Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTemel Kavramlar

xx ve yy birer tam sayı olmak üzere,

x2−xy−2y2=7x^2 - xy - 2y^2 = 7

eşitliğini sağlayan xx değerlerinden pozitif olanların toplamı kaçtır?
  1. A
    5
  2. B
    6
  3. 8Cevap
  4. D
    10
  5. E
    12

Cevap

8
Verilen denklem (x−2y)(x+y)=7(x - 2y)(x + y) = 7 şeklinde çarpanlarına ayrılır. 7 asal sayı olduğundan tam sayı çarpan çiftleri (1, 7), (7, 1), (-1, -7) ve (-7, -1) olabilir. Bu sistemler çözüldüğünde elde edilen pozitif x değerleri 5 ve 3 olup toplamları 8'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi çarpanlarına ayırırız.
(x−2y)(x+y)=7(x - 2y)(x + y) = 7 elde edilir.
Çarpımları 7 olan tam sayı çarpan gruplarını belirleyebilmek için.
2
7 asal bir sayı olduğundan, çarpımları 7 olan tam sayı çarpan çiftlerini (1, 7), (7, 1), (-1, -7) ve (-7, -1) olarak belirleyip denklem sistemlerini kurarız.
Dört farklı denklem sistemi oluşur:
1) x−2y=1x - 2y = 1 ve x+y=7x + y = 7
2) x−2y=7x - 2y = 7 ve x+y=1x + y = 1
3) x−2y=−1x - 2y = -1 ve x+y=−7x + y = -7
4) x−2y=−7x - 2y = -7 ve x+y=−1x + y = -1
Her bir çarpan çifti için xx ve yy tam sayı değerlerini hesaplamak için.
3
Denklem sistemlerini çözerek xx değerlerini buluruz.
1) Sistemden: 3y=6⇒y=23y = 6 \Rightarrow y = 2 ve x=5x = 5
2) Sistemden: −3y=6⇒y=−2-3y = 6 \Rightarrow y = -2 ve x=3x = 3
3) Sistemden: −3y=6⇒y=−2-3y = 6 \Rightarrow y = -2 ve x=−5x = -5
4) Sistemden: 3y=6⇒y=23y = 6 \Rightarrow y = 2 ve x=−3x = -3 elde edilir.
xx sayısının alabileceği tüm tam sayı değerlerini tespit etmek için.
4
Pozitif olan xx değerlerini belirleyip toplarız.
5+3=85 + 3 = 8 bulunur.
Soruda istenen pozitif xx değerlerinin toplamına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden iki bilinmeyenli ifadelerin çarpanlara ayrılması, asal sayıların çarpan özellikleri ve tam sayı denklem sistemlerinin çözümü.
Bu soruyu puanla

Konular

Temel Kavramlar

Bu konudan daha fazla soru