Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKatı Cisimler

Bir ayrıtının uzunlu��u 8 cm8\text{ cm} olan içi dolu ahşap bir küpün üst yüzeyinin tam ortasından, taban ayrıtı 2 cm2\text{ cm} ve yüksekliği 3 cm3\text{ cm} olan kare dik prizma biçimindeki bir parça oyularak çıkarılıyor. Buna göre, oluşan yeni cismin toplam yüzey alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir?

  1. A
    384384
  2. B
    404404
  3. 408408Cevap
  4. D
    412412
  5. E
    500500

Cevap

Yeni cismin toplam yüzey alanı 408 cm2408\text{ cm}^2 dir.
Küpün başlangıçtaki toplam yüzey alanı 6×82=384 cm26 \times 8^2 = 384\text{ cm}^2 dir. Küpten taban ayrıtı 2 cm2\text{ cm} ve yüksekliği 3 cm3\text{ cm} olan kare dik prizma çıkarıldığında, küpün üst yüzeyinde 2×2=4 cm22 \times 2 = 4\text{ cm}^2 lik bir alan eksilir. Ancak oyulan kısmın tabanında yine 2×2=4 cm22 \times 2 = 4\text{ cm}^2 lik bir alan oluşur. Bu iki alan birbirini nötrler. Ek olarak, oyulan prizmanın iç yan yüzeyleri olan 4 adet 2×3=6 cm22 \times 3 = 6\text{ cm}^2 lik dikdörtgen yüzey (4×6=24 cm24 \times 6 = 24\text{ cm}^2) yeni yüzey alanı olarak eklenir. Dolayısıyla net alan artışı 24 cm224\text{ cm}^2 olur. Toplam yüzey alanı ise 384+24=408 cm2384 + 24 = 408\text{ cm}^2 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Küpün başlangıçtaki toplam yüzey alanını hesaplayalım.
6×82=6×64=384 cm26 \times 8^2 = 6 \times 64 = 384\text{ cm}^2
Bir ayrıtı aa olan küpün toplam yüzey alanı 6a26a^2 formül��yle bulunur.
2
Parça çıkarıldıktan sonra yüzey alanındaki azalışı belirleyelim.
Küpün üst yüzeyinden 2×2=4 cm22 \times 2 = 4\text{ cm}^2 lik bir kare alan eksilir.
Oyulan prizmanın üst tabanı açık olduğu için bu bölgedeki alan artık dış yüzeyin parçası değildir.
3
Oyuk nedeniyle eklenen yeni yüzey alanlarını hesaplayalım.
Oyuğun tabanındaki 2×2=4 cm22 \times 2 = 4\text{ cm}^2 lik kare alan ve oyuğun yanlarında oluşan 4 adet 2×3=6 cm22 \times 3 = 6\text{ cm}^2 lik dikdörtgen alan (toplam 24 cm224\text{ cm}^2) yeni yüzey olarak eklenir.
Oyuğun iç yüzeyleri cismin yeni dış yüzey sınırlarını oluşturur.
4
Net alan değişimini hesaplayarak sonuca ulaşalım.
Net değişim: −4 cm2-4\text{ cm}^2 (eksilen üst yüzey) +4 cm2+ 4\text{ cm}^2 (eklenen taban) +24 cm2+ 24\text{ cm}^2 (eklenen yanlar) =+24 cm2= +24\text{ cm}^2. Sonuç olarak toplam yüzey alanı 384+24=408 cm2384 + 24 = 408\text{ cm}^2 olur.
Eksilen ve eklenen alanların net farkı başlangıç alanına ilave edilir.

Anahtar Kavram

Katı cisimlerde oyma veya parça çıkarma işlemlerinde yüzey alanı değişimi

İpuçları

1
Küpün başlangıçtaki toplam yüzey alanını 6a26a^2 formülünden hesaplayın.
2
Oyulan parçanın üst yüzeydeki eksilmesi ile oyuk tabanında oluşan yeni yüzeyin alanlarının eşit olduğuna ve birbirini dengelediğine dikkat edin.
3
Net alan artışı, sadece içeri doğru oyulan prizmanın iç yan duvarlarının toplam alanına (4×2×34 \times 2 \times 3) eşittir.

Daha Fazla Pratik

Küpün tam köşesinden bir parça çıkarılsaydı yüzey alanının nasıl değişeceğini düşünerek bu konudaki mantığı pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Yüzey alanındaki değişimi doğrudan değişim miktarları üzerinden hesaplayabiliriz: Değişim = (Eklenen Alanlar) - (Eksilen Alanlar). Eklenen alanlar: 1 adet taban (2×2=4 cm22 \times 2 = 4\text{ cm}^2) + 4 adet yan yüzey (4×(2×3)=24 cm24 \times (2 \times 3) = 24\text{ cm}^2) = 28 cm228\text{ cm}^2. Eksilen alanlar: Üst yüzeydeki boşluk (2×2=4 cm22 \times 2 = 4\text{ cm}^2). Net değişim: +28−4=+24 cm2+28 - 4 = +24\text{ cm}^2 (artış). Başlangıç alanı 384 cm2384\text{ cm}^2 olduğundan yeni alan 384+24=408 cm2384 + 24 = 408\text{ cm}^2 bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Katı Cisimler

Bu konudan daha fazla soru