısından 88 fazladır.

Buna göre, bu şirkette sadece İngilizce bilen çalışan sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Sadece İngilizce bilen çalışan sayısı 24'tür.
Toplam çalışan sayısı 100x100x kabul edildiğinde, hiçbir dil bilmeyenler 20x20x, en az bir dil bilenler 80x80x olur. İngilizce ve Almanca kümelerinin birleşimi üzerinden kesişim kümesi (her iki dili bilenler) 30x30x, sadece Almanca bilenler 20x20x ve sadece İngilizce bilenler 30x30x olarak hesaplanır. 30x=20x+830x = 20x + 8 denklemi çözüldüğünde 10x=810x = 8 ve sadece İngilizce bilenlerin sayısı olan 30x=2430x = 24 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam çalışan sayısını 100x100x olarak belirleyip, verilen oranları kullanarak hiçbir yabancı dil bilmeyenler ile en az bir yabancı dil bilenlerin oranını denklem haline getirmek.
Hiçbir dil bilmeyenler 20x20x ve en az bir dil bilenler (birleşim kümesi) 80x80x olarak bulunur.
Soruda verilen 'en az birini bilenlerin sayısı, hiçbirini bilmeyenlerin sayısının 4 katıdır' ifadesini matematiksel olarak modellemek için.
2
İngilizce (II) ve Almanca (AA) kümelerinin birleşim formülünü (s(I∪A)=s(I)+s(A)−s(I∩A)s(I \cup A) = s(I) + s(A) - s(I \cap A)) kullanarak her iki dili de bilenlerin oranını bulmak.
80x=60x+50x−s(I∩A)  ⟹  s(I∩A)=30x80x = 60x + 50x - s(I \cap A) \implies s(I \cap A) = 30x (her iki dili de bilenler) bulunur. Buradan sadece İngilizce bilenler 30x30x, sadece Almanca bilenler ise 20x20x olur.
Kesişim ve yalnız bir dili bilenlerin oranlarını belirleyerek verilen kişi sayısı ilişkisini kurmak için.
3
Her iki dili de bilenlerin sayısı ile sadece Almanca bilenlerin sayısı arasındaki ilişkiyi kullanarak xx değerini bulmak ve sadece İngilizce bilen çalışan sayısını hesaplamak.
30x=20x+8  ⟹  10x=8  ⟹  x=0,830x = 20x + 8 \implies 10x = 8 \implies x = 0,8 bulunur. Buradan sadece İngilizce bilen çalışan sayısı 30x=30×0,8=2430x = 30 \times 0,8 = 24 olarak hesaplanır.
Sorudaki kişi sayısı bilgisini oranlarla eşleştirip kesin sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Küme Problemleri ve Evrensel Küme İlişkisi
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2Soru →

Bir gruptaki kişilerden 1818'i futbol, 1414'ü basketbol oynamaktadır. Bu grupta her iki sporu da oynayan 55 kişi olduğuna göre, futbol veya basketbol sporlarından en az birini oynayan toplam kaç kişi vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2727

Cevap

Futbol veya basketbol oynayanların toplam sayısı 2727'dir.
Futbol veya basketbol oynayanların toplam sayısı, bu iki kümenin birleşim kümesinin eleman sayısına eşittir. Birleşim kümesinin eleman sayısı formülü s(F∪B)=s(F)+s(B)−s(F∩B)s(F \cup B) = s(F) + s(B) - s(F \cap B) şeklindedir. Verilen değerler formülde yerine yazıldığında 18+14−5=2718 + 14 - 5 = 27 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Futbol oynayanların kümesini FF, basketbol oynayanların kümesini BB olarak belirleyip eleman sayılarını yazalım.
s(F)=18s(F) = 18, s(B)=14s(B) = 14 ve her iki sporu oynayanlar s(F∩B)=5s(F \cap B) = 5 olur.
Soruda verilen sözel ifadeleri matematiksel küme sembolleriyle ifade etmek amacıyla bu adım gerçekleştirilir.
2
En az bir sporu oynayanların sayısını bulmak için birleşim kümesi formülünü uygulayalım: s(F∪B)=s(F)+s(B)−s(F∩B)s(F \cup B) = s(F) + s(B) - s(F \cap B)
s(F∪B)=18+14−5=27s(F \cup B) = 18 + 14 - 5 = 27 olarak bulunur.
Her iki sporu da oynayan kişilerin toplam hesaplamada iki kez sayılmasını önlemek için kesişim kümesinin eleman sayısını bir kez çıkarmamız gerekir.

Anahtar Kavram

İki kümenin birleşiminin eleman sayısının hesaplanması
Soru 3Soru →

Bir iş yerindeki 6060 çalışanın her biri çay veya kahve içeceklerinden en az birini tüketmektedir. Bu çalışanlar ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Çay tüketen kadın çalışanların sayısı, kahve tüketen erkek çalışanların sayısının 22 katıdır.
* Sadece çay tüketen erkek çalışanların sayısı, sadece kahve tüketen kadın ��alışanların sayısına eşittir.
* Hem çay hem kahve tüketen erkek çalışanların sayısı, sadece çay tüketen kadın çalışanların sayısının yarısıdır.
* Hem çay hem kahve tüketen kadın çal��şanların sayısı 66'dır.
* Kadın çalışanların toplam sayısı, erkek çalışanların toplam sayısından 1010 fazladır.

