Examkin

Analitik Geometri

47 soru

Soru 21Soru →

Dik koordinat düzleminde, koordinatları tam sayılardan oluşan AA ve BB noktaları için [AB][AB] doğru parçasının orta noktası C(0,3)C(0, 3)'tür. AA noktası koordinat düzleminin ikinci bölgesinde yer almaktadır. AA ve BB noktaları arasındaki uzaklık 1010 birim olduğuna göre, AA noktasının orijine olan uzaklığının alabileceği en büyük değer kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 58\sqrt{58}

Cevap

A noktasının orijine olan uzaklığının alabileceği en büyük değer 58\sqrt{58} birimdir.
Verilen sınırlamalara uygun olarak elde edilen en büyük uzaklık değeri, koordinatları A(−3,7)A(-3, 7) olan nokta için geçerlidir ve orijine uzaklığı (−3)2+72=58\sqrt{(-3)^2 + 7^2} = \sqrt{58} birimdir.

Adım Adım Çözüm

1
Orta nokta formülünü kullanarak AA ve BB noktalarının koordinatları arasındaki bağıntıyı kurun.
A(xA,yA)A(x_A, y_A) ve B(xB,yB)B(x_B, y_B) noktalarının orta noktası C(0,3)C(0, 3) olduğundan, xA+xB=0  ⟹  xB=−xAx_A + x_B = 0 \implies x_B = -x_A ve yA+yB=6  ⟹  yB=6−yAy_A + y_B = 6 \implies y_B = 6 - y_A elde edilir.
Orta noktanın koordinatları, uç noktaların koordinatlarının aritmetik ortalamasına eşittir.
2
İki nokta arasındaki uzaklık formülünü uygulayarak denklemi sadeleştirin.
∣AB∣=10  ⟹  (xB−xA)2+(yB−yA)2=100|AB| = 10 \implies (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 = 100 denkleminde birinci adımdaki eşitlikler yerine yazılırsa: (−2xA)2+(6−2yA)2=100  ⟹  4xA2+4(3−yA)2=100  ⟹  xA2+(3−yA)2=25(-2x_A)^2 + (6 - 2y_A)^2 = 100 \implies 4x_A^2 + 4(3 - y_A)^2 = 100 \implies x_A^2 + (3 - y_A)^2 = 25 elde edilir.
Uzaklık formülünü sadeleştirip tek bir bağıntı elde etmek çözümü kolaylaştırır.
3
AA noktasının ikinci bölgede bulunması ve tam sayı koordinatlara sahip olması koşullarını uygulayarak olası noktaları belirleyin.
A(xA,yA)A(x_A, y_A) ikinci bölgede olduğundan xA<0x_A < 0 ve yA>0y_A > 0 olmalıdır. xA2+(3−yA)2=25x_A^2 + (3 - y_A)^2 = 25 denkleminde xAx_A ve yAy_A birer tam sayı olacağına göre:
1) xA=−3x_A = -3 için (3−yA)2=16  ⟹  3−yA=−4  ⟹  yA=7(3 - y_A)^2 = 16 \implies 3 - y_A = -4 \implies y_A = 7 (nokta A(−3,7)A(-3, 7)),
2) xA=−4x_A = -4 için (3−yA)2=9  ⟹  3−yA=−3  ⟹  yA=6(3 - y_A)^2 = 9 \implies 3 - y_A = -3 \implies y_A = 6 (nokta A(−4,6)A(-4, 6)),
3) xA=−5x_A = -5 için (3−yA)2=0  ⟹  yA=3(3 - y_A)^2 = 0 \implies y_A = 3 (nokta A(−5,3)A(-5, 3)).
Bölge sınırlamaları ve tam sayı olma koşulu olası çözüm kümesini sonlu sayıda noktaya indirger.
4
Bulunan olası AA noktalarının orijine olan uzaklıklarını hesaplayıp karşılaştırın.
Orijin O(0,0)O(0, 0) noktası olmak üzere:
- A(−3,7)A(-3, 7) için uzaklık: (−3)2+72=58\sqrt{(-3)^2 + 7^2} = \sqrt{58} birim,
- A(−4,6)A(-4, 6) için uzaklık: (−4)2+62=52=213\sqrt{(-4)^2 + 6^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} birim,
- A(−5,3)A(-5, 3) için uzaklık: (−5)2+32=34\sqrt{(-5)^2 + 3^2} = \sqrt{34} birimdir. En büyük değer 58\sqrt{58} olarak bulunur.
Olası noktalar içinden en büyük uzaklığı veren noktayı seçmek sorunun nihai hedefidir.

Anahtar Kavram

İki nokta arasındaki uzaklık, orta nokta formülü ve analitik düzlemde bölgeler

Alternatif Yöntem

Geometrik olarak, AA noktasının C(0,3)C(0,3) merkezli ve 55 birim yarıçaplı bir çember üzerinde yer alması gerektiği görülür. Çemberin II. bölgesindeki tam sayı koordinatlı noktaları doğrudan koordinat düzleminde çizerek veya x2+(y−3)2=25x^2 + (y-3)^2 = 25 çember denkleminden yararlanarak hızlıca bulabilir ve orijine olan uzaklıklarını karşılaştırabilirsiniz.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 22Soru →

Analitik düzlemde, eğimi 22 olan ve A(−2,3)A(-2, 3) noktasından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2x−y+7=02x - y + 7 = 0

Cevap

Doğrunun denklemi 2x−y+7=02x - y + 7 = 0 olarak bulunur.
Eğimi m=2m=2 olan ve A(−2,3)A(-2, 3) noktasından geçen doğrunun denklemi y−3=2(x−(−2))y - 3 = 2(x - (-2)) formülüyle kurulur. Buradan y−3=2x+4y - 3 = 2x + 4 ve düzenlendiğinde 2x−y+7=02x - y + 7 = 0 denklemi elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Doğru denklemini oluşturmak için genel formülü yazalım.
y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1)
Eğimi ve bir noktası bilinen doğrunun denklemini veren temel bağıntı budur.
2
Verilen eğim (m=2m = 2) ve nokta koordinatlarını (x1=−2x_1 = -2, y1=3y_1 = 3) formülde yerine yazalım.
y−3=2(x−(−2))y - 3 = 2(x - (-2))
Doğru üzerindeki noktayı ve doğrunun eğimini denklemde tanımlamak için.
3
Parantezi açıp denklemi düzenleyelim.
y−3=2(x+2)  ⟹  y−3=2x+4  ⟹  2x−y+7=0y - 3 = 2(x + 2) \implies y - 3 = 2x + 4 \implies 2x - y + 7 = 0
Denklemi standart ax+by+c=0ax + by + c = 0 biçimine getirmek için.

Anahtar Kavram

Eğimi ve bir noktası bilinen doğrunun denkleminin yazılması

İpuçları

1
Eğimi mm olan ve (x1,y1)(x_1, y_1) noktasından geçen doğrunun denklemi y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1) formülüyle bulunur.

Daha Fazla Pratik

Farklı koordinat bölgelerinde verilen noktalar ve negatif/pozitif eğim değerleri ile doğru denklemi yazma pratikleri yapabilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 23Soru →

Analitik düzlemde, A(−4,3)A(-4, 3) noktasından çıkan bir ışık ışını, y=mxy = mx (m>0m > 0) doğrusu biçimindeki bir aynadan orijinde (O(0,0)O(0,0) noktasında) yansıyarak B(5,12)B(5, 12) noktasından geçmektedir.

Işığın yansıma kuralına göre; gelen ışın ile aynanın yüzeyi arasındaki açı, yansıyan ışın ile aynanın yüzeyi arasındaki açıya eşittir.

