Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorFaktöriyel

n≥3n \ge 3 bir tam sayı olmak üzere,

A=(n+2)!−(n+1)!−n!(n+1)!−n!A = \frac{(n+2)! - (n+1)! - n!}{(n+1)! - n!}
B=(n−1)!+(n−2)!(n−3)!B = \frac{(n-1)! + (n-2)!}{(n-3)!}

ifadeleri tanımlanıyor.

B−A=26B - A = 26

olduğuna göre, C=(n2−n)!C = (n^2 - n)! sayısı ile ilgili;

I. Sondan 9 basamağ�� sıfırdır.
II. Sayıyı bölen en büyük asal sayı 41'dir.
III. Sayının asal çarpanlarına ayrılmış halindeki 2 asal çarpanının üssü 38'dir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. I ve IICevap
  4. D
    II ve III
  5. E
    I, II ve III

Cevap

I ve II
I ve II öncülleri doğrudur. Sadeleştirmeler sonucunda A=n+2A = n+2 ve B=n2−2nB = n^2-2n elde edilir. Buradan B−A=n2−3n−2=26  ⟹  n=7B-A = n^2-3n-2 = 26 \implies n=7 bulunur. C=42!C = 42! olup, sondan 9 basamağı sıfırdır ve en büyük asal böleni 41'dir. 2 asal çarpanının üssü ise 39 olduğundan III. öncül yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
AA ve BB ifadelerini faktöriyel özelliklerini kullanarak sadeleştirin.
A=n+2A = n+2 ve B=n2−2nB = n^2-2n olarak bulunur.
Değişkenleri daha sade formda yazarak denklemi çözülebilir hale getirmek için.
2
Sadeleştirilmiş ifadeleri B−A=26B - A = 26 denkleminde yerine yazıp nn değerini bulun.
n2−3n−28=0n^2 - 3n - 28 = 0 denkleminden (n−7)(n+4)=0(n-7)(n+4) = 0 elde edilir. n≥3n \ge 3 olduğundan n=7n = 7 bulunur.
C sayısının hangi sayının faktöriyeli olduğunu belirlemek için.
3
n=7n = 7 için C=(72−7)!=42!C = (7^2 - 7)! = 42! ifadesini elde edip I ve II numaralı öncülleri test edin.
42!42! sayısı için 5'e bölümlerin toplamı ⌊42/5⌋+⌊42/25⌋=8+1=9\lfloor 42/5 \rfloor + \lfloor 42/25 \rfloor = 8 + 1 = 9 sıfır basamağı verir (I. öncül doğru). 42'den küçük en büyük asal sayı 41 olduğundan en büyük asal bölen 41'dir (II. öncül doğru).
İlk iki öncülün doğruluğunu sayısal verilerle kanıtlamak için.
4
42!42! sayısındaki 2 asal çarpanının üssünü Legendre formülüyle hesaplayıp III. öncülü test edin.
⌊42/2⌋+⌊42/4⌋+⌊42/8⌋+⌊42/16⌋+⌊42/32⌋=21+10+5+2+1=39\lfloor 42/2 \rfloor + \lfloor 42/4 \rfloor + \lfloor 42/8 \rfloor + \lfloor 42/16 \rfloor + \lfloor 42/32 \rfloor = 21 + 10 + 5 + 2 + 1 = 39 bulunur. İfade 38 dediği için III. öncül yanlıştır.
Üçüncü öncülün yanlış olduğunu matematiksel olarak göstermek için.

Anahtar Kavram

Faktöriyel ifadelerde ortak paranteze alarak sadeleştirme yapma, Legendre formülü ile asal çarpan üssü ve sondan sıfır sayısı bulma.
Bu soruyu puanla

Konular

Faktöriyel

Bu konudan daha fazla soru