Examkin

Soru

Zorluk: ZorKüme Problemleri

Bir iş yerindeki 6060 çalışanın her biri çay veya kahve içeceklerinden en az birini tüketmektedir. Bu çalışanlar ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Çay tüketen kadın çalışanların sayısı, kahve tüketen erkek çalışanların sayısının 22 katıdır.
* Sadece çay tüketen erkek çalışanların sayısı, sadece kahve tüketen kadın ��alışanların sayısına eşittir.
* Hem çay hem kahve tüketen erkek çalışanların sayısı, sadece çay tüketen kadın çalışanların sayısının yarısıdır.
* Hem çay hem kahve tüketen kadın çal��şanların sayısı 66'dır.
* Kadın çalışanların toplam sayısı, erkek çalışanların toplam sayısından 1010 fazladır.

Buna göre, bu iş yerinde çay tüketen erkek çalışan sayısı kaçtır?

  1. A
    15
  2. B
    18
  3. 22Cevap
  4. D
    25
  5. E
    28

Cevap

Çay tüketen erkek çalışan sayısı 22'dir.
Çay tüketen erkek çalışan sayısı, sadece çay tüketen erkek çalışanlar (15 kişi) ile hem çay hem kahve tüketen erkek çalışanların (7 kişi) toplamına eşittir. Bu iki değerin toplanmasıyla 22 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Sorudaki verileri küme sembolleriyle ifade edip bilinen değerleri yerine yazarak ilk bilinmeyeni bulalım.
Sadece kahve tüketen erkek çalışan sayısı (EKaE_{Ka}) 33 olarak bulunur.
Çay tüketen kadınların sayısı (KC\c+KC\c∩KaK_{Ç} + K_{Ç\cap Ka}), kahve tüketen erkeklerin sayısının (EKa+EC\c∩KaE_{Ka} + E_{Ç\cap Ka}) iki katıdır. KC\c=2EC\c∩KaK_{Ç} = 2 E_{Ç\cap Ka} ve KC\c∩Ka=6K_{Ç\cap Ka} = 6 değerleri yerine yazıldığında, 2EC\c∩Ka+6=2(EKa+EC\c∩Ka)⇒2EC\c∩Ka+6=2EKa+2EC\c∩Ka2 E_{Ç\cap Ka} + 6 = 2(E_{Ka} + E_{Ç\cap Ka}) \Rightarrow 2 E_{Ç\cap Ka} + 6 = 2 E_{Ka} + 2 E_{Ç\cap Ka} olur. Buradan 2EKa=6⇒EKa=32 E_{Ka} = 6 \Rightarrow E_{Ka} = 3 elde edilir.
2
Toplam çalışan sayısından yola çıkarak birinci denklemi oluşturalım.
2EC\c+3EC\c∩Ka=512 E_{Ç} + 3 E_{Ç\cap Ka} = 51 denklemi elde edilir.
Toplam 60 çalışan olduğundan EC\c+EKa+EC\c∩Ka+KC\c+KKa+KC\c∩Ka=60E_{Ç} + E_{Ka} + E_{Ç\cap Ka} + K_{Ç} + K_{Ka} + K_{Ç\cap Ka} = 60 yazılır. EKa=3E_{Ka} = 3, KC\c∩Ka=6K_{Ç\cap Ka} = 6, KC\c=2EC\c∩KaK_{Ç} = 2 E_{Ç\cap Ka} ve KKa=EC\cK_{Ka} = E_{Ç} değerleri yerine yazıldığında: EC\c+3+EC\c∩Ka+2EC\c∩Ka+EC\c+6=60⇒2EC\c+3EC\c∩Ka+9=60⇒2EC\c+3EC\c∩Ka=51E_{Ç} + 3 + E_{Ç\cap Ka} + 2 E_{Ç\cap Ka} + E_{Ç} + 6 = 60 \Rightarrow 2 E_{Ç} + 3 E_{Ç\cap Ka} + 9 = 60 \Rightarrow 2 E_{Ç} + 3 E_{Ç\cap Ka} = 51 olur.
3
Kadın ve erkek çalışan sayıları farkını kullanarak ikinci bir denklem elde edip bilinmeyenleri çözelim.
Hem çay hem kahve tüketen erkek sayısı (EC\c∩KaE_{Ç\cap Ka}) 77 olarak bulunur.
Kadın sayısı ile erkek sayısı farkı 10'dur: ∣K∣−∣E∣=10⇒(KC\c+KKa+KC\c∩Ka)−(EC\c+EKa+EC\c∩Ka)=10|K| - |E| = 10 \Rightarrow (K_{Ç} + K_{Ka} + K_{Ç\cap Ka}) - (E_{Ç} + E_{Ka} + E_{Ç\cap Ka}) = 10. Değerler yazıldığında: (2EC\c∩Ka+EC\c+6)−(EC\c+3+EC\c∩Ka)=10⇒EC\c∩Ka+3=10⇒EC\c∩Ka=7(2 E_{Ç\cap Ka} + E_{Ç} + 6) - (E_{Ç} + 3 + E_{Ç\cap Ka}) = 10 \Rightarrow E_{Ç\cap Ka} + 3 = 10 \Rightarrow E_{Ç\cap Ka} = 7 elde edilir.
4
Elde edilen değerlerle çay tüketen erkek çalışan sayısını hesaplayalım.
Çay tüketen erkek çalışan sayısı 2222 olarak bulunur.
2EC\c+3EC\c∩Ka=512 E_{Ç} + 3 E_{Ç\cap Ka} = 51 denkleminde EC\c∩Ka=7E_{Ç\cap Ka} = 7 yazılırsa, 2EC\c+21=51⇒2EC\c=30⇒EC\c=152 E_{Ç} + 21 = 51 \Rightarrow 2 E_{Ç} = 30 \Rightarrow E_{Ç} = 15 bulunur. Çay tüketen erkeklerin sayısı ise sadece çay tüketenler ile her ikisini tüketenlerin toplamıdır: EC\c+EC\c∩Ka=15+7=22E_{Ç} + E_{Ç\cap Ka} = 15 + 7 = 22'dir.

Anahtar Kavram

Kümeler yardımıyla denklem kurma ve problem çözme

İpuçları

1
Çalışanları cinsiyetlerine (Erkek/Kadın) ve tükettikleri içeceklere (Sadece Çay, Sadece Kahve, Her İkisi) göre gruplandırarak bir tablo oluşturun.
2
Çay tüketen kadınların sayısı ile kahve tüketen erkeklerin sayısı arasındaki ilişkiyi kullanarak sadece kahve içen erkek çalışan sayısını doğrudan bulabilirsiniz.
3
Toplam çalışan sayısından elde ettiğiniz denklem ile kadın ve erkeklerin sayıları arasındaki farktan elde ettiğiniz iki bilinmeyenli denklemi ortak çözerek kesişim bölgesini bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla kurgulanmış, üç kümenin (örneğin dil kursuna gidenler) cinsiyete göre ayrıldığı daha karmaşık küme problemlerini çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tablo yöntemi yerine Venn şeması üzerinde Erkek ve Kadın bölgelerini iki ayrı katman olarak çizip elemanları yerleştirebilirsiniz. Bu sayede görsel olarak hangi bölgelerin birbirine eşit olduğunu daha rahat görebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Küme Problemleri

Bu konudan daha fazla soru