Buna göre, bu iş yerinde çay tüketen erkek çalışan sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Çay tüketen erkek çalışan sayısı 22'dir.
Çay tüketen erkek çalışan sayısı, sadece çay tüketen erkek çalışanlar (15 kişi) ile hem çay hem kahve tüketen erkek çalışanların (7 kişi) toplamına eşittir. Bu iki değerin toplanmasıyla 22 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Sorudaki verileri küme sembolleriyle ifade edip bilinen değerleri yerine yazarak ilk bilinmeyeni bulalım.
Sadece kahve tüketen erkek çalışan sayısı (EKaE_{Ka}) 33 olarak bulunur.
Çay tüketen kadınların sayısı (KC\c+KC\c∩KaK_{Ç} + K_{Ç\cap Ka}), kahve tüketen erkeklerin sayısının (EKa+EC\c∩KaE_{Ka} + E_{Ç\cap Ka}) iki katıdır. KC\c=2EC\c∩KaK_{Ç} = 2 E_{Ç\cap Ka} ve KC\c∩Ka=6K_{Ç\cap Ka} = 6 değerleri yerine yazıldığında, 2EC\c∩Ka+6=2(EKa+EC\c∩Ka)⇒2EC\c∩Ka+6=2EKa+2EC\c∩Ka2 E_{Ç\cap Ka} + 6 = 2(E_{Ka} + E_{Ç\cap Ka}) \Rightarrow 2 E_{Ç\cap Ka} + 6 = 2 E_{Ka} + 2 E_{Ç\cap Ka} olur. Buradan 2EKa=6⇒EKa=32 E_{Ka} = 6 \Rightarrow E_{Ka} = 3 elde edilir.
2
Toplam çalışan sayısından yola çıkarak birinci denklemi oluşturalım.
2EC\c+3EC\c∩Ka=512 E_{Ç} + 3 E_{Ç\cap Ka} = 51 denklemi elde edilir.
Toplam 60 çalışan olduğundan EC\c+EKa+EC\c∩Ka+KC\c+KKa+KC\c∩Ka=60E_{Ç} + E_{Ka} + E_{Ç\cap Ka} + K_{Ç} + K_{Ka} + K_{Ç\cap Ka} = 60 yazılır. EKa=3E_{Ka} = 3, KC\c∩Ka=6K_{Ç\cap Ka} = 6, KC\c=2EC\c∩KaK_{Ç} = 2 E_{Ç\cap Ka} ve KKa=EC\cK_{Ka} = E_{Ç} değerleri yerine yazıldığında: EC\c+3+EC\c∩Ka+2EC\c∩Ka+EC\c+6=60⇒2EC\c+3EC\c∩Ka+9=60⇒2EC\c+3EC\c∩Ka=51E_{Ç} + 3 + E_{Ç\cap Ka} + 2 E_{Ç\cap Ka} + E_{Ç} + 6 = 60 \Rightarrow 2 E_{Ç} + 3 E_{Ç\cap Ka} + 9 = 60 \Rightarrow 2 E_{Ç} + 3 E_{Ç\cap Ka} = 51 olur.
3
Kadın ve erkek çalışan sayıları farkını kullanarak ikinci bir denklem elde edip bilinmeyenleri çözelim.
Hem çay hem kahve tüketen erkek sayısı (EC\c∩KaE_{Ç\cap Ka}) 77 olarak bulunur.
Kadın sayısı ile erkek sayısı farkı 10'dur: ∣K∣−∣E∣=10⇒(KC\c+KKa+KC\c∩Ka)−(EC\c+EKa+EC\c∩Ka)=10|K| - |E| = 10 \Rightarrow (K_{Ç} + K_{Ka} + K_{Ç\cap Ka}) - (E_{Ç} + E_{Ka} + E_{Ç\cap Ka}) = 10. Değerler yazıldığında: (2EC\c∩Ka+EC\c+6)−(EC\c+3+EC\c∩Ka)=10⇒EC\c∩Ka+3=10⇒EC\c∩Ka=7(2 E_{Ç\cap Ka} + E_{Ç} + 6) - (E_{Ç} + 3 + E_{Ç\cap Ka}) = 10 \Rightarrow E_{Ç\cap Ka} + 3 = 10 \Rightarrow E_{Ç\cap Ka} = 7 elde edilir.
4
Elde edilen değerlerle çay tüketen erkek çalışan sayısını hesaplayalım.
Çay tüketen erkek çalışan sayısı 2222 olarak bulunur.
2EC\c+3EC\c∩Ka=512 E_{Ç} + 3 E_{Ç\cap Ka} = 51 denkleminde EC\c∩Ka=7E_{Ç\cap Ka} = 7 yazılırsa, 2EC\c+21=51⇒2EC\c=30⇒EC\c=152 E_{Ç} + 21 = 51 \Rightarrow 2 E_{Ç} = 30 \Rightarrow E_{Ç} = 15 bulunur. Çay tüketen erkeklerin sayısı ise sadece çay tüketenler ile her ikisini tüketenlerin toplamıdır: EC\c+EC\c∩Ka=15+7=22E_{Ç} + E_{Ç\cap Ka} = 15 + 7 = 22'dir.

