Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKombinasyonun Geometrik Yorumu

Bir düzlemde kesişen iki doğrudan birinin üzerinde kesim noktası dahil 55 farklı nokta, diğerinin üzerinde ise kesim noktası dahil 44 farklı nokta işaretleniyor.

Buna göre, köşeleri bu noktalardan seçilen en çok kaç farklı üçgen oluşturulabilir?

  1. A
    56
  2. 42Cevap
  3. C
    48
  4. D
    70
  5. E
    84

Cevap

En çok 42 farklı üçgen oluşturulabilir.
Kesişim noktası ortak olduğundan toplamda 8 nokta vardır. Tüm 3'lü seçimlerin sayısından (56), aynı doğru üzerindeki doğrusal noktaların 3'lü seçimleri (10 ve 4) çıkarıldığında 42 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam nokta sayısını belirleme
Kesişen iki doğru üzerinde toplam 5+4−1=85 + 4 - 1 = 8 farklı nokta bulunur.
Kesişim noktası her iki doğru için de ortak olduğundan iki kez sayılmamalıdır.
2
Doğrusal olmayan noktaların oluşturacağı üçgen sayısı için genel kombinasyon formülünü uygulama
Seçilebilecek tüm 3'lü nokta gruplarının sayısı (83)=56\binom{8}{3} = 56 olarak bulunur.
Herhangi 3 nokta seçilerek bir üçgen oluşturulması hedeflenir.
3
Aynı doğru üzerinde bulunan ve üçgen oluşturmayan doğrusal noktaları çıkarma
İlk doğru üzerindeki 5 noktadan üçgen oluşturmayan durumlar (53)=10\binom{5}{3} = 10, ikinci doğru üzerindeki 4 noktadan üçgen oluşturmayan durumlar (43)=4\binom{4}{3} = 4'tür.
Doğrusal noktalar üçgen oluşturamaz.
4
Toplam durumdan doğrusal olan durumları çıkarma
56−10−4=4256 - 10 - 4 = 42
Oluşturulabilecek gerçek üçgen sayısını bulmak için tüm durumlardan doğrusal durumlar çıkarılır.

Anahtar Kavram

Kombinasyonun geometrik uygulamalarında doğrusal noktaların üçgen oluşturamayacağı kuralı ve kesişim noktalarının ortak sayılması.
Bu soruyu puanla

Konular

Kombinasyonun Geometrik Yorumu

Bu konudan daha fazla soru