Examkin

Analitik Geometri

47 soru

Soru 41Soru →

Analitik düzlemde; y=43xy = \frac{4}{3}x doğrusu, y=ky = k (k>0k > 0) doğrusu ve yy-ekseni arasında kalan kapalı bölgenin alanı 5454 birimkaredir. Buna göre, bu kapalı bölgenin çevre uzunluğu kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Çevre uzunluğu 36 birim olan seçenektir.
Verilen doğruların sınırladığı bölge, dik kenarları 12 ve 9 birim olan bir dik üçgendir. 9-12-15 özel dik üçgeni özelliğinden hipotenüs uzunluğu 15 birim olup, bu üçgenin çevre uzunluğu 12 + 9 + 15 = 36 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Doğruların kesim noktalarını belirlemek
y=43xy = \frac{4}{3}x doğrusu ile yy-ekseninin (x=0x=0) kesim noktası (0,0)(0,0); y=ky=k doğrusu ile yy-ekseninin kesim noktası (0,k)(0,k); y=43xy = \frac{4}{3}x ile y=ky=k doğrularının kesim noktası ise (34k,k)(\frac{3}{4}k, k) olarak bulunur.
Sınırlı kapalı bölgenin köşelerini tespit ederek şeklin geometrik yapısını anlamak.
2
Kapalı bölgenin alanını k cinsinden ifade etmek
Oluşan şekil, dik köşesi (0,k)(0,k) noktasında olan ve dik kenar uzunlukları kk ile 34k\frac{3}{4}k birim olan bir dik üçgendir. Bu üçgenin alanı 12×k×34k=38k2\frac{1}{2} \times k \times \frac{3}{4}k = \frac{3}{8}k^2 birimkaredir.
Verilen alan bilgisini kullanarak k değerini bulmak için denklem kurmak.
3
k değerini hesaplamak
38k2=54⇒3k2=432⇒k2=144⇒k=12\frac{3}{8}k^2 = 54 \Rightarrow 3k^2 = 432 \Rightarrow k^2 = 144 \Rightarrow k = 12 bulunur.
Üçgenin kesin boyutlarını elde etmek.
4
Çevre uzunluğunu hesaplamak
k=12k=12 için dik kenarlar 1212 ve 99 birimdir. Pisagor bağıntısından hipotenüs 122+92=15\sqrt{12^2 + 9^2} = 15 birim olarak bulunur. Çevre ise 12+9+15=3612 + 9 + 15 = 36 birimdir.
Soru kökünde istenen kapalı bölgenin çevre uzunluğuna ulaşmak.

Anahtar Kavram

Eksenlere paralel doğrular ve orijinden geçen doğruların kesişim noktaları ile oluşturdukları kapalı bölgelerin analitik incelenmesi.
Soru 42Soru →

Analitik düzlemde; y=43xy = \frac{4}{3}x doğrusu, x=6x = 6 doğrusu ve xx-ekseni arasında kalan kapalı bölgenin çevre uzunluğu, y=ky = k (k>0k > 0) doğrusu, y=512xy = \frac{5}{12}x doğrusu ve yy-ekseni arasında kalan kapalı bölgenin çevre uzunluğuna eşittir. Buna göre kk kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Her iki kapalı bölgenin çevreleri hesaplanıp eşitlendiğinde elde edilen k değeri 4'tür.
Birinci dik üçgenin kenarları 6, 8 ve 10 birim olduğundan çevresi 24 birimdir. İkinci dik üçgenin kenarları kk, 125k\frac{12}{5}k ve 135k\frac{13}{5}k birim olduğundan çevresi 6k6k birimdir. Çevreler eşitlendiğinde 6k=246k = 24 bağıntısından k=4k = 4 bulunur. Bu nedenle doğru değer 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci kapalı bölgenin köşe koordinatlarını belirleme
Bölge y=43xy = \frac{4}{3}x, x=6x = 6 ve y=0y = 0 (xx-ekseni) doğruları arasındadır. Kesişim noktaları (köşeler) (0,0)(0,0), (6,0)(6,0) ve (6,8)(6,8) noktalarıdır.
Üçgenin kenar uzunluklarını hesaplayabilmek için köşe koordinatlarına ihtiyaç duyulur.
2
Birinci kapalı bölgenin çevre uzunluğunu hesaplama
Üçgenin dik kenar uzunlukları 6 ve 8 birimdir. Pisagor bağıntısından hipotenüs 62+82=10\sqrt{6^2 + 8^2} = 10 birimdir. Çevre uzunluğu 6+8+10=246 + 8 + 10 = 24 birimdir.
İkinci bölgenin çevre uzunluğuna eşitlemek amacıyla birinci bölgenin çevresi hesaplanır.
3
İkinci kapalı bölgenin köşe koordinatlarını belirleme
Bölge y=ky = k, y=512xy = \frac{5}{12}x ve x=0x = 0 (yy-ekseni) doğruları arasındadır. Kesişim noktaları (köşeler) (0,0)(0,0), (0,k)(0,k) ve (125k,k)(\frac{12}{5}k, k) noktalarıdır.
İkinci üçgenin kenar uzunluklarını kk cinsinden ifade edebilmek için köşeler belirlenir.
4
İkinci kapalı bölgenin çevre uzunluğunu kk cinsinden hesaplama
Üçgenin dik kenar uzunlukları kk ve 125k\frac{12}{5}k birimdir. Pisagor bağıntısından hipotenüs k2+(125k)2=135k\sqrt{k^2 + (\frac{12}{5}k)^2} = \frac{13}{5}k birimdir. Çevre uzunluğu k+125k+135k=6kk + \frac{12}{5}k + \frac{13}{5}k = 6k birimdir.
İki çevre uzunluğunu eşitlemek için ikinci çevrenin kk cinsinden değeri bulunur.
5
Çevreleri birbirine eşitleyerek kk değerini bulma
6k=24  ⟹  k=46k = 24 \implies k = 4 elde edilir.
Soruda iki çevre uzunluğunun birbirine eşit olduğu belirtildiğinden eşitlik kurularak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Eksenlere paralel doğrular ve orijinden geçen doğruların analitik düzlemde sınırladığı dik üçgenlerin alan ve çevre hesabı.
Soru 43Soru →