Anahtar Kavram

Kümeler yardımıyla denklem kurma ve problem çözme

İpuçları

1
Çalışanları cinsiyetlerine (Erkek/Kadın) ve tükettikleri içeceklere (Sadece Çay, Sadece Kahve, Her İkisi) göre gruplandırarak bir tablo oluşturun.
2
Çay tüketen kadınların sayısı ile kahve tüketen erkeklerin sayısı arasındaki ilişkiyi kullanarak sadece kahve içen erkek çalışan sayısını doğrudan bulabilirsiniz.
3
Toplam çalışan sayısından elde ettiğiniz denklem ile kadın ve erkeklerin sayıları arasındaki farktan elde ettiğiniz iki bilinmeyenli denklemi ortak çözerek kesişim bölgesini bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla kurgulanmış, üç kümenin (örneğin dil kursuna gidenler) cinsiyete göre ayrıldığı daha karmaşık küme problemlerini çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tablo yöntemi yerine Venn şeması üzerinde Erkek ve Kadın bölgelerini iki ayrı katman olarak çizip elemanları yerleştirebilirsiniz. Bu sayede görsel olarak hangi bölgelerin birbirine eşit olduğunu daha rahat görebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 4Soru →

Bir turizm acentesindeki 8080 rehberin her biri İngilizce, Almanca ve Rusça dillerinden en az birini bilmektedir. Bu rehberlerle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* En az iki dil bilen rehber sayısı 1818, üç dili de bilen rehber sayısı ise 44'tür.
* Sadece iki dil bilen rehberlerden İngilizce ve Almanca bilenlerin sayısı; Almanca ve Rusça bilenlerin sayısının 22 katı, İngilizce ve Rusça bilenlerin sayısının ise yarısıdır.
* İngilizce bilen rehberlerin sayısı, sadece Rusça bilen rehberlerin sayısının 33 katıdır.
* Almanca bilen rehberlerin sayısı, sadece İngilizce bilen rehberlerin sayısın��n 22 katıdır.

Buna göre, bu acentedeki rehberlerden sadece Almanca bilenlerin sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Sadece Almanca bilen rehberlerin sayısı 30'dur.
Sorudaki tüm kısıtlar ve oranlar küme bölgelerine yerleştirilip cebirsel denklem çözüldüğünde, sadece Almanca bilen rehber sayısı net olarak 30 olarak hesaplanmaktadır. Bu değer tüm koşulları (toplam rehber sayısı, en az iki dil bilenler ve dil bilenlerin oranları) mükemmel şekilde sağlamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Kümeleri ve bölgeleri harflerle sembolize edelim.
Sadece İngilizce bilenler: aa, sadece Almanca bilenler: bb, sadece Rusça bilenler: cc. Sadece iki dil bilenler: ��ngilizce ve Almanca için xx, Almanca ve Rusça için yy, İngilizce ve Rusça için zz. Üç dili de bilenler: w=4w = 4.
Soruda verilen sözel ifadeleri cebirsel olarak ifade edebilmek için her bölgeye bir değişken atamamız gerekir.
2
İki dil bilenlerin sayıları arasındaki ilişkileri bulalım.
En az iki dil bilenler x+y+z+w=18  ⟹  x+y+z=14x+y+z+w = 18 \implies x+y+z = 14 olur. Verilen oranlara göre x=2yx = 2y ve x=z/2  ⟹  z=4yx = z/2 \implies z = 4y yazılır. Buradan 2y+y+4y=14  ⟹  7y=14  ⟹  y=22y + y + 4y = 14 \implies 7y = 14 \implies y = 2 bulunur. Dolayısıyla x=4x = 4 ve z=8z = 8 elde edilir.
Sadece iki dil bilen rehberlerin sayılarını kesin olarak tespit etmek, diğer denklem sistemlerini basitleştirecektir.
3
Tüm dilleri bilenler ve sadece iki dil bilenleri kullanarak genel toplam denklemini yazalım.
Toplam rehber sayısı 8080 olduğundan: a+b+c+x+y+z+w=80  ⟹  a+b+c+14+4=80  ⟹  a+b+c=62a+b+c + x+y+z+w = 80 \implies a+b+c + 14 + 4 = 80 \implies a+b+c = 62 olur.
Sadece bir dil bilenlerin toplam sayısına ulaşarak bilinmeyen sayısını azaltmak için.
4
Dil bilenlerin sayılarını veren diğer koşulları denklemlere dökelim.
İngilizce bilenler: a+x+z+w=a+4+8+4=a+16a+x+z+w = a+4+8+4 = a+16 kişidir. Sadece Rusça bilenler cc olduğuna göre; a+16=3c  ⟹  a−3c=−16a+16 = 3c \implies a - 3c = -16 olur. Almanca bilenler: b+x+y+w=b+4+2+4=b+10b+x+y+w = b+4+2+4 = b+10 kişidir. Sadece İngilizce bilenler aa olduğuna göre; b+10=2a  ⟹  b=2a−10b+10 = 2a \implies b = 2a-10 olur.
Verilen sözel oranları tekil değişkenler cinsinden denklem sistemine dönüştürmek için.
5
Elde edilen denklem sistemini çözelim.
a+b+c=62a+b+c=62 denkleminde b=2a−10b = 2a-10 yazılırsa: a+2a−10+c=62  ⟹  3a+c=72  ⟹  c=72−3aa + 2a - 10 + c = 62 \implies 3a + c = 72 \implies c = 72 - 3a elde edilir. Bu değeri a−3c=−16a - 3c = -16 denkleminde yerine koyalım: a−3(72−3a)=−16  ⟹  a−216+9a=−16  ⟹  10a=200  ⟹  a=20a - 3(72-3a) = -16 \implies a - 216 + 9a = -16 \implies 10a = 200 \implies a = 20 bulunur. Buradan b=2(20)−10=30b = 2(20) - 10 = 30 ve c=72−3(20)=12c = 72 - 3(20) = 12 elde edilir.
Tüm bilinmeyenlerin sayısal değerlerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Üçlü Venn diyagramı üzerinde bölgelerin harflendirilerek denklem sistemleri yardımıyla çözülmesi.
Soru 5Soru →