Buna göre, aynayı temsil eden doğrunun e��imi olan mm değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 311\frac{3}{11}

Cevap

Aynayı temsil eden doğrunun eğimi 311\frac{3}{11}'dir.
Gelen ve yansıyan ışınların doğrultuları ile ayna doğrusu arasındaki açıların eşitliği kullanılarak kurulan tanjant eşitliğinden elde edilen ikinci dereceden denklemin pozitif kökü 311\frac{3}{11} değeridir. Bu değer yansıma kurallarına tam olarak uymaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Gelen ve yansıyan ışınların doğrultularını temsil eden doğruların eğimlerini hesaplayın.
Gelen ışının doğrusu olan AOAO doğrusunun eğimi m1=3−0−4−0=−34m_1 = \frac{3 - 0}{-4 - 0} = -\frac{3}{4} ve yansıyan ışının doğrusu olan OBOB doğrusunun eğimi m2=12−05−0=125m_2 = \frac{12 - 0}{5 - 0} = \frac{12}{5} olarak bulunur.
Yansıma açılarının eşitliğini kurabilmek için öncelikle bu iki doğrunun eğim değerlerinin belirlenmesi gerekir.
2
Yansıma kuralına göre, ayna doğrusu ile gelen ve yansıyan ışın doğruları arasındaki açıların eşitliğini tanjant formülü ile yazın.
Ayna doğrusunun eğimi mm olmak üzere, ∣m−m11+m⋅m1∣=∣m2−m1+m⋅m2∣\left|\frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1}\right| = \left|\frac{m_2 - m}{1 + m \cdot m_2}\right| formülünden ∣m−(−3/4)1+m(−3/4)∣=∣12/5−m1+(12/5)m∣\left|\frac{m - (-3/4)}{1 + m(-3/4)}\right| = \left|\frac{12/5 - m}{1 + (12/5)m}\right| eşitliği elde edilir.
Yansıma kuralı gereği, gelen ve yansıyan ışınların ayna doğrusuyla yaptığı dar açılar birbirine eşittir.
3
Elde edilen mutlak değerli denklemi düzenleyin ve çözün.
Denklem düzenlendiğinde ∣4m+34−3m∣=∣12−5m5+12m∣\left|\frac{4m + 3}{4 - 3m}\right| = \left|\frac{12 - 5m}{5 + 12m}\right| haline gelir. İki tarafın aynı işaretli olduğu durum için (4m+3)(5+12m)=(12−5m)(4−3m)(4m + 3)(5 + 12m) = (12 - 5m)(4 - 3m) çarpımı yapılır. Buradan 33m2+112m−33=033m^2 + 112m - 33 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklem (3m+11)(11m−3)=0(3m + 11)(11m - 3) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Aynanın eğimini veren olası mm değerlerini bulmak için ikinci dereceden denklemin kökleri hesaplanır.
4
Koşullara uygun olan eğim değerini belirleyin.
m>0m > 0 koşulunu sağlayan kök m=311m = \frac{3}{11} olarak bulunur. Diğer kök olan m=−113m = -\frac{11}{3} ise ayna doğrusuna dik olan normal doğrusunun eğimidir.
Fiziksel yansımayı gerçekleştiren ve soruda pozitif olduğu belirtilen tek ayna eğimi değeri budur.

Anahtar Kavram

İki doğru arasındaki açının tanjantı ve yansıma kuralının analitik geometriye uygulanması

İpuçları

1
Işığın yansıma kuralına göre, ayna doğrusu ile gelen ve yansıyan ışın doğruları arasındaki dar açılar birbirine eşittir.
2
İki doğrunun eğimleri mam_a ve mbm_b ise, aralarındaki açının tanjantı tan⁡θ=∣ma−mb1+ma⋅mb∣\tan \theta = \left|\frac{m_a - m_b}{1 + m_a \cdot m_b}\right| formülü ile hesaplanır. Aynanın eğimi mm olmak üzere bu formülü her iki ışın için uygulayıp birbirine eşitleyin.
3
AOAO doğrusunun eğimini m1=−34m_1 = -\frac{3}{4} ve OBOB doğrusunun eğimini m2=125m_2 = \frac{12}{5} olarak bulduktan sonra, ∣m−(−3/4)1+m(−3/4)∣=∣12/5−m1+(12/5)m∣\left|\frac{m - (-3/4)}{1 + m(-3/4)}\right| = \left|\frac{12/5 - m}{1 + (12/5)m}\right| denklemini m>0m > 0 için çözün.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir yansıma sorusunu ayna doğrusunun eksenleri kestiği noktalar bilindiğinde ayna denklemini oluşturarak çözmeyi deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Vektörel yöntem veya yansıma simetrisi kullanılabilir. A(−4,3)A(-4, 3) noktasının y=mxy = mx doğrusuna göre simetriği olan A′(x′,y′)A'(x', y') noktası, OBOB doğrusu üzerinde ve orijine göre BB ile zıt yönde (3. bölgede) olmalıdır. A′A' noktasının koordinatları mm cinsinden yazılıp OBOB doğrusunun denklemi olan 12x−5y=012x - 5y = 0 yerine konularak da mm değeri bulunabilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 24Soru →

Analitik düzlemde, başlangıç noktası (orijin) ile A(3,−2)A(3, -2) noktasından geçen doğrunun eğimi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −23-\frac{2}{3}

Cevap

Doğrunun eğimi −23-\frac{2}{3}'tür.
Doğrunun eğimi, üzerindeki iki noktanın ordinatları farkının apsisleri farkına oranıyla bulunur. Başlangıç noktası (0,0)(0,0) ve verilen nokta A(3,−2)A(3, -2) olduğundan eğim, ordinat olan −2-2'nin apsis olan 33'e bölünmesiyle −23-\frac{2}{3} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Başlangıç noktasının (orijin) koordinatları belirlenir.
O(0,0)O(0,0)
Eğimi hesaplamak için doğrunun geçtiği iki noktadan ilki tanımlanır.
2
Verilen A(3,−2)A(3, -2) noktası ile orijin O(0,0)O(0,0) noktaları kullanılarak iki noktası bilinen doğrunun eğim formülü yazılır.
m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
Doğrunun eğimini hesaplamak için genel formülün uygulanması gerekir.
3
Koordinat değerleri formülde yerine konularak eğim hesaplanır.
m=−2−03−0=−23m = \frac{-2 - 0}{3 - 0} = -\frac{2}{3}
Apsis ve ordinat farklarının oranlanmasıyla eğim değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

İki noktası bilinen doğrunun eğimi
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 25Soru →

Analitik düzlemde, A(−1,4)A(-1, 4) noktasından geçen ve 2x+3y−6=02x + 3y - 6 = 0 doğrusunun eksenleri kestiği noktaların orta noktasından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6x+5y−14=06x + 5y - 14 = 0

Cevap

6x+5y−14=06x + 5y - 14 = 0 denklemi doğru cevaptır.
Verilen doğrunun eksenleri kestiği (3,0)(3, 0) ve (0,2)(0, 2) noktalarının orta noktası (32,1)\left(\frac{3}{2}, 1\right) olarak hesaplanır. Bu nokta ile A(−1,4)A(-1, 4) noktasından geçen doğrunun eğimi −65-\frac{6}{5} olup, y−4=−65(x+1)y - 4 = -\frac{6}{5}(x + 1) bağıntısından aradığımız doğru denklemi 6x+5y−14=06x + 5y - 14 = 0 şeklinde elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
2x+3y−6=02x + 3y - 6 = 0 doğrusunun eksenleri kestiği noktaları bulunuz.
Doğru, y=0y = 0 için x=3x = 3 noktasında yani (3,0)(3, 0) noktasında x-eksenini keser. x=0x = 0 için y=2y = 2 noktasında yani (0,2)(0, 2) noktasında y-eksenini keser.
Aranan doğrunun geçtiği orta noktayı hesaplamak için öncelikle eksen kesişim noktalarını belirlememiz gerekir.
2
Eksenleri kesen (3,0)(3, 0) ve (0,2)(0, 2) noktalarının orta noktasını hesaplayınız.
Orta nokta formülünden, orta nokta koordinatları M(3+02,0+22)=(32,1)M\left(\frac{3+0}{2}, \frac{0+2}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, 1\right) olarak bulunur.
Soruda istenen ikinci noktanın koordinatlarını tespit etmek amacıyla orta nokta hesaplanır.
3
A(−1,4)A(-1, 4) ve M(32,1)M\left(\frac{3}{2}, 1\right) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulunuz.
Eğim formülünden m=y2−y1x2−x1=1−432−(−1)=−352=−65m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - 4}{\frac{3}{2} - (-1)} = \frac{-3}{\frac{5}{2}} = -\frac{6}{5} elde edilir.
Doğru denklemini yazmak için gereken eğim değerini elde etmek.
4
Eğimi ve geçtiği noktası bilinen doğrunun denklemini oluşturunuz.
y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1) formülünden y−4=−65(x+1)y - 4 = -\frac{6}{5}(x + 1) yazılır. Buradan 5y−20=−6x−65y - 20 = -6x - 6 ve düzenlendiğinde 6x+5y−14=06x + 5y - 14 = 0 denklemi bulunur.
Elde edilen verileri kullanarak aranan doğrunun genel denklemini oluşturmak.