Analitik düzlemde A(−4,y)A(-4, y) ve B(x,8)B(x, 8) noktaları veriliyor. [AB][AB] doğru parçasını içten ∣AC∣∣CB∣=23\frac{|AC|}{|CB|} = \frac{2}{3} oranında bölen nokta C(2,2)C(2, 2) olduğuna göre, x+yx + y toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

9
Doğru cevap 9'dur. C noktası AB doğru parçasını 2/3 oranında içten böldüğü için koordinatlardaki artış/azalış miktarları bu oranla doğru orantılıdır. x koordinatı -4'ten 2'ye 6 arttığı için (2 birimlik oran), 2'den x'e 9 artmalıdır (3 birimlik oran) ve buradan x = 11 bulunur. y koordinatı ise 2'den 8'e 6 arttığı için (3 birimlik oran), y'den 2'ye 4 artmalıdır (2 birimlik oran) ve buradan y = -2 bulunur. Bu iki değerin toplamı 11 + (-2) = 9 olur.

Adım Adım Çözüm

1
x-koordinatındaki artış miktarını kullanarak x değerini bulmak.
x=11x = 11
CC noktası [AB][AB]'yi 2:32:3 oranında böldüğü için AA ile CC arası 2k2k, CC ile BB arası 3k3k birimdir. x koordinatı A(−4)A(-4)'dan C(2)C(2)'ye 66 artmıştır. 2k=6  ⟹  k=32k = 6 \implies k = 3 olur. C(2)C(2)'den B(x)B(x)'ye olan artış 3k=93k = 9 olmalıdır. Buradan x=2+9=11x = 2 + 9 = 11 bulunur.
2
y-koordinatındaki değişim miktarını kullanarak y değerini bulmak.
y=−2y = -2
y koordinatı C(2)C(2)'den B(8)B(8)'e 66 artmıştır. Bu artış 3k3k birime karşılık geldiğinden 3k=6  ⟹  k=23k = 6 \implies k = 2 olur. A(y)A(y)'dan C(2)C(2)'ye olan artış 2k=42k = 4 olmalıdır. Buradan 2−y=4  ⟹  y=−22 - y = 4 \implies y = -2 bulunur.
3
Bulunan x ve y değerlerinin toplamını hesaplamak.
x+y=9x + y = 9
Soruda istenen x+yx+y ifadesinde bulunan değerler yerine yazılarak 11+(−2)=911 + (-2) = 9 sonucuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Doğru Parçasını Oranlı Bölme
Soru 44Soru →

Bir dd doğrusu, koordinat düzleminde A(−2,5)A(-2, 5) noktasından geçmekte ve 2x−3y+6=02x - 3y + 6 = 0 doğrusunu dik kesmektedir. Buna göre, dd doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3x+2y−4=03x + 2y - 4 = 0