Bir toplulukta Almanca veya Fransızca dillerinden en az birini konuşan 3030 kişi bulunmaktadır. Bu toplulukta Almanca konuşanların sayısı 1818, her iki dili de konuşanların sayısı ise 55'tir. Buna göre, bu toplulukta sadece Fransızca konuşan kaç kişi vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Sadece Fransızca konuşan kişi sayısı 12'dir.
Topluluktaki toplam kişi sayısı (Almanca veya Fransızca konuşanlar), Almanca konuşanlar ile sadece Fransızca konuşanların toplamına eşittir. Bu durumda sadece Fransızca konuşanların sayısı 30−18=1230 - 18 = 12 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sözel bilgileri küme sembolleriyle ifade etmek.
Almanca konuşanlar kümesi AA, Fransızca konuşanlar kümesi FF olsun. Verilenler: s(A∪F)=30s(A \cup F) = 30, s(A)=18s(A) = 18 ve s(A∩F)=5s(A \cap F) = 5'tir.
Problemdeki verileri matematiksel olarak modellemek.
2
Sadece Fransızca konuşanların sayısını bulmak için birleşim kümesinden Almanca konuşanların tamamını çıkarmak.
s(F∖A)=s(A∪F)−s(A)=30−18=12s(F \setminus A) = s(A \cup F) - s(A) = 30 - 18 = 12 olarak hesaplanır.
Almanca veya Fransızca konuşanlar kümesi, Almanca konuşanlar ile sadece Fransızca konuşanların birleşiminden oluşur. Bu iki küme ayrık olduğu için eleman sayıları farkı doğrudan sonucu verir.

Anahtar Kavram

İki kümenin birleşimi ve farkı yardımıyla küme problemlerinin çözümü
Soru 6Soru →

Bir spor salonundaki üyelerin beslenme ve egzersiz alışkanlıklarıyla ilgili yapılan bir araştırmada şu sonuçlar elde edilmiştir:

* Üyelerin %65\%65’i düzenli kardiyo yapmaktadır.
* Üyelerin %50\%50’si düzenli olarak protein ağırlıklı beslenmektedir.
* Düzenli kardiyo yapıp protein ağırlıklı beslenmeyen üyelerin sayısı, bu iki alışkanlıktan hiçbirine sahip olmayan üyelerin sayısının 33 katıdır.
* Hem düzenli kardiyo yapan hem de protein ağırlıklı beslenen üye sayısı 2222’dir.

Buna göre, araştırmaya katılan toplam üye sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