Anahtar Kavram

İki noktası bilinen doğrunun eğimini bulma ve doğru denklemi yazma

Alternatif Yöntem

Seçeneklerdeki doğru denklemlerinde A(−1,4)A(-1, 4) noktası yerine yazılarak test edilebilir. Doğru seçenekte −1-1 ve 44 yazıldığında 6(−1)+5(4)−14=−6+20−14=06(-1) + 5(4) - 14 = -6 + 20 - 14 = 0 eşitliği sağlanır, diğer seçeneklerde bu eşitlik sağlanmaz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 26Soru →

Bir lojistik firması, koordinat düzleminde A(−2,5)A(-2, 5) ve B(7,−7)B(7, -7) noktalarında bulunan iki depo arasına doğrusal bir hat çekmektedir. Bu hat üzerinde, depolara uzaklıkları oranı ∣AC∣∣BC∣=12\frac{|AC|}{|BC|} = \frac{1}{2} olacak şekilde bir CC dağıtım merkezi (içten bölen) ve hattın uzantısı üzerinde depolara uzaklıkları oranı ∣AD∣∣BD∣=2\frac{|AD|}{|BD|} = 2 olacak şekilde bir DD kontrol noktası (dıştan bölen) belirlenmiştir.

Buna göre, kurulacak olan CC dağıtım merkezi ile DD kontrol noktasının koordinatları toplamı (xC+yC+xD+yDx_C + y_C + x_D + y_D) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

C ve D noktalarının koordinatları toplamı -1'dir.
C noktası [AB] doğru parçasını içten 1/2 oranında böldüğü için koordinatları C(1, 1) olur. D noktası dıştan 2 oranında böldüğü için B ucunun dış uzantısında yer alır ve koordinatları D(16, -19) olarak hesaplanır. Bu iki noktanın koordinatlarının toplamı 1 + 1 + 16 - 19 = -1 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
C noktasının koordinatlarının bulunması
C(1, 1)
C noktası [AB] doğru parçasını içten 1/2 oranında böldüğü için |BC| = 2|AC| olur. Buradan içten bölme formülüyle x_C = (2*x_A + x_B)/3 = (2*(-2) + 7)/3 = 1 ve y_C = (2*y_A + y_B)/3 = (2*5 - 7)/3 = 1 bulunur.
2
D noktasının koordinatlarının bulunması
D(16, -19)
D noktası dıştan 2 oranında böldüğü için |AD|/|BD| = 2/1 olur. |AD| > |BD| olduğundan D noktası B tarafında hattın uzantısındadır. |AD| = 2|BD| ise |AB| = |BD| olur. A(-2, 5) noktasından B(7, -7) noktasına x koordinatı 9 artmış, y koordinatı 12 azalmıştır. Aynı değişim B'den D'ye de uygulanırsa x_D = 7 + 9 = 16 ve y_D = -7 - 12 = -19 bulunur.
3
Koordinatların toplanması
-1
Bulunan koordinat değerleri toplanır: x_C + y_C + x_D + y_D = 1 + 1 + 16 + (-19) = -1.

Anahtar Kavram

Doğru Parçasını Oranlı Bölme
Soru 27Soru →

Analitik düzlemde A(1,2)A(1, 2) ve B(7,14)B(7, 14) noktaları veriliyor.

[AB][AB] doğru parçasını içten ∣AC∣∣CB∣=2\frac{|AC|}{|CB|} = 2 oranında bölen CC noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Koordinatları toplamı 15 olan seçenektir.
Koordinatların artış miktarı doğru parçalarının uzunluk oranları olan 2k2k ve kk değerleri ile doğru orantılıdır. Buna göre hesaplanan C(5,10)C(5, 10) noktasının koordinatları toplamı 1515 olur.

Adım Adım Çözüm

1
CC noktasının konumunu ve doğru parçalarının oranını belirleme
∣AC∣=2k|AC| = 2k ve ∣CB∣=k|CB| = k olduğundan tüm doğru parçası ∣AB∣=3k|AB| = 3k olur.
CC noktası [AB][AB] doğru parçasını içten böldüğü için AA ve BB noktalarının arasında yer alır.
2
xx koordinatındaki artış miktarını bulma
xx değeri A(1,2)A(1, 2) noktasından B(7,14)B(7, 14) noktasına giderken 3k3k mesafede 7−1=67 - 1 = 6 birim artmıştır. Buna göre her kk mesafede 22 birim artış gerçekleşir. CC noktası AA'dan 2k2k uzaklıkta olduğu için xx koordinatı 2×2=42 \times 2 = 4 birim artarak 1+4=51 + 4 = 5 olur.
Analitik düzlemde doğru üzerindeki koordinat değişimleri, noktalar arasındaki uzaklıklarla doğru orantılıdır.
3
yy koordinatındaki artış miktarını bulma
yy değeri A(1,2)A(1, 2) noktasından B(7,14)B(7, 14) noktasına giderken 3k3k mesafede 14−2=1214 - 2 = 12 birim artmıştır. Buna göre her kk mesafede 44 birim artış gerçekleşir. CC noktası AA'dan 2k2k uzaklıkta olduğu için yy koordinatı 2×4=82 \times 4 = 8 birim artarak 2+8=102 + 8 = 10 olur.
yy koordinatındaki değişim de benzer şekilde doğru parçalarının uzunluklarıyla doğru orantılı olarak artış gösterir.
4
CC noktasının koordinatları toplamını hesaplama
C(5,10)C(5, 10) noktasının koordinatları toplamı 5+10=155 + 10 = 15 bulunur.
Bizden istenen CC noktasının bileşenlerinin toplamıdır.

Anahtar Kavram

Doğru Parçasını Belirli Bir Oranda Bölen Noktanın Koordinatları

İpuçları

1
C noktası [AB] doğru parçasını içten böldüğü için A ile B noktalarının arasındadır.
2
|AC| = 2k ve |CB| = k yazarak toplam uzunluğu |AB| = 3k olarak ifade edin.
3
A noktasından B noktasına giderken x ve y koordinatlarının 3k mesafede ne kadar arttığına bakın. Ardından A noktasından başlayarak 2k mesafe sonrası için C noktasının koordinatlarını belirleyin.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 28Soru →

Analitik düzlemde; x=4x = 4 ve y=6y = 6 doğruları ile koordinat eksenleri arasında kalan dikdörtgensel bölge, orijinden geçen y=mxy = mx doğrusu ile alanları oranı 1:31:3 olan iki bölgeye ayrılıyor.

Buna göre, mm sayısının alabileceği pozitif değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 154\frac{15}{4}

Cevap

Elde edilen pozitif mm değerlerinin toplamı olan on beş bölü dört ifadesidir.
Dikdörtgensel bölgenin alanı 2424 birimkaredir. Alanlar oranı 1:31:3 olduğundan küçük bölgenin alanı 66 birimkare olmalıdır. Orijinden geçen y=mxy = mx doğrusu iki durumda incelenir. İlk durumda doğru x=4x=4 doğrusunu (4,4m)(4, 4m) noktasında keserek alanı 8m8m olan bir dik üçgen oluşturur; buradan m=3/4m = 3/4 elde edilir. İkinci durumda ise y=6y=6 doğrusunu (6m,6)(\frac{6}{m}, 6) noktasında keserek alanı 18m\frac{18}{m} olan bir dik üçgen oluşturur; buradan m=3m = 3 elde edilir. Bu değerlerin toplamı 154\frac{15}{4} olur.