Cevap

3x+2y−4=03x + 2y - 4 = 0 denklemi
Verilen doğrunun eğimi 23\frac{2}{3} olarak bulunur. Aranan doğru bu doğruyu dik kestiği için eğimi −32-\frac{3}{2} olmalıdır. Eğimi −32-\frac{3}{2} olan ve A(−2,5)A(-2, 5) noktasından geçen doğrunun denklemi yazılıp düzenlendiğinde 3x+2y−4=03x + 2y - 4 = 0 ifadesine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen 2x−3y+6=02x - 3y + 6 = 0 doğrusunun eğimini (m1m_1) bulalım.
Doğru denklemini y=mx+ny = mx + n biçiminde düzenlersek: 3y=2x+6  ⟹  y=23x+23y = 2x + 6 \implies y = \frac{2}{3}x + 2 olur. Buradan eğim m1=23m_1 = \frac{2}{3} olarak bulunur.
Bir doğrunun denklemi biliniyorsa, yy yalnız bırakıldığında xx'in katsayısı doğrunun eğimini verir.
2
Aranan dd doğrusunun eğimini (m2m_2) diklik koşulunu kullanarak belirleyelim.
Birbirini dik kesen doğruların eğimleri çarpımı −1-1'dir (m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1). Buradan 23⋅m2=−1  ⟹  m2=−32\frac{2}{3} \cdot m_2 = -1 \implies m_2 = -\frac{3}{2} bulunur.
İki doğrunun dik kesişmesi durumu, eğimlerinin çarpımının −1-1 olmasını gerektirir.
3
Eğimi m2=−32m_2 = -\frac{3}{2} olan ve A(−2,5)A(-2, 5) noktasından geçen dd doğrusunun denklemini yazalım.
y−y1=m2(x−x1)y - y_1 = m_2(x - x_1) formülünde değerleri yerine koyalım: y−5=−32(x−(−2))  ⟹  y−5=−32(x+2)y - 5 = -\frac{3}{2}(x - (-2)) \implies y - 5 = -\frac{3}{2}(x + 2). İçler dışlar çarpımı yaparsak: 2(y−5)=−3(x+2)  ⟹  2y−10=−3x−6  ⟹  3x+2y−4=02(y - 5) = -3(x + 2) \implies 2y - 10 = -3x - 6 \implies 3x + 2y - 4 = 0 denklemi elde edilir.
Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denklemini oluşturmak için standart doğru denklemi yazma formülü kullanılır.

Anahtar Kavram

Dik kesişen doğruların eğimleri çarpımı −1-1'dir ve bir noktası ile eğimi bilinen doğrunun denklemi y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1) formülü ile bulunur.

İpuçları

1
İlk olarak verilen 2x−3y+6=02x - 3y + 6 = 0 doğrusunun eğimini bulmak için y'yi yalnız bırakın.
2
Bulduğunuz eğim m1m_1 ise, aradığınız doğrunun eğimi m2m_2 ile çarpımı −1-1 olmalıdır (m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1).
3
Eğimi m2=−32m_2 = -\frac{3}{2} olarak bulduktan sonra, A(−2,5)A(-2, 5) noktasını kullanarak y−5=−32(x−(−2))y - 5 = -\frac{3}{2}(x - (-2)) denklemini kurup düzenleyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, verilen bir noktadan geçen ve verilen bir doğruya paralel olan doğrunun denklemini bulma alıştırmaları yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

2x−3y+6=02x - 3y + 6 = 0 doğrusuna dik olan tüm doğrular 3x+2y+C=03x + 2y + C = 0 formatındadır. A(−2,5)A(-2, 5) noktası bu doğru üzerinde olduğuna göre denklemde yerine yazarak CC sabitini bulabiliriz: 3(−2)+2(5)+C=0  ⟹  −6+10+C=0  ⟹  4+C=0  ⟹  C=−43(-2) + 2(5) + C = 0 \implies -6 + 10 + C = 0 \implies 4 + C = 0 \implies C = -4. Buradan denklem 3x+2y−4=03x + 2y - 4 = 0 olarak bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 45Soru →

Dik koordinat düzleminde, birbirine dik olan d1d_1 ve d2d_2 doğruları xx-ekseni üzerindeki bir AA noktasında kesişmektedir. d1d_1 doğrusu yy-eksenini (0,4)(0, 4) noktasında, d2d_2 doğrusu ise yy-eksenini (0,−9)(0, -9) noktasında kesmektedir. Buna göre; köşeleri AA noktası, d1d_1 doğrusunun yy-eksenini kestiği nokta ve d2d_2 doğrusunun yy-eksenini kestiği nokta olan üçgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 39

Cevap

Köşeleri kesim noktaları olan üçgenin alanı 39 birimkaredir.
Eğimleri çarpımı −1-1 olan doğruların kesişim noktasının apsisi 66 veya −6-6 olarak bulunur. y-ekseni üzerindeki taban uzunluğu 1313 birim ve bu tabana ait yükseklik 66 birim olduğundan üçgenin alanı 3939 birimkare olur.