Araştırmaya katılan toplam üye sayısı 80'dir.
Toplam üye sayısına 80 denildiğinde; kardiyo yapanlar 80×0,65=5280 \times 0,65 = 52, protein beslenenler 80×0,50=4080 \times 0,50 = 40 kişidir. Hem kardiyo yapan hem protein beslenen 22 kişi olduğundan, sadece kardiyo yapanlar 52−22=3052 - 22 = 30 kişi olur. İki alışkanlıktan en az birine sahip olanlar 30+22+18=7030 + 22 + 18 = 70 kişidir. Hiçbir alışkanlığa sahip olmayanlar ise 80−70=1080 - 70 = 10 kişidir. Sadece kardiyo yapanların sayısı (30), hiçbir alışkanlığa sahip olmayanların sayısının (10) tam olarak 3 katıdır. Bu durum tüm koşulları sağladığı için 80 değeri doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam üye sayısını değişken cinsinden tanımlama
Toplam üye sayısı TT olsun. Bu durumda düzenli kardiyo yapan üye sayısı 0,65T0,65T, protein ağırlıklı beslenen üye sayısı ise 0,50T0,50T olur.
Yüzde problemlerini çözmeyi kolaylaştırmak için toplam miktar değişken cinsinden ifade edilir.
2
Kümelerin kesişimini kullanarak sadece tek bir alışkanlığa sahip olan bölgeleri bulma
Hem kardiyo yapan hem protein beslenen üye sayısı 2222 olduğundan; sadece düzenli kardiyo yapanlar 0,65T−220,65T - 22, sadece protein ağırlıklı beslenenler ise 0,50T−220,50T - 22 olur.
Venn şemasındaki her bir ayrık bölgenin eleman sayısını toplam cinsinden ifade etmek gerekir.
3
İki alışkanlığa da sahip olmayanların (dış bölge) eleman sayısını bulma
En az bir alışkanlığa sahip olanların toplamı (birleşim kümesi): (0,65T−22)+22+(0,50T−22)=1,15T−22(0,65T - 22) + 22 + (0,50T - 22) = 1,15T - 22 olur. Hiçbir alışkanlığa sahip olmayan üye sayısı ise: T−(1,15T−22)=22−0,15TT - (1,15T - 22) = 22 - 0,15T olarak bulunur.
Evrensel kümeden birleşim kümesinin eleman sayısı çıkarılarak iki kümenin de dışında kalan eleman sayısı belirlenir.
4
Verilen oran ilişkisiyle denklem kurma ve çözme
Sadece kardiyo yapanlar, hiçbir alışkanlığa sahip olmayanların 33 katı olduğuna göre:
0,65T−22=3×(22−0,15T)0,65T - 22 = 3 \times (22 - 0,15T)
0,65T−22=66−0,45T0,65T - 22 = 66 - 0,45T
0,65T+0,45T=66+220,65T + 0,45T = 66 + 22
1,1T=881,1T = 88
T=80T = 80 bulunur.
Sözel olarak verilen kat ilişkisi matematiksel eşitliğe dönüştürülerek toplam üye sayısı elde edilir.

Anahtar Kavram

Kümelerde eleman sayısı problemleri ve denklem kurma
Soru 7Soru →

Bir şirketteki 8080 çalışanın kültürel aktiviteleriyle ilgili yapılan bir ankette şu sonuçlar elde edilmiştir:

* Çalışanların %60\%60'ı sinemaya gitmektedir.
* Çalışanların %50\%50'si tiyatroya gitmektedir.
* Hem sinemaya hem de tiyatroya gidenlerin sayısı, bu iki aktiviteden hiçbirine gitmeyenlerin sayısının 33 katıdır.

Buna göre, bu şirkette sadece sinemaya giden çalışan sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Sadece sinemaya giden çalışan sayısı 36'dır.
Şirketteki sinemaya gidenlerin sayısı 4848, tiyatroya gidenlerin sayısı ise 4040'tır. İki aktiviteye birden giden 1212 kişi ve hiçbirine gitmeyen 44 kişi bulunduğunda toplam çalışan sayısı olan 8080 elde edilir. Sinemaya giden 4848 kişiden her iki aktiviteye de katılan 1212 kişi çıkarıldığında, yalnızca sinemaya giden çalışan sayısı 3636 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Sinemaya ve tiyatroya giden toplam çalışan sayılarını yüzde hesabı yaparak bulalım.
Sinemaya gidenlerin sayısı: 80×60100=4880 \times \frac{60}{100} = 48 kişi.
Tiyatroya gidenlerin sayısı: 80×50100=4080 \times \frac{50}{100} = 40 kişi.
Yüzdelik oranları gerçek kişi sayılarına dönüştürmek için.
2
Hem sinemaya hem tiyatroya gidenlerin sayısını xx, hiçbirine gitmeyenlerin sayısını yy olarak tanımlayıp aralarındaki ilişkiyi yazal��m.
x=3y  ⟹  y=x3x = 3y \implies y = \frac{x}{3}
İki kümenin kesişimi ile dışındaki elemanların bağıntısını kurmak için.
3
Sinema veya tiyatroya gidenlerin toplamını (birleşim kümesini) veren formülü yazalım.
s(Sinema∪Tiyatro)=s(Sinema)+s(Tiyatro)−s(Sinema∩Tiyatro)s(Sinema \cup Tiyatro) = s(Sinema) + s(Tiyatro) - s(Sinema \cap Tiyatro)
s(Sinema∪Tiyatro)=48+40−x=88−xs(Sinema \cup Tiyatro) = 48 + 40 - x = 88 - x
Çift sayımları (kesişimi) engellemek amacıyla birleşim kümesinin eleman sayısını xx cinsinden ifade etmek için.
4
Tüm çalışanların sayısını veren denklemi kurup xx değerini çözelim.
s(Sinema∪Tiyatro)+y=80s(Sinema \cup Tiyatro) + y = 80
88−x+x3=80  ⟹  88−2x3=8088 - x + \frac{x}{3} = 80 \implies 88 - \frac{2x}{3} = 80
8=2x3  ⟹  2x=24  ⟹  x=128 = \frac{2x}{3} \implies 2x = 24 \implies x = 12
Hem sinemaya hem tiyatroya gidenlerin net sayısını bulmak için.
5
Sadece sinemaya gidenlerin sayısını hesaplayalım.
s(Sinema∖Tiyatro)=s(Sinema)−s(Sinema∩Tiyatro)=48−12=36s(Sinema \setminus Tiyatro) = s(Sinema) - s(Sinema \cap Tiyatro) = 48 - 12 = 36 kişi.
Sinemaya gidenlerden, aynı zamanda tiyatroya da gidenleri çıkararak yalnızca sinemaya gidenlerin sayısına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Küme problemlerinde iki kümenin birleşimi, kesişimi ve tümleyeni arasındaki ilişkileri kullanarak denklem kurma ve çözme.
Soru 8Soru →

