Examkin

Soru

Zorluk: ZorKatı Cisimler

Taban yarıçapı 2 cm2\text{ cm} ve yüksekliği 10 cm10\text{ cm} olan dik dairesel silindir biçimindeki bir kap tamamen suyla doludur. Bu kap, tabanı yatay düzlemle 45∘45^\circ lik açı yapacak şekilde eğilerek içindeki suyun bir kısmı dökülüyor. Kap tekrar dik konuma getirildikten sonra, dökülen suyun oluşturduğu boşluğu tamamen doldurmak için kabın içine yarıçapı 1 cm1\text{ cm} olan demir kürelerden kaç tane atılmalıdır? (Kürelerin hacimlerinin toplamı, boş kalan kısmın hacmine eşit olacaktır.)

  1. A
    33
  2. 66Cevap
  3. C
    88
  4. D
    1212
  5. E
    1616

Cevap

Boş kalan hacmi tamamen doldurmak için kabın içine 6 tane demir küre atılmalıdır.
Doğru yanıt olan 6 sayısı, eğik silindirdeki boş hacim (8π cm38\pi\text{ cm}^3) ile bir kürenin hacmi (43π cm3\frac{4}{3}\pi\text{ cm}^3) oranlanarak bulunur: 8π÷43π=68\pi \div \frac{4}{3}\pi = 6.

Adım Adım Çözüm

1
Silindir yatay düzlemle 45∘45^\circ açı yapacak şekilde eğildiğinde dökülen suyun sınırını belirleyen yüksekliği bulun.
Boş kalan kısmın yüksekliği, silindirin çapı ile tan⁡(45∘)\tan(45^\circ) değerinin çarpımına eşittir: hbos¸=2r⋅tan⁡(45∘)=2⋅2⋅1=4 cmh_{\text{boş}} = 2r \cdot \tan(45^\circ) = 2 \cdot 2 \cdot 1 = 4\text{ cm}.
Eğilen silindirde su yüzeyi daima yatay kalır. Bu nedenle oluşan boşluğun sınır yüksekliği silindirin çapına bağlıdır.
2
Dök��len suyun hacmini (yani kapta oluşan boşluğun hacmini) hesaplayın.
Oluşan boş hacim, yüksekliği 4 cm4\text{ cm} olan tam silindirin hacminin yarısıdır: Vbos¸=12⋅π⋅r2⋅hbos¸=12⋅π⋅22⋅4=8π cm3V_{\text{boş}} = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h_{\text{boş}} = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot 2^2 \cdot 4 = 8\pi\text{ cm}^3.
Eğik kesilen silindirin üst kısmındaki boşluk, simetriden dolayı aynı yükseklikteki tam silindirin yarısı kadardır.
3
Bir adet demir kürenin hacmini bulun.
Yarıçapı R=1 cmR = 1\text{ cm} olan bir kürenin hacmi: Vku¨re=43πR3=43π⋅13=43π cm3V_{\text{küre}} = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 1^3 = \frac{4}{3}\pi\text{ cm}^3.
Kürenin hacmini bulmak için V=43πR3V = \frac{4}{3}\pi R^3 formülü kullanılır.
4
Boş hacmi doldurmak için gereken küre sayısını hesaplayın.
Gereken küre sayısı N=Vbos¸Vku¨re=8π43π=8⋅34=6N = \frac{V_{\text{boş}}}{V_{\text{küre}}} = \frac{8\pi}{\frac{4}{3}\pi} = 8 \cdot \frac{3}{4} = 6 adettir.
Kürelerin toplam hacminin boş kalan kısmın hacmine eşit olması gerektiğinden, boş hacim bir kürenin hacmine bölünür.

Anahtar Kavram

Eğik silindirlerin hacim hesabı ve kürenin hacim formülü.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Katı Cisimler

Bu konudan daha fazla soru