Adım Adım Çözüm

1
Kesişim noktası AA'yı koordinat düzleminde (k,0)(k, 0) olarak belirlemek ve doğruların eğimlerini yazmak.
d1d_1 doğrusunun eğimi m1=−4km_1 = -\frac{4}{k} ve d2d_2 doğrusunun eğimi m2=9km_2 = \frac{9}{k} olarak bulunur.
Doğruların eksenleri kestiği noktalar bilindiği için iki noktadan geçen doğrunun eğim formülü kullanılır.
2
Birbirine dik olan iki doğrunun eğimler çarpımının −1-1 olması kuralın�� uygulamak.
m1⋅m2=−1⇒(−4k)⋅(9k)=−1⇒k2=36⇒k=6m_1 \cdot m_2 = -1 \Rightarrow \left(-\frac{4}{k}\right) \cdot \left(\frac{9}{k}\right) = -1 \Rightarrow k^2 = 36 \Rightarrow k = 6 veya k=−6k = -6 elde edilir.
d1d_1 ve d2d_2 doğrularının dik kesiştiği verilmiştir.
3
Köşe koordinatları A(6,0)A(6, 0) veya A(−6,0)A(-6, 0), B(0,4)B(0, 4) ve C(0,−9)C(0, -9) olan üçgenin alanını hesaplamak.
Taban uzunluğu ∣BC∣=4−(−9)=13|BC| = 4 - (-9) = 13 birim, bu tabana ait yükseklik ∣OA∣=6|OA| = 6 birimdir. Alan = 13×62=39\frac{13 \times 6}{2} = 39 birimkaredir.
Üçgenin tabanı y-ekseni üzerinde olduğundan taban uzunluğu iki nokta arasındaki uzaklıktan, yükseklik ise kesim noktasının orijine uzaklığından bulunur.

Anahtar Kavram

Birbirine dik iki doğrunun eğimleri çarpımı −1-1'dir.

Alternatif Yöntem

Öklid Bağıntısı yardımıyla çözüm: d1⊥d2d_1 \perp d_2 olduğundan ve doğrular yy-eksenini (0,4)(0,4) ve (0,−9)(0,-9) noktalarında kesip xx-ekseni üzerindeki A(k,0)A(k,0) noktasında kesiştiklerinden, BACBAC açısı 90∘90^\circ olan bir dik üçgen oluşur. Orijin O(0,0)O(0,0) noktası olmak üzere, [OA][OA] yüksekliği hipotenüs [BC][BC]'ye inen dikmedir. Öklid'in yükseklik bağıntısına göre: OA2=OB⋅OC⇒k2=4⋅9=36⇒k=6OA^2 = OB \cdot OC \Rightarrow k^2 = 4 \cdot 9 = 36 \Rightarrow k = 6 (veya −6-6) bulunur. Buradan taban ∣BC∣=13|BC| = 13 birim ve yükseklik ∣OA∣=6|OA| = 6 birim olarak elde edilir. Alan ise 13×62=39\frac{13 \times 6}{2} = 39 birimkaredir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 46Soru →

Analitik düzlemde, 2x−y−4=02x - y - 4 = 0 doğrusuna paralel olan ve koordinat eksenleriyle oluşturduğu dik üçgenin alanı 99 birimkare olan doğrulardan birinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2x−y+6=02x - y + 6 = 0