Bir müzik okulundaki 4545 öğrencinin her biri piyano veya keman enstrümanlarından en az birini çalabilmektedir. Bu okulda sadece piyano çalabilenlerin sayısı, her iki enstrümanı da çalabilenlerin sayısının 22 katıdır. Keman çalabilenlerin sayısı ise sadece piyano çalabilenlerin sayısından 55 fazladır. Buna göre, bu okulda sadece keman çalabilen öğrenci sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1515

Cevap

Sadece keman çalabilen öğrenci sayısı 15'tir.
Her iki enstrümanı da çalabilen öğrenci sayısı xx olarak tanımlandığında, sadece piyano çalabilenler 2x2x olur. Keman çalabilenlerin sayısı ise sadece piyano çalabilenlerden 55 fazla olduğuna göre 2x+52x + 5 olarak ifade edilir. Keman çalabilenlerden her iki enstrümanı da çalan xx kişi çıkarıldığında, sadece keman çalabilenlerin sayısı x+5x + 5 olur. Toplam mevcudu veren 2x+x+(x+5)=452x + x + (x + 5) = 45 denklemi çözüldüğünde x=10x = 10 bulunur. Buradan sadece keman çalabilenlerin sayısı 10+5=1510 + 5 = 15 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kesişim kümesindeki eleman sayısını değişken olarak tanımlama
Her iki enstrümanı da çalabilen öğrenci sayısı xx olsun. Yani s(P∩K)=xs(P \cap K) = x olur.
Küme problemlerinde bilinmeyenleri yerleştirirken genellikle en içteki kesişim bölgesinden başlamak işlemleri kolaylaştırır.
2
Diğer küme bölgelerini verilen bilgilere göre xx cinsinden yazma
Sadece piyano çalanlar: 2x2x, keman çalanlar: 2x+52x + 5 ve sadece keman çalanlar: (2x+5)−x=x+5(2x + 5) - x = x + 5 olur.
Sadece piyano çalanların sayısı kesişimin 2 katı olarak verilmiş, keman çalan toplam kişi sayısı ise sadece piyano çalanlardan 5 fazla olarak belirtilmiştir.
3
Toplam öğrenci sayısı denklemini kurma ve çözme
2x+x+(x+5)=45⇒4x+5=45⇒4x=40⇒x=102x + x + (x + 5) = 45 \Rightarrow 4x + 5 = 45 \Rightarrow 4x = 40 \Rightarrow x = 10 bulunur.
Tüm öğrencilerin her iki enstrümandan en az birini çaldığı bilindiğinden, kümedeki ayrık bölgelerin toplamı okul mevcudu olan 45'e eşittir.
4
İstenen bölgenin eleman sayısını hesaplama
Sadece keman çalabilen öğrenci sayısı: x+5=10+5=15x + 5 = 10 + 5 = 15 bulunur.
Soruda bizden sadece keman çalabilen öğrenci sayısı istendiği için x+5x+5 ifadesinde bulduğumuz değeri yerine yazarız.

Anahtar Kavram

Küme problemlerinde sözel ifadeleri şema üzerinde ayrık bölgelere yerleştirerek denklem çözme

Alternatif Yöntem

Denklem kurmak yerine şıklardan gitme yöntemi uygulanabilir. Sadece keman çalan öğrenci sayısı seçeneklerdeki değerlerden biri olmalıdır. Örneğin sadece keman çalanlar 15 ise; keman çalan toplam kişi sayısı 15+x15 + x olur. Verilen bilgiye göre keman çalanlar (15+x15+x) sadece piyano çalanlardan 5 fazladır, dolayısıyla sadece piyano çalanlar 10+x10+x olur. Sadece piyano çalanlar (10+x10+x) kesişimin (xx) 2 katı olduğuna göre 10+x=2x⇒x=1010+x = 2x \Rightarrow x = 10 bulunur. Bu durumda tüm bölgelerin toplamı: sadece piyano (2020) + kesişim (1010) + sadece keman (1515) = 45 mevcudunu doğrulayarak çözümün doğruluğunu kanıtlar.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 9Soru →

Bir kütüphaneden kitap ödünç alan 7575 okuyucunun tarih ve bilim kurgu kitaplarını tercih etme durumlarıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Yalnızca tarih kitabı ödünç alanların sayısı, her iki türden de kitap almayanların sayısının 44 katıdır.
* Bilim kurgu kitabı ödünç alanların sayısı, tarih kitabı ödünç almayanların sayısının 22 katıdır.
* Her iki türden de kitap alanların sayısı, yalnızca bilim kurgu kitabı alanların sayısından 1010 fazladır.

