Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSayı ve Şekil Örüntüleri

Birim karelerden oluşan bir şekil örüntüsünün adımlarındaki mavi ve beyaz birim karelerin yerleşimi belirli bir kurala göre yapılmaktadır. Bu örüntünün ilk dört adımıyla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* 1. Adım: 11 adet beyaz birim kare bulunmaktadır (mavi kare yoktur).
* 2. Adım: 11. adımdaki beyaz karenin etrafına 44 adet mavi birim kare eklenmiştir.
* 3. Adım: 22. adımdaki mavi kareler beyaza dönüştürülmüş ve bu şeklin etrafına 1616 adet mavi birim kare eklenmiştir.
* 4. Adım: 33. adımdaki mavi kareler beyaza dönüştürülmüş ve bu şeklin etrafına 2424 adet mavi birim kare eklenmiştir.

Bu şekilde devam eden örüntünün her yeni adımında, bir önceki adımdaki mavi kareler beyaza dönüşmekte ve şeklin en dış kısmına belirli bir kurala göre yeni mavi kareler eklenmektedir.

Buna göre, bu örüntünün 88. adımında elde edilen şekildeki beyaz birim kare sayısı, mavi birim kare sayısından kaç fazladır?

  1. A
    101
  2. 109Cevap
  3. C
    113
  4. D
    69
  5. E
    165

Cevap

Beyaz birim kare sayısı, mavi birim kare sayısından 109 fazladır.
Doğru cevap olan 109 sayısı, örüntüdeki beyaz ve mavi karelerin sayıları belirlenerek bulunur. 8. adımdaki beyaz kare sayısı, 7. adımdaki toplam kare sayısına eşittir ve 132−4=16513^2 - 4 = 165 olarak hesaplanır. 8. adımdaki mavi kare sayısı ise 8×(8−1)=568 \times (8-1) = 56'dır. Aralarındaki fark 165−56=109165 - 56 = 109'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Örüntünün her adımındaki toplam birim kare sayısının formülünü belirlemek.
n≥2n \ge 2 için toplam birim kare sayısı Tn=(2n−1)2−4T_n = (2n-1)^2 - 4 ve T1=1T_1 = 1 olarak bulunur.
Her adımda oluşan şekil, (2n−1)×(2n−1)(2n-1) \times (2n-1) boyutunda bir kareden köşelerdeki 4 adet birim karenin çıkarılmasıyla elde edilmektedir.
2
Her adımda eklenen yeni mavi kare sayısının genel kuralını belirlemek.
n≥3n \ge 3 için mavi kare sayısı Mn=8(n−1)M_n = 8(n-1), M2=4M_2 = 4 ve M1=0M_1 = 0 şeklindedir.
Mavi kare sayıları 3. adımdan itibaren sırasıyla 16, 24, 32... şeklinde 8'er artan bir dizi oluşturmaktadır.
3
Her adımdaki beyaz kare sayısının kuralını belirlemek.
nn. adımdaki beyaz kare sayısı, bir önceki adımdaki toplam kare sayısına yani Bn=Tn−1B_n = T_{n-1} değerine eşittir.
Her yeni adımda, bir önceki adımda var olan tüm mavi ve beyaz kareler beyaza dönüşmektedir.
4
8. adımdaki mavi ve beyaz kare sayılarını hesaplamak.
Mavi kare sayısı: M8=8×(8−1)=56M_8 = 8 \times (8-1) = 56. Beyaz kare sayısı: B8=T7=(2×7−1)2−4=132−4=165B_8 = T_7 = (2 \times 7 - 1)^2 - 4 = 13^2 - 4 = 165.
Genel kurallarda n=8n = 8 yazılarak istenen adımdaki değerler elde edilir.
5
Beyaz kare sayısı ile mavi kare sayısı arasındaki farkı hesaplamak.
165−56=109165 - 56 = 109 olarak bulunur.
Soruda beyaz karelerin mavi karelerden kaç fazla olduğu sorulduğu için çıkarma işlemi yapılır.

Anahtar Kavram

Sayı ve Şekil Örüntüleri
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı ve Şekil Örüntüleri

Bu konudan daha fazla soru