Cevap

2x−y+6=02x - y + 6 = 0 denklemiyle verilen doğrudur.
İstenen doğru verilen doğruya paralel olduğu için eğimi aynı olmalıdır, yani eğim 2'dir. Bu durumda doğrunun genel denklemi 2x−y+C=02x - y + C = 0 şeklinde kurulur. Bu doğrunun y-eksenini kestiği noktanın ordinatı CC, x-eksenini kestiği noktanın apsisi ise −C2-\frac{C}{2} olur. Koordinat eksenleriyle sınırlanan bölge bir dik üçgen olup alanı 12⋅∣C∣⋅∣−C2∣=C24\frac{1}{2} \cdot |C| \cdot |-\frac{C}{2}| = \frac{C^2}{4} formülüyle hesaplanır. Alanın 9 birimkare olduğu verildiğine göre C2=36C^2 = 36 ve buradan C=6C = 6 veya C=−6C = -6 bulunur. Buna göre aranan doğrulardan biri 2x−y+6=02x - y + 6 = 0 şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen doğrunun eğimini belirlemek.
2x−y−4=0  ⟹  y=2x−42x - y - 4 = 0 \implies y = 2x - 4 yazıldığında eğim m=2m = 2 olarak bulunur.
Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir.
2
Eğimi 22 olan genel doğru denklemini yazıp eksenleri kestiği noktaları bulmak.
Aradığımız doğru 2x−y+C=02x - y + C = 0 şeklindedir. x=0x = 0 için y=Cy = C ve y=0y = 0 için x=−C2x = -\frac{C}{2} elde edilir.
Eksenleri kesim noktaları, doğrunun eksenlerle oluşturduğu dik üçgenin dik kenar uzunluklarını verir.
3
Eksenlerle sınırlanan dik üçgenin alan formülünü uygulamak.
A=12⋅∣C∣⋅∣−C2∣=C24A = \frac{1}{2} \cdot |C| \cdot |-\frac{C}{2}| = \frac{C^2}{4} olur. Alan 99 birimkare olduğundan C24=9  ⟹  C2=36  ⟹  C=6\frac{C^2}{4} = 9 \implies C^2 = 36 \implies C = 6 veya C=−6C = -6 bulunur.
Koordinat eksenleri orijinde dik kesiştiğinden oluşan bölge bir dik üçgendir.
4
Doğru denklemini oluşturmak.
C=6C = 6 için denklem 2x−y+6=02x - y + 6 = 0 olur. Bu denklem seçeneklerde mevcuttur.
Bulunan olası iki doğrudan birisi seçeneklerde yer almaktadır.

Anahtar Kavram

Paralel doğruların eğimlerinin eşitliği ve eksenleri kestiği noktalar yardımıyla doğru denklemi oluşturma.
Soru 47Soru →
Analitik düzlemde, karşılıklı iki kenarı
12x−5y+39=012x - 5y + 39 = 0
24x−10y−52=024x - 10y - 52 = 0
doğruları üzerinde bulunan bir karenin alanı aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Alan değeri 25 birimkaredir.
Karenin karşılıklı iki kenarı paralel doğrular üzerinde yer aldığından, bu doğrular arasındaki dik uzaklık karenin bir kenar uzunluğuna eşit olur. İkinci denklemi 2 ile sadeleştirdiğimizde doğrular 12x−5y+39=012x - 5y + 39 = 0 ve 12x−5y−26=012x - 5y - 26 = 0 halini alır. Bu doğrular arasındaki uzaklık formülü uygulandığında kenar uzunluğu 55 birim olarak hesaplanır. Kenarı 55 birim olan karenin alanı ise 2525 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci doğrunun denklemini 2 ile sadeleştirerek katsayılarını birinci doğrunun katsayıları ile eşitleyin.
12x−5y−26=012x - 5y - 26 = 0 denklemi elde edilir.
Paralel doğrular arasındaki uzaklık formülünü uygulayabilmek için doğruların xx ve yy katsayılarının (AA ve BB değerlerinin) eşitlenmesi gerekir.
2
Katsayıları eşitlenen doğrular arasındaki uzaklık formülünü uygulayın.
Uzaklık d=∣39−(−26)∣122+(−5)2=6513=5d = \frac{|39 - (-26)|}{\sqrt{12^2 + (-5)^2}} = \frac{65}{13} = 5 birim olarak bulunur.
Karşılıklı kenarları paralel doğrular üzerinde olan karenin doğrular arasındaki dik uzaklığı, karenin bir kenar uzunluğunu (a=5a=5) verir.
3
Karenin bir kenar uzunluğunu kullanarak alanını hesaplayın.
Alan=a2=52=25Alan = a^2 = 5^2 = 25 birimkare olarak bulunur.
Karenin alanı, bir kenar uzunluğunun kendisiyle çarpılmasıyla (karesiyle) elde edilir.

Anahtar Kavram

Paralel iki doğru arasındaki uzaklık formülü d=∣C1−C2∣A2+B2d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} şeklindedir. Formülü uygulamadan önce doğruların AA ve BB katsayıları mutlaka eşitlenmelidir.
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 3 / 3
Analitik Geometri Alıştırma Soruları — ALES — Sayfa 3 | Examkin