Adım Adım Çözüm

1
Dikdörtgensel bölgenin toplam alanını ve ayrılan bölgenin alanlarını hesaplayın.
Toplam alan 4×6=244 \times 6 = 24 birimkaredir. Alanlar oranı 1:31:3 olduğuna göre küçük alan 6 birimkare, büyük alan ise 18 birimkaredir.
Soruda belirtilen oranlara göre ayrılan parçaların alanlarını netleştirmek gerekir.
2
Birinci durumu inceleyin: y=mxy = mx doğrusunun dikey sınır olan x=4x = 4 doğrusunu kesmesi durumu (0<m≤1.50 < m \leq 1.5).
Doğru, x=4x = 4 doğrusunu (4,4m)(4, 4m) noktasında keser. Alt tarafta oluşan dik üçgenin alanı 4×4m2=8m\frac{4 \times 4m}{2} = 8m olur. Buradan 8m=6  ⟹  m=348m = 6 \implies m = \frac{3}{4} bulunur. Bu değer 1.51.5 sınırından küçük olduğu için geçerlidir.
Doğrunun dik kenarı kestiği aralıktaki eğim sınırını ve bu durumda oluşan üçgenin alanını bulmak için.
3
İkinci durumu inceleyin: y=mxy = mx doğrusunun yatay sınır olan y=6y = 6 doğrusunu kesmesi durumu (m≥1.5m \geq 1.5).
Doğru, y=6y = 6 doğrusunu (6m,6)(\frac{6}{m}, 6) noktasında keser. Sol tarafta oluşan dik üçgenin alanı 6×6m2=18m\frac{6 \times \frac{6}{m}}{2} = \frac{18}{m} olur. Buradan 18m=6  ⟹  m=3\frac{18}{m} = 6 \implies m = 3 bulunur. Bu değer 1.51.5 sınırından büyük olduğu için geçerlidir.
Doğrunun yatay kenarı kestiği aralıktaki eğim sınırını ve bu durumda oluşan üçgenin alanını bulmak için.
4
Bulunan geçerli pozitif mm değerlerini toplayın.
m1+m2=34+3=154m_1 + m_2 = \frac{3}{4} + 3 = \frac{15}{4} bulunur.
Soruda bizden istenen pozitif mm değerlerinin toplamına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Eksenlere paralel doğrular ve orijinden geçen doğruların sınırladığı bölgelerin alan analizi
Soru 29Soru →

Analitik düzlemde A(−1,2)A(-1, 2) ve B(5,8)B(5, 8) noktaları veriliyor. [AB][AB] doğru parçasını içten ∣AC∣∣CB∣=12\frac{|AC|}{|CB|} = \frac{1}{2} oranında bölen CC noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Koordinatları toplamı 5 olan seçenek
Doğru parçasını içten bölen C noktası için A(-1, 2) ve B(5, 8) noktaları arasındaki koordinat artışları oranlanır. ∣AC∣=k|AC| = k ve ∣CB∣=2k|CB| = 2k olduğundan toplam mesafe ∣AB∣=3k|AB| = 3k olur. Hem x hem de y koordinatı 3k mesafede 6 birim artmıştır. Dolayısıyla her k mesafede artış 2 birimdir. C noktası A'dan k kadar uzaklıkta olduğu için koordinatları C(1, 4) olur ve toplamları 5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
A ve B noktaları arasındaki yatay (x) ve dikey (y) uzaklık farklarını hesaplayın.
x koordinatı değişimi 5−(−1)=65 - (-1) = 6 birim, y koordinatı değişimi 8−2=68 - 2 = 6 birimdir.
Koordinatların toplam değişim miktarını belirlemek için.
2
Verilen oran ilişkisine göre birim artış miktarını belirleyin.
∣AC∣∣CB∣=12\frac{|AC|}{|CB|} = \frac{1}{2} olduğundan, ∣AC∣=k|AC| = k ve ∣CB∣=2k|CB| = 2k yazılır. Toplam mesafe ∣AB∣=3k|AB| = 3k olur. 3k3k mesafede 66 birimlik koordinat değişimi varsa, her kk mesafesi için değişim miktarı 22 birimdir.
C noktasının koordinatlarını bulmak amacıyla birim mesafe başına düşen koordinat artışını hesaplamak için.
3
A noktasının koordinatlarına hesaplanan artış miktarlarını ekleyin.
xC=−1+2=1x_C = -1 + 2 = 1 ve yC=2+2=4y_C = 2 + 2 = 4 olup, C noktası (1,4)(1, 4) olarak bulunur.
C noktasının koordinatlarını kesinleştirmek için.
4
C noktasının koordinatlarının toplamını bulun.
1+4=51 + 4 = 5 elde edilir.
Soruda istenen koordinatlar toplamını bulmak için.

Anahtar Kavram

Doğru parçasını içten oranlı bölme
Soru 30Soru →
Denklemleri
d1:(a−2)x+3y−5=0d_1: (a-2)x + 3y - 5 = 0
d2:4x+(a+2)y+7=0d_2: 4x + (a+2)y + 7 = 0
olan doğruların koordinat düzleminde hiçbir ortak noktası bulunmadığına göre, aa parametresinin alabileceği pozitif değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Doğruların hiçbir ortak noktasının olmaması onların paralel olduğunu gösterir ve bu durumda eğimlerinin eşitliğinden a parametresinin alabileceği pozitif değer 4 olarak bulunur.
Verilen doğruların hiçbir ortak noktasının olmaması, bu doğruların paralel olduğu anlamına gelir. Paralel doğruların eğimleri eşittir. d1d_1 doğrusunun eğimi m1=−a−23m_1 = -\frac{a-2}{3} ve d2d_2 doğrusunun eğimi m2=−4a+2m_2 = -\frac{4}{a+2} dir. Bu eğimleri birbirine eşitlediğimizde −a−23=−4a+2-\frac{a-2}{3} = -\frac{4}{a+2} elde edilir. Buradan (a−2)(a+2)=12(a-2)(a+2) = 12 ve a2−4=12a^2 - 4 = 12 bulunur. Denklemi çözdüğümüzde a2=16a^2 = 16 elde edilir ki bu da a=4a = 4 veya a=−4a = -4 demektir. Soruda bizden pozitif değer istendiği için doğru cevap 4 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Doğruların koordinat düzleminde hiçbir ortak noktasının bulunmaması durumunun geometrik anlamını belirlemek.
d1d_1 ve d2d_2 doğruları birbirine paraleldir (d1∥d2d_1 \parallel d_2).
Koordinat düzleminde çakışık olmayan iki doğrunun kesişmemesi (ortak noktasının olmaması) ancak ve ancak bu doğruların paralel olmasıyla mümkündür.
2
Doğruların eğimlerini katsayıları cinsinden hesaplamak.
d1d_1 doğrusunun eğimi m1=−a−23m_1 = -\frac{a-2}{3} ve d2d_2 doğrusunun eğimi m2=−4a+2m_2 = -\frac{4}{a+2} olur.
Ax+By+C=0Ax + By + C = 0 biçimindeki bir doğrunun eğimi m=−ABm = -\frac{A}{B} formülüyle bulunur.
3
Paralel doğruların eğimlerinin eşit olması özelliğini kullanarak denklem kurmak ve çözmek.
−a−23=−4a+2⇒a−23=4a+2-\frac{a-2}{3} = -\frac{4}{a+2} \Rightarrow \frac{a-2}{3} = \frac{4}{a+2} ve buradan (a−2)(a+2)=12⇒a2−4=12⇒a2=16(a-2)(a+2) = 12 \Rightarrow a^2 - 4 = 12 \Rightarrow a^2 = 16 elde edilir.
Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir (m1=m2m_1 = m_2).
4
a2=16a^2 = 16 denklemini sağlayan değerleri bulup pozitif olanı seçmek.
a=4a = 4 veya a=−4a = -4 bulunur. Pozitif değer istendiği için a=4a = 4 alınır.
Karesi 16 olan sayılar 4 ve -4'tür. Sorudaki pozitiflik koşulunu sağlayan değer 4'tür.

Anahtar Kavram

İki doğrunun paralel olması durumunda eğimleri birbirine eşittir. Genel denklemi A1x+B1y+C1=0A_1x + B_1y + C_1 = 0 ve A2x+B2y+C2=0A_2x + B_2y + C_2 = 0 olan doğruların paralel olması için katsayılar arasında A1A2=B1B2≠C1C2\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} bağıntısı bulunmalıdır.

İpuçları

1
İki doğrunun hiçbir ortak noktasının olmaması, bu doğruların birbirine paralel olduğunu gösterir.
2
Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir. Doğruların eğimlerini xx ve yy katsayılarını kullanarak bulunuz.
3
d1d_1 için eğim −a−23-\frac{a-2}{3} ve d2d_2 için eğim −4a+2-\frac{4}{a+2} dir. Bu iki değeri birbirine eşitleyerek a2a^2 ifadesini bulunuz.