Buna göre, bu kütüphaneden tarih kitabı ödünç alan toplam okuyucu sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

Tarih kitabı ödünç alan toplam okuyucu sayısı 50'dir.
Tarih kitabı alan okuyucu sayısı, yalnızca tarih kitabı alanlar (2020) ile her iki kitaptan da alanların (3030) toplamı olan 5050'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Küme bileşenlerini değişkenlerle ifade etme.
Tarih kitabı alanları TT, Bilim Kurgu alanları BB ile gösterelim. Dört ayrık bölge tanımlayalım:
* aa: Yalnızca Tarih alanlar (T∖BT \setminus B)
* bb: Yalnızca Bilim Kurgu alanlar (B∖TB \setminus T)
* cc: Her ikisini de alanlar (T∩BT \cap B)
* dd: Hiçbirini almayanlar (T′∩B′T' \cap B')
Toplam okuyucu sayısı: a+b+c+d=75a + b + c + d = 75 olur.
Soruda verilen sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürebilmek için her bir küme bölgesini ayrı bir değişkenle temsil etmemiz gerekir.
2
Verilen bilgilere göre denklemleri kurma.
* Birinci bilgiye göre: a=4da = 4d
* İkinci bilgiye göre: Bilim kurgu alanlar (b+cb+c), tarih almayanların (b+db+d) 2 katıdır:
b+c=2(b+d)  ⟹  b+c=2b+2d  ⟹  c=b+2db + c = 2(b + d) \implies b + c = 2b + 2d \implies c = b + 2d
* Üçüncü bilgiye göre: c=b+10c = b + 10
Problemin çözümünü sağlayan bilinmeyenlerin değerlerini bulmak için denklem sistemini oluşturuyoruz.
3
Denklem sistemini çözerek bilinmeyenleri bulma.
c=b+2dc = b + 2d ve c=b+10c = b + 10 eşitliklerinden:
b+2d=b+10  ⟹  2d=10  ⟹  d=5b + 2d = b + 10 \implies 2d = 10 \implies d = 5 bulunur.
d=5d = 5 ise a=4d=4×5=20a = 4d = 4 \times 5 = 20 olur.
Toplam denkleminde yerine yazarsak:
a+b+c+d=75  ⟹  20+b+(b+10)+5=75  ⟹  2b+35=75  ⟹  2b=40  ⟹  b=20a + b + c + d = 75 \implies 20 + b + (b + 10) + 5 = 75 \implies 2b + 35 = 75 \implies 2b = 40 \implies b = 20 bulunur.
Buradan c=b+10=20+10=30c = b + 10 = 20 + 10 = 30 elde edilir.
Ende edilen eşitlikleri birbirinin yerine koyarak her bir bölgedeki okuyucu sayısını hesaplıyoruz.
4
Tarih kitabı alanların toplam sayısını hesaplama.
Tarih kitabı alan toplam okuyucu sayısı:
s(T)=a+c=20+30=50s(T) = a + c = 20 + 30 = 50 olarak bulunur.
Soruda bizden istenen tarih kitabı alanların toplam sayısı, yalnızca tarih alanlar ile her iki kitabı da alanların toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

İki kümenin kesişimi, farkı ve tümleyeni kullanılarak kurulan sözel problemleri denklem sistemine dönüştürüp çözme.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizilerek bölgeler harflendirilir. Soruda verilen tüm oranlar şema üzerine yerleştirildikten sonra bilinmeyenler sırayla elenerek doğrudan tarih kümesinin sınırları içerisindeki toplam eleman sayısı bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 10Soru →

Bir yazılım şirketinde çalışan 60 yazılımcının bildiği programlama dilleri (Python ve Java) ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Bu yazılımcılardan 36'sı Python dilini bilmektedir.
* Java dilini bilen yazılımcı sayısı, sadece Python dilini bilen yazılımcı sayısının 2 katıdır.
* Her iki dili de bilmeyen yazılımcı sayısı 9'dur.

Buna göre, bu şirkette her iki dili de bilen yazılımcı sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

Her iki dili de bilen yazılımcı sayısı 19'dur.
Soruda verilen bilgiler doğrultusunda sadece Java bilen yazılımcı sayısı 15 olarak bulunur. Her iki dili de bilen yazılımcı sayısına xx dediğimizde, sadece Python bilenler 36−x36-x, Java bilenler ise 15+x15+x olur. Verilen 'Java bilenler, sadece Python bilenlerin 2 katıdır' koşulu ile 15+x=2(36−x)15+x = 2(36-x) denklemi elde edilir. Bu denklemin çözümü x=19x=19 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam yazılımcı sayısından, Python bilenlerin ve hiçbir dili bilmeyenlerin sayısını çıkararak sadece Java bilen yazılımcı sayısını bulalım.
60−36−9=1560 - 36 - 9 = 15 yazılımcı sadece Java bilmektedir.
Evrensel kümeden Python bilenlerin kümesini ve hiçbir dili bilmeyenleri çıkardığımızda geriye kalan bölge sadece Java bilenlerin bölgesidir.
2
Her iki dili de bilen yazılımcı sayısına xx diyerek sadece Python bilen yazılımcı sayısını xx cinsinden ifade edelim.
Sadece Python bilen yazılımcı sayısı: 36−x36 - x
Python bilenlerin toplam sayısı 36 olduğuna göre, sadece Python bilenlerin sayısı, toplam sayıdan her iki dili de bilenlerin (xx) çıkarılmasıyla bulunur.
3
Java bilenlerin toplam sayısını xx cinsinden yazalım.
Java bilen yazılımcı sayısı: 15+x15 + x
Java bilenlerin sayısı, sadece Java bilenler (15) ile her iki dili de bilenlerin (xx) toplamıdır.
4
Soruda verilen orantıyı kullanarak denklemi kuralım ve xx değerini bulalım.
15+x=2×(36−x)⇒15+x=72−2x⇒3x=57⇒x=1915 + x = 2 \times (36 - x) \Rightarrow 15 + x = 72 - 2x \Rightarrow 3x = 57 \Rightarrow x = 19 elde edilir.
Java bilenlerin sayısı, sadece Python bilenlerin 2 katı olduğuna göre bu eşitlikten xx (her iki dili de bilenler) bulunur.

