Yamukta Alan Alıştırma Soruları — ALES

Soru 1Soru →

Bir $ABCD$ yamuğunda üst taban $[DC]$ , alt taban $[AB]$ ve $[AB] \parallel [DC]$ 'dir. Yamuğun kenar uzunlukları $|AB| = 20\text{ cm}$ , $|DC| = 6\text{ cm}$ , $|AD| = 13\text{ cm}$ ve $|BC| = 15\text{ cm}$ olduğuna göre, $ABCD$ yamuğunun alanı kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

104

120

156

182

312

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 156

Cevap

Yamuğun alanı

156\text{ cm}^2

'dir.

Yamuğun yüksekliğini bulmak için çizilen paralel doğru ile elde edilen

13

,

14

,

15

kenar uzunluklarına sahip üçgenin yüksekliği

12\text{ cm}

olarak hesaplanır. Yamuğun alanı alt ve üst taban toplamının yarısı ile yüksekliğin çarpımı olduğundan alan

\frac{20+6}{2} \times 12 = 156\text{ cm}^2

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

D

köşesinden

BC

kenarına paralel olacak şekilde bir

[DE]

doğru parçası çizilir (

E

noktası

[AB]

üzerindedir).

DEBC

bir paralelkenar olur. Buradan

|DE| = |BC| = 15\text{ cm}

ve

|EB| = |DC| = 6\text{ cm}

elde edilir.

[AB]

kenarı üzerinde

|AE| = |AB| - |EB| = 20 - 6 = 14\text{ cm}

kalır.

Yamuğun yüksekliğini bulmak amacıyla kenar uzunlukları bilinen bir üçgen oluşturmak.

2

ADE

üçgeninde

D

köşesinden

[AE]

tabanına bir

[DH]

yüksekliği indirilir.

|AH| = x

ve

|HE| = 14 - x

olarak belirlenir.

ADH

ve

EDH

dik üçgenlerinde Pisagor bağıntısı uygulanarak

13^2 - x^2 = 15^2 - (14-x)^2

denklemi kurulur. Bu denklem çözüldüğünde

28x = 140 \implies x = 5\text{ cm}

bulunur. Yükseklik ise

h = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12\text{ cm}

olarak hesaplanır.

Yamuğun yüksekliğini dik üçgen bağıntılarını kullanarak hesaplamak.

3

Bulunan yükseklik (

h = 12\text{ cm}

) ve taban uzunlukları (

|AB| = 20\text{ cm}

,

|DC| = 6\text{ cm}

) yamuğun alan formülünde yerine yazılır.

\text{Alan}(ABCD) = \frac{|AB| + |DC|}{2} \times h = \frac{20 + 6}{2} \times 12 = 13 \times 12 = 156\text{ cm}^2

bulunur.

Yamuğun alanını hesaplama formülünü uygulamak.

Anahtar Kavram

Yamukta alan hesabı yapmak için paralel çizerek üçgen oluşturma ve Pisagor bağıntısı yardımıyla yükseklik bulma.

Soru 2Soru →

Bir $ABCD$ yamuğunda $[AB] \parallel [CD]$ 'dir. Yamuğun kenar uzunlukları $|AB| = 20\text{ cm}$ , $|CD| = 5\text{ cm}$ , $|AD| = 12\text{ cm}$ ve $|BC| = 9\text{ cm}$ olarak verilmiştir. Buna göre, $ABCD$ yamuğunun alanı kaç santimetrekaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 90

Cevap

Yamuğun alanı 90 santimetrekaredir.

Yamuğun C köşesinden AD yan