Daha Fazla Pratik

Eğer bu doğrular birbirine dik olsaydı, eğimleri çarpımının -1 olması gerekirdi. Benzer şekilde doğruların çakışık olması durumunda ise sabit terimlerin oranı da bu orana eşit olurdu.

Alternatif Yöntem

Paralellik durumunda x'in katsayıları oranının, y'nin katsayıları oranına eşit olması gerekir. Yani a−24=3a+2\frac{a-2}{4} = \frac{3}{a+2} bağıntısı doğrudan kurulabilir. Buradan içler dışlar çarpımı yapılarak (a−2)(a+2)=12⇒a2−4=12⇒a2=16(a-2)(a+2) = 12 \Rightarrow a^2 - 4 = 12 \Rightarrow a^2 = 16 elde edilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 31Soru →

Analitik düzlemde, A(−1,b)A(-1, b) ve B(5,2)B(5, 2) noktaları arasındaki uzaklık 1010 birim olduğuna göre, bb sayısının alabileceği pozitif değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

b sayısının alabileceği pozitif değer 10'dur.
İki nokta arasındaki uzaklık formülü uygulandığında, koordinatlar farkının kareleri toplamı uzaklığın karesine eşit olur. Buradan elde edilen ikinci dereceden denklem çözüldüğünde b değeri -6 veya 10 olarak bulunur. Soruda pozitif değer istendiği için doğru cevap 10'dur.

Adım Adım Çözüm

1
İki nokta arasındaki uzaklık formülü yazılır.
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
Analitik düzlemde verilen iki nokta arasındaki mesafeyi bulmak için bu temel formül kullanılır.
2
Verilen koordinat değerleri formülde yerine yazılır.
(5−(−1))2+(2−b)2=10\sqrt{(5 - (-1))^2 + (2 - b)^2} = 10
Uzaklık değeri 10 ve noktaların koordinatları formüle yerleştirilerek bilinmeyen b değerine ulaşılmaya çalışılır.
3
Elde edilen denklem çözülerek b değerleri bulunur.
62+(2−b)2=100⇒(2−b)2=64⇒2−b=−8 veya 2−b=8⇒b=10 veya b=−66^2 + (2 - b)^2 = 100 \Rightarrow (2 - b)^2 = 64 \Rightarrow 2 - b = -8 \text{ veya } 2 - b = 8 \Rightarrow b = 10 \text{ veya } b = -6
Karesi 64 olan sayılar belirlenerek b'nin alabileceği değerler hesaplanır. Soruda pozitif değer istendiği için 10 değeri seçilir.

Anahtar Kavram

İki nokta arasındaki uzaklık formülü
Soru 32Soru →
Analitik düzlemde, denklemleri
5x+12y+15=05x + 12y + 15 = 0
10x+24y−48=010x + 24y - 48 = 0
olan iki paralel doğru arasındaki uzaklık kaç birimdir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İki paralel doğru arasındaki uzaklık 3 birimdir.
Verilen doğruların katsayılarını eşitlemek amacıyla ikinci doğrunun denklemi 2 ile sadeleştirildiğinde 5x+12y−24=05x + 12y - 24 = 0 denklemi elde edilir. Bu durumda a=5a=5, b=12b=12, c1=15c_1=15 ve c2=−24c_2=-24 olur. Paralel doğrular arasındaki uzaklık formülü kullanılarak d=∣15−(−24)∣52+122=3913=3d = \frac{|15 - (-24)|}{\sqrt{5^2 + 12^2}} = \frac{39}{13} = 3 birim olarak hesaplanır. Bu nedenle doğru yanıt 3 birimdir.

Adım Adım Çözüm

1
Doğru denklemlerinin katsayılarını eşitlemek için ikinci denklemi düzenleyin.
10x+24y−48=010x + 24y - 48 = 0 denkleminin her terimi 2'ye bölünerek 5x+12y−24=05x + 12y - 24 = 0 denklemi elde edilir.
Paralel doğrular arası uzaklık formülünü uygulayabilmek için xx ve yy değişkenlerinin katsayılarının (aa ve bb) her iki denklemde de aynı olması gerekir.
2
Elde edilen denklemlerden katsayıları ve sabit terimleri belirleyin.
a=5a = 5, b=12b = 12, c1=15c_1 = 15 ve c2=−24c_2 = -24 olarak belirlenir.
Uzaklık formülündeki değişkenlerin yerine konulması için bu değerlere ihtiyaç vardır.
3
Paralel doğrular arasındaki uzaklık formülünü uygulayarak uzaklığı hesaplayın.
d=∣c1−c2∣a2+b2=∣15−(−24)∣52+122=∣39∣25+144=3913=3d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{|15 - (-24)|}{\sqrt{5^2 + 12^2}} = \frac{|39|}{\sqrt{25 + 144}} = \frac{39}{13} = 3 olarak bulunur.
İki paralel doğru arasındaki en kısa uzaklık, sabitlerin farkının mutlak değerinin, katsayıların karelerinin toplamının kareköküne bölünmesiyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

Paralel doğrular arasındaki uzaklık hesaplanırken öncelikle değişkenlerin katsayıları eşitlenmeli, ardından sabit terimlerin farkının mutlak değeri katsayıların kareleri toplamının kareköküne bölünmelidir.
Tahmini Süre:45s
Soru 33Soru →

Analitik düzlemde A(2,−3)A(2, -3) ve B(−4,5)B(-4, 5) noktaları veriliyor. ABAB doğrusu üzerinde;

* [AB][AB] doğru parçasını dıştan ∣AC∣∣BC∣=35\frac{|AC|}{|BC|} = \frac{3}{5} oranında bölen CC noktası,
* [AB][AB] doğru parçasını dıştan ∣AD∣∣BD∣=53\frac{|AD|}{|BD|} = \frac{5}{3} oranında bölen DD noktası

işaretleniyor. Buna göre, CC ve DD noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

40
Doğru cevabın 40 olmasının nedeni, A ve B noktaları arasındaki mesafenin 10 birim olarak hesaplanmasıdır. C noktası doğru parçasını dıştan 3/5 oranında böldüğü için A noktasına daha yakındır ve A noktasından geriye doğru 15 birim uzaklıktadır. D noktası ise doğru parçasını dıştan 5/3 oranında böldüğü için B noktasına daha yakındır ve B noktasından ileriye doğru 15 birim uzaklıktadır. Bu noktalar aynı doğru üzerinde sırasıyla C, A, B, D şeklinde dizildiğinden, C ve D arasındaki toplam mesafe 15 + 10 + 15 = 40 birimdir.

Adım Adım Çözüm

1
A(2,−3)A(2, -3) ve B(−4,5)B(-4, 5) noktaları arasındaki uzaklık (∣AB∣|AB|) hesaplanır.
∣AB∣=(−4−2)2+(5−(−3))2=(−6)2+82=10|AB| = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (5 - (-3))^2} = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = 10 birim olarak bulunur.
Dıştan bölme oranlarının doğru parçasının uzunluğuyla ilişkisini kurabilmek için başlangıç uzunluğunu bilmemiz gerekir.
2
CC noktasının konumunu belirlemek için ∣AC∣∣BC∣=35\frac{|AC|}{|BC|} = \frac{3}{5} oranı kullanılır.
CC noktası AA ucuna daha yakındır ve C−A−BC - A - B sırasıyla yer alır. ∣AC∣=3k|AC| = 3k ve ∣BC∣=5k|BC| = 5k dersek, ∣AB∣=2k=10  ⟹  k=5|AB| = 2k = 10 \implies k = 5 olur. Buradan ∣AC∣=15|AC| = 15 birim bulunur.
Dıştan bölme oranının 1'den küçük olması, noktanın ilk harfe (A noktasına) daha yakın olduğunu gösterir.
3
DD noktasının konumunu belirlemek için ∣AD∣∣BD∣=53\frac{|AD|}{|BD|} = \frac{5}{3} oranı kullanılır.
DD noktası BB ucuna daha yakındır ve A−B−DA - B - D sırasıyla yer alır. ∣AD∣=5m|AD| = 5m ve ∣BD∣=3m|BD| = 3m dersek, ∣AB∣=2m=10  ⟹  m=5|AB| = 2m = 10 \implies m = 5 olur. Buradan ∣BD∣=15|BD| = 15 birim bulunur.
Dıştan bölme oranının 1'den büyük olması, noktanın ikinci harfe (B noktasına) daha yakın olduğunu gösterir.
4
CC ve DD noktaları arasındaki toplam uzaklık (∣CD∣|CD|) hesaplanır.
C,A,B,DC, A, B, D noktaları aynı doğru üzerinde C−A−B−DC - A - B - D sırasıyla dizilmiştir. Bu nedenle, ∣CD∣=∣CA∣+∣AB∣+∣BD∣=15+10+15=40|CD| = |CA| + |AB| + |BD| = 15 + 10 + 15 = 40 birimdir.
Tüm noktalar doğrusal olduğundan, aralarındaki uzaklıklar doğrudan toplanarak toplam mesafe elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir doğru parçasını belirli bir oranda dıştan bölen noktaların koordinatlarının artış/azalış miktarları yardımıyla veya vektörel olarak bulunması ve iki nokta arasındaki uzaklığın hesaplanması.
Soru 34Soru →

Dik koordinat sisteminde P(3,−4)P(3, -4) noktası veriliyor. Bu noktanın yy-eksenine göre simetriği BB noktası, xx-eksenine göre simetriği ise CC noktasıdır.