Anahtar Kavram

Kümelerde eleman sayısı problemleri ve denklem kurma uygulamaları
Soru 11Soru →

Bir doğa sporları kampındaki 5050 katılımcının her biri rafting veya doğa yürüyüşü (trekking) aktivitelerinden en az birine katılmıştır. Bu kampta sadece rafting yapanların sayısı, her iki aktiviteye de katılanların sayısının 44 katıdır.

Kampta doğa yürüyüşü yapan toplam katılımcı sayısı 2626 olduğuna göre, rafting yapan toplam katılımcı sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Rafting yapan toplam katılımcı sayısı 30'dur.
Her iki aktiviteye katılanların sayısına xx dersek, sadece rafting yapanlar 4x4x olur. Doğa yürüyüşü yapanlar 2626 kişidir. Toplam katılımcı sayısı 5050 olduğundan, sadece rafting yapanlar ile doğa yürüyüşü yapanların toplamı 5050'ye eşit olmalıdır: 4x+26=50  ⟹  4x=24  ⟹  x=64x + 26 = 50 \implies 4x = 24 \implies x = 6. Rafting yapan toplam katılımcı sayısı ise sadece rafting yapanlar ile her iki aktiviteyi yapanların toplamı, yani 4x+x=5x4x + x = 5x'tir. Buradan 5×6=305 \times 6 = 30 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kümeleri ve değişkenleri tanımlayın.
Rafting yapanlar kümesi RR, doğa yürüyüşü yapanlar kümesi TT olsun. Her iki aktiviteyi de yapanların sayısı s(R∩T)=xs(R \cap T) = x ise sadece rafting yapanların sayısı s(R∖T)=4xs(R \setminus T) = 4x olur.
Soruda verilen oranları matematiksel sembollerle ifade etmek için.
2
Birleşim kümesinin eleman sayısı formülünü kurun ve xx değerini bulun.
Kamp sakinlerinin tamamı en az bir aktiviteye katıldığı için toplam katılımcı sayısı s(R∪T)=50s(R \cup T) = 50'dir. Buradan s(R∪T)=s(R∖T)+s(T)  ⟹  50=4x+26  ⟹  4x=24  ⟹  x=6s(R \cup T) = s(R \setminus T) + s(T) \implies 50 = 4x + 26 \implies 4x = 24 \implies x = 6 elde edilir.
Kesişim kümesinin eleman sayısını (xx) bularak alt kümelerin eleman sayılarına ulaşmak için.
3
Rafting yapan toplam katılımcı sayısını (s(R)s(R)) hesaplayın.
s(R)=s(R∖T)+s(R∩T)=4x+x=5xs(R) = s(R \setminus T) + s(R \cap T) = 4x + x = 5x olur. x=6x = 6 değeri yerine yazıldığında s(R)=5×6=30s(R) = 5 \times 6 = 30 bulunur.
Bizden istenen rafting yapan toplam kişi sayısını elde etmek için.

Anahtar Kavram

Küme Problemlerinde Birleşim, Kesişim ve Fark İşlemleri

İpuçları

1
Her iki aktiviteye de katılanların sayısını bir değişken (xx gibi) ile temsil edin.
2
Birleşim kümesinin eleman sayısının, sadece rafting yapanlar ile doğa yürüyüşü yapan toplam kişilerin toplamına eşit olduğunu fark edin: s(R∪T)=s(R∖T)+s(T)s(R \cup T) = s(R \setminus T) + s(T).
3
Bulduğunuz xx değeri yardımıyla hem sadece rafting yapanların (4x4x) hem de her iki aktiviteyi yapanların (xx) sayısını belirleyip toplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, üç kümenin (örneğin İngilizce, Almanca ve Fransızca konuşanlar) yer aldığı daha karmaşık küme problemlerini çözmeyi deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek bölgeleri harflendirebilirsiniz. Toplam katılımcı sayısı 5050 ve doğa yürüyüşü yapanlar 2626 ise, sadece rafting yapan kişi sayısı 50−26=2450 - 26 = 24 olur. Sadece rafting yapanlar 2424 ise, her iki aktiviteyi yapanlar 24/4=624 / 4 = 6 olur. Toplam rafting yapanlar ise sadece rafting yapanlar ile her iki aktiviteyi yapanların toplamı olan 24+6=3024 + 6 = 30 olarak doğrudan bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s