Buna göre, BB ve CC noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

B ve C noktaları arasındaki uzaklık 10 birimdir.
Verilen P(3,−4)P(3, -4) noktasının yy-eksenine göre simetriği olan BB noktasının koordinatları B(−3,−4)B(-3, -4)'tür. xx-eksenine göre simetriği olan CC noktasının koordinatları ise C(3,4)C(3, 4)'tür. Bu iki nokta arasındaki uzaklık iki nokta arasındaki uzaklık formülüyle (3−(−3))2+(4−(−4))2=62+82=10\sqrt{(3 - (-3))^2 + (4 - (-4))^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
P(3,−4)P(3, -4) noktasının eksenlere göre simetriklerini bularak BB ve CC noktalarının koordinatlarını belirleyin.
B(−3,−4)B(-3, -4) ve C(3,4)C(3, 4)
Bir noktanın yy-eksenine göre simetriği alınırken xx-koordinatının işareti değişir; xx-eksenine göre simetriği alınırken ise yy-koordinatının işareti değişir.
2
B(−3,−4)B(-3, -4) ve C(3,4)C(3, 4) noktaları arasındaki uzaklığı iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak hesaplayın.
10
İki nokta arasındaki uzaklık formülü d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} şeklindedir. Buradan d=(3−(−3))2+(4−(−4))2=62+82=100=10d = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (4 - (-4))^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10 bulunur.

Anahtar Kavram

Analitik düzlemde noktaların eksenlere göre simetriği ve iki nokta arasındaki uzaklık formülü.

İpuçları

1
Öncelikle P(3,−4)P(3, -4) noktasının xx ve yy eksenlerine göre simetriği olan BB ve CC noktalarının koordinatlarını bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde bir noktanın orijine göre simetriğini bulup aralarındaki uzaklığı hesaplama alıştırmaları yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Bir noktanın xx ve yy eksenlerine göre simetrikleri olan noktalar, orijine göre birbirinin simetriğidir. Dolayısıyla BB ve CC noktalarının orta noktası orijindir. Bu durumda BB ve CC arasındaki uzaklık, PP noktasının orijine olan uzaklığının 2 katıdır. P(3,−4)P(3,-4) noktasının orijine uzaklığı 5 birim olduğundan, uzaklık 2×5=102 \times 5 = 10 birimdir.
Tahmini Süre:45s
Soru 35Soru →

Analitik düzlemde, birinci bölgede yer alan, iki kenarı koordinat eksenleri üzerinde ve bir köşesi orijinde olan bir karenin alanı 36 birimkare36\text{ birimkare}'dir. Bu karenin alanını iki eş bölgeye ayıran ve A(2,8)A(2, 8) noktasından geçen doğrunun eğimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −5-5

Cevap

Karenin alanını iki eş parçaya bölen doğrunun eğimi −5-5 olmalıdır.
Karenin alanını iki eş parçaya bölen herhangi bir doğru, karenin ağırlık merkezinden (köşegenlerinin kesişim noktasından) geçmek zorundadır. Karenin köşeleri O(0,0)O(0,0), P(6,0)P(6,0), R(6,6)R(6,6) ve S(0,6)S(0,6) olduğundan, ağırlık merkezi bu noktaların orta noktası olan G(3,3)G(3,3) noktasıdır. G(3,3)G(3,3) ve A(2,8)A(2,8) noktalarından geçen doğrunun eğimi ise m=3−83−2=−5m = \frac{3-8}{3-2} = -5 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Karenin kenar uzunluğunun bulunması
Birinci bölgede yer alan ve alanı 36 birimkare36\text{ birimkare} olan karenin bir kenar uzunluğu 36=6 birim\sqrt{36} = 6\text{ birim} olarak bulunur.
Karenin koordinat düzlemindeki yerleşimini ve köşelerinin koordinatlarını belirlemek için kenar uzunluğuna ihtiyaç duyulur.
2
Karenin köşe koordinatlarının ve ağırlık merkezinin belirlenmesi
Köşeleri O(0,0)O(0,0), P(6,0)P(6,0), R(6,6)R(6,6) ve S(0,6)S(0,6) olan karenin ağırlık merkezi (köşegenlerin kesişim noktası) G(3,3)G(3,3) olarak bulunur.
Bir doğrunun karenin alanını iki eşit parçaya bölebilmesi için karenin simetri merkezi olan ağırlık merkezinden geçmesi gerekir.
3
İki noktası bilinen doğrunun eğim formülünün uygulanması
G(3,3)G(3,3) ve A(2,8)A(2,8) noktalarından geçen doğrunun eğimi m=y2−y1x2−x1=3−83−2=−5m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - 8}{3 - 2} = -5 olarak hesaplanır.
Doğrunun geçmesi gereken iki nokta belirlendikten sonra bu noktalar kullanılarak doğrunun eğimi bulunur.

Anahtar Kavram

Bir düzlemsel şeklin (kare, dikdörtgen, paralelkenar vb.) alanını iki eşit parçaya bölen doğrular, bu şeklin ağırlık merkezinden geçer. İki noktası bilinen doğrunun eğimi ise ordinatlar farkının apsisler farkına oranıyla bulunur.
Soru 36Soru →

Analitik düzlemde, köşeleri A(1,2)A(1, 2) ve B(5,−1)B(5, -1) olan bir ABCABC üçgeninin CC köşesi y=3y = 3 doğrusu üzerindedir. ABCABC üçgeninin alanı 1010 birimkare olduğuna göre, CC noktasının apsisi aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −7-7

Cevap

−7-7
Üçgenin alanı 1010 birimkare ve taban uzunluğu ∣AB∣=5|AB| = 5 birim olduğundan, CC köşesinin ABAB doğrusuna olan dik uzaklığı 44 birim olmalıdır. ABAB doğrusunun denklemi 3x+4y−11=03x + 4y - 11 = 0 olarak bulunur. C(k,3)C(k, 3) noktasının bu doğruya olan dik uzaklığı formülü uygulandığında ∣3k+1∣=20|3k+1| = 20 eşitliğine ulaşılır. Buradan 3k+1=−203k+1 = -20 durumu incelendiğinde k=−7k = -7 apsis değeri elde edilir. Bu değer seçeneklerde yer alan doğru yanıttır.

Adım Adım Çözüm

1
A(1,2)A(1, 2) ve B(5,−1)B(5, -1) noktalarından geçen ABAB doğrunun denklemini ve [AB][AB] kenarının uzunluğunu bulun.
Eğim m=−1−25−1=−34m = \frac{-1 - 2}{5 - 1} = -\frac{3}{4} olup doğru denklemi 3x+4y−11=03x + 4y - 11 = 0 ve taban uzunluğu ∣AB∣=(5−1)2+(−1−2)2=5|AB| = \sqrt{(5-1)^2 + (-1-2)^2} = 5 birim olarak elde edilir.
Üçgenin alanından faydalanarak CC köşesinin bu tabana ait yüksekliğini bulmak amacıyla taban uzunluğuna ve doğrunun genel denklemine ihtiyaç duyulur.
2
Üçgenin alan formülünü kullanarak CC noktasının ABAB doğrusuna olan dik uzaklığını (hh) hesaplayın.
Alan(ABC)=∣AB∣⋅h2⇒10=5⋅h2⇒h=4\text{Alan}(ABC) = \frac{|AB| \cdot h}{2} \Rightarrow 10 = \frac{5 \cdot h}{2} \Rightarrow h = 4 birim bulunur.
Alanı ve taban uzunluğu bilinen üçgende yüksekliği belirlemek için temel alan formülü uygulanır.
3
CC noktasının koordinatlarını C(k,3)C(k, 3) olarak belirleyip noktanın doğruya uzaklığı formülünü uygulayın.
4=∣3(k)+4(3)−11∣32+42⇒4=∣3k+1∣5⇒∣3k+1∣=204 = \frac{|3(k) + 4(3) - 11|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \Rightarrow 4 = \frac{|3k + 1|}{5} \Rightarrow |3k + 1| = 20 elde edilir.
CC noktası y=3y=3 doğrusu üzerinde olduğundan koordinatları C(k,3)C(k, 3) şeklindedir. Noktanın doğruya olan dik uzaklığı formülü yardımıyla kk değişkenine bağlı mutlak değerli bir eşitlik oluşturulur.
4
Elde edilen mutlak değerli denklemi çözerek olası kk değerlerini hesaplayın.
3k+1=20⇒k=1933k + 1 = 20 \Rightarrow k = \frac{19}{3} veya 3k+1=−20⇒k=−73k + 1 = -20 \Rightarrow k = -7 bulunur.
Mutlak değer içerisindeki ifade hem pozitif hem de negatif değerlere eşitlenerek olası tüm apsis değerleri tespit edilir.

Anahtar Kavram

Bir noktanın bir doğruya olan en kısa (dik) uzaklığı, noktanın koordinatlarının doğrunun genel denkleminde (ax+by+c=0ax+by+c=0) yerine yazılıp mutlak değerinin alınması ve doğrunun katsayılarının kareleri toplamının kareköküne bölünmesiyle bulunur.
Soru 37Soru →
Analitik düzlemde, iki paralel caddenin kenarları sırasıyla
3x−4y+12=03x - 4y + 12 = 0
6x−8y−16=06x - 8y - 16 = 0
doğruları ile modellenmiştir.

Bu iki cadde arasına, her iki caddeye de teğet olacak şekilde inşa edilebilecek en büyük dairesel kavşağın yarıçapı kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Dairesel kavşağın yarıçapı 2 birimdir.
İki paralel cadde kenarı arasındaki en kısa uzaklık, bu caddelere teğet olacak dairesel kavşağın çapını verir. Doğruların xx ve yy katsayıları eşitlendiğinde denklemler 6x−8y+24=06x - 8y + 24 = 0 ve 6x−8y−16=06x - 8y - 16 = 0 olur. Bu iki paralel doğru arasındaki uzaklık d=∣24−(−16)∣62+(−8)2=4d = \frac{|24 - (-16)|}{\sqrt{6^2 + (-8)^2}} = 4 birimdir. Dairenin çapı 4 birim olduğundan yarıçapı 2 birim bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci doğrunun denklemini 2 ile genişletmek
6x−8y+24=06x - 8y + 24 = 0
Paralel doğrular arası uzaklık formülünü uygulayabilmek için her iki denklemdeki xx ve yy katsayılarının aynı olması gerekir.
2
İki paralel doğru arasındaki uzaklık formülün�� uygulamak
d=∣24−(−16)∣62+(−8)2=4010=4d = \frac{|24 - (-16)|}{\sqrt{6^2 + (-8)^2}} = \frac{40}{10} = 4 birim
Bu iki doğruya teğet olan en büy��k dairenin çapı, doğrular arasındaki en kısa uzaklığa (dd) eşittir.
3
Çapı ikiye bölerek yarıçapı bulmak
r=d2=42=2r = \frac{d}{2} = \frac{4}{2} = 2 birim
Dairenin yarıçapı, çapının yarısına eşittir.

Anahtar Kavram

Paralel doğrular arasındaki uzaklık formülünün geometrik modellemelerde kullanılması

İpuçları

1
İki paralel doğru arasındaki uzaklığı bulmak için öncelikle iki doğrunun denklemindeki xx ve yy katsayılarını eşitlemelisiniz.
2
Katsayıları eşitledikten sonra d=∣C1−C2∣A2+B2d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} formülüyle doğrular arasındaki mesafeyi (kavşağın çapını) bulun.
3
Kavşağın çapını 4 birim bulduktan sonra, soruda sizden çap değil yarıçap (rr) istendiğini unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, iki paralel doğru arasına çizilebilecek en büyük karenin alanını bulmaya yönelik soruları çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Birinci doğru üzerinde keyfi bir nokta seçilebilir. Örneğin 3x−4y+12=03x - 4y + 12 = 0 doğrusu üzerinde x=0x = 0 için y=3y = 3 noktası ((0,3)(0, 3)) bulunur. Bu noktanın 6x−8y−16=06x - 8y - 16 = 0 doğrusuna olan uzaklığı noktanın doğruya uzaklığı formülüyle hesaplanarak caddeler arası mesafe (çap) yine 4 birim olarak elde edilir. Buradan yarıçap 2 birim bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 38Soru →

Dik koordinat düzleminde, A(a,0)A(a, 0) noktası xx-ekseni üzerinde, B(0,b)B(0, b) noktası ise yy-ekseni üzerindedir. a<0<ba < 0 < b olmak üzere, AA ve BB noktaları arasındaki uzaklık 1010 birimdir. [AB][AB] doğru parçasının orta noktası koordinat düzleminin II. bölgesinde yer almaktadır. Bu orta noktanın koordinatları çarpımı −12-12 olduğuna göre, a−ba - b farkı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −14-14

Cevap

İstenen farkın değeri −14-14 olur.
İki nokta arasındaki uzaklık formülünden a2+b2=100a^2 + b^2 = 100 ve orta nokta koordinatlarının çarpımından a⋅b=−48a \cdot b = -48 elde edilir. Bu iki eşitlik tam kare özdeşliği olan (a−b)2=a2+b2−2ab(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab formülünde yerine yazıldığında (a−b)2=196(a-b)^2 = 196 bulunur. a<0<ba < 0 < b koşulundan dolayı a−ba - b farkı negatif olmak zorundadır. Dolayısıyla doğru cevap −14-14 olur.

Adım Adım Çözüm

1
A(a,0)A(a, 0) ve B(0,b)B(0, b) noktaları arasındaki uzaklığı veren denklemi yazıp düzenlemek.
a2+b2=100a^2 + b^2 = 100
İki nokta arasındaki uzaklık formülü d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} şeklindedir. Burada d=10d = 10 olduğundan 10=(a−0)2+(0−b)2  ⟹  a2+b2=10010 = \sqrt{(a-0)^2 + (0-b)^2} \implies a^2 + b^2 = 100 elde edilir.
2
[AB][AB] doğru parçasının orta noktasının koordinatlarını bulmak ve koordinatlar çarpımı eşitliğini kullanmak.
a⋅b=−48a \cdot b = -48
A(a,0)A(a, 0) ve B(0,b)B(0, b) noktalarının orta noktası C(a+02,0+b2)=C(a2,b2)C\left(\frac{a+0}{2}, \frac{0+b}{2}\right) = C\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right) olur. Bu noktanın koordinatları çarpımı −12-12 olarak verildiğinden, a2⋅b2=−12  ⟹  a⋅b4=−12  ⟹  a⋅b=−48\frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2} = -12 \implies \frac{a \cdot b}{4} = -12 \implies a \cdot b = -48 bulunur.
3
a2+b2=100a^2 + b^2 = 100 ve a⋅b=−48a \cdot b = -48 denklemlerini tam kare özdeşliğinde yerine yazarak a−ba - b değerini belirlemek.
a−b=−14a - b = -14
İki terimin farkının karesi özdeşliğinden, (a−b)2=a2+b2−2ab(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab yazılır. Değerler yerine konulduğunda, (a−b)2=100−2(−48)=100+96=196(a - b)^2 = 100 - 2(-48) = 100 + 96 = 196 olur. Buradan a−b=14a - b = 14 veya a−b=−14a - b = -14 elde edilir. Soruda a<0<ba < 0 < b verildiğinden, küçük sayıdan büyük sayı çıkarıldığında sonuç negatif olmalıdır. Bu nedenle a−b=−14a - b = -14 olur.

Anahtar Kavram

İki nokta arasındaki uzaklık, orta nokta koordinatları ve tam kare özdeşlikleri yardımıyla bilinmeyenlerin bulunması.

Alternatif Yöntem

Orta noktanın koordinatları C(x0,y0)C(x_0, y_0) olsun. x0=a/2x_0 = a/2 ve y0=b/2y_0 = b/2 olduğundan a=2x0a = 2x_0 ve b=2y0b = 2y_0 yazılabilir. a2+b2=100a^2 + b^2 = 100 denkleminde yerine yazıldığında (2x0)2+(2y0)2=100  ⟹  4(x02+y02)=100  ⟹  x02+y02=25(2x_0)^2 + (2y_0)^2 = 100 \implies 4(x_0^2 + y_0^2) = 100 \implies x_0^2 + y_0^2 = 25 bulunur. Koordinatlar çarpımı x0⋅y0=−12x_0 \cdot y_0 = -12 olduğundan, (x0−y0)2=x02+y02−2x0y0=25−2(−12)=49(x_0 - y_0)^2 = x_0^2 + y_0^2 - 2x_0y_0 = 25 - 2(-12) = 49 olur. Buradan x0−y0=−7x_0 - y_0 = -7 (çünkü x0<0<y0x_0 < 0 < y_0) bulunur. a−b=2(x0−y0)=2(−7)=−14a - b = 2(x_0 - y_0) = 2(-7) = -14 elde edilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 39Soru →
Analitik düzlemde,
d1:y=2x+4d_1: y = 2x + 4
d2:x+y−1=0d_2: x + y - 1 = 0
d3:ax−2y+8=0d_3: ax - 2y + 8 = 0
doğruları aynı noktada kesiştiğine göre, aa kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Doğruların ortak kesişim noktası kullanılarak elde edilen 4 değeri
Üç doğrunun aynı noktada kesişmesi, bu doğruların tek bir ortak noktaya sahip olduğu anlamına gelir. İlk iki doğrunun ortak çözümüyle kesişim noktası P(−1,2)P(-1, 2) olarak belirlenir. Bu noktanın koordinatları üçüncü doğrunun denklemini de sağlamak zorunda olduğundan, denklemde xx yerine −1-1 ve yy yerine 22 yazıldığında a=4a = 4 değeri bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kesişim noktasını bulmak için birinci ve ikinci doğrunun denklemlerini ortak çözelim.
d1d_1 denklemindeki y=2x+4y = 2x + 4 ifadesini d2d_2 denkleminde yerine yazarsak x+(2x+4)−1=0x + (2x + 4) - 1 = 0 elde ederiz.
Ortak kesişim noktasının koordinatları her iki doğrunun da denklemini sağlamalıdır.
2
Elde edilen tek bilinmeyenli denklemi çözerek kesişim noktasının apsis (xx) değerini bulalım.
3x+3=0⇒3x=−3⇒x=−13x + 3 = 0 \Rightarrow 3x = -3 \Rightarrow x = -1 bulunur.
Kesişim noktasının yatay eksendeki koordinatını belirlemek için.
3
Bulunan x=−1x = -1 değerini birinci doğrunun denkleminde yerine yazarak ordinat (yy) değerini bulalım.
y=2(−1)+4=2y = 2(-1) + 4 = 2 bulunur. Böylece ortak kesişim noktası P(−1,2)P(-1, 2) olarak elde edilir.
Kesişim noktasının dikey eksendeki koordinatını belirlemek için.
4
P(−1,2)P(-1, 2) noktasının koordinatlarını üçüncü doğrunun denkleminde yerine yazarak bilinmeyen katsayıyı bulalım.
a(−1)−2(2)+8=0⇒−a−4+8=0⇒−a+4=0⇒a=4a(-1) - 2(2) + 8 = 0 \Rightarrow -a - 4 + 8 = 0 \Rightarrow -a + 4 = 0 \Rightarrow a = 4 elde edilir.
Üç doğrunun aynı noktada kesişmesi için üçüncü doğrunun da bu ortak noktadan geçmesi gerekir.

Anahtar Kavram

İki doğrunun kesişim noktasının koordinatları, doğruların denklemlerinin ortak çözümü ile bulunur. Üç doğrunun aynı noktada kesişmesi durumunda, bu nokta üç denklemi de sağlamalıdır.

Alternatif Yöntem

Kesişim noktasını bulmak için yok etme metodu da tercih edilebilir. İkinci denklem olan x+y−1=0x + y - 1 = 0 ifadesi 22 ile çarpılıp 2x+2y−2=02x + 2y - 2 = 0 elde edilir. Bu denklem ile birinci doğrunun y−2x−4=0y - 2x - 4 = 0 biçimindeki düzenlenmiş hali taraf tarafa toplanarak xx değişkeni yok edilir ve 3y−6=0⇒y=23y - 6 = 0 \Rightarrow y = 2 değerine daha hızlı ulaşılabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 40Soru →

Dik koordinat düzleminde, A(k,3)A(k, 3) ve B(2,−1)B(2, -1) noktaları arasındaki uzaklık, AA noktasının yy-eksenine olan uzaklığının 22 katına eşittir. Buna göre, kk gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −43-\frac{4}{3}

Cevap

k gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı −43-\frac{4}{3}'tür.
Doğru cevap −43-\frac{4}{3} değeridir. A(k,3)A(k, 3) noktasının yy-eksenine olan uzaklığı ∣k∣|k| birimdir. A(k,3)A(k, 3) ile B(2,−1)B(2, -1) noktaları arasındaki uzaklık ise (k−2)2+16\sqrt{(k-2)^2 + 16} birimdir. Verilen koşula göre (k−2)2+16=2∣k∣\sqrt{(k-2)^2 + 16} = 2|k| eşitliği yazılır. Eşitliğin her iki tarafının karesi alındığında 3k2+4k−20=03k^2 + 4k - 20 = 0 denklemine ulaşılır. Bu denklemin kökler toplamı formülü (−ba-\frac{b}{a}) uygulandığında kk değerlerinin toplamı −43-\frac{4}{3} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
A noktasın��n y-eksenine olan uzaklığını ifade etme.
A(k,3)A(k, 3) noktasının yy-eksenine olan uzaklığı, apsisinin mutlak değerine eşittir: ∣k∣|k| birimdir.
Bir noktanın y-eksenine olan uzaklığı, o noktanın x koordinatının mutlak değeridir.
2
A ve B noktaları arasındaki uzaklığı formülize etme.
∣AB∣=(k−2)2+(3−(−1))2=(k−2)2+16|AB| = \sqrt{(k - 2)^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{(k - 2)^2 + 16} birimdir.
İki nokta arasındaki uzaklık formülü d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} bağıntısı ile hesaplanır.
3
Verilen koşula göre denklem kurma ve çözme.
(k−2)2+16=2∣k∣\sqrt{(k - 2)^2 + 16} = 2|k| denklemi kurulur. Her iki tarafın karesi alındığında; (k−2)2+16=4k2  ⟹  k2−4k+20=4k2  ⟹  3k2+4k−20=0(k - 2)^2 + 16 = 4k^2 \implies k^2 - 4k + 20 = 4k^2 \implies 3k^2 + 4k - 20 = 0 ikinci derece denklemi elde edilir.
Uzaklığın, y-eksenine olan uzaklığın 2 katına eşit olduğu bilgisi kullanılmıştır.
4
İkinci derece denklemin kökler toplamını bulma.
3k2+4k−20=03k^2 + 4k - 20 = 0 denkleminin kökler toplamı −ba=−43-\frac{b}{a} = -\frac{4}{3} olarak hesaplanır. Çarpanlara ayırma yöntemiyle de kökler k1=−103k_1 = -\frac{10}{3} ve k2=2k_2 = 2 olarak bulunur ve toplamları −103+2=−43-\frac{10}{3} + 2 = -\frac{4}{3} elde edilir.
Soruda k sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Analitik düzlemde bir noktanın eksenlere olan uzaklığı ve iki nokta arasındaki uzaklık formülü.
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 2 / 3Sonraki
Analitik Geometri Alıştırma Soruları — ALES — Sayfa 2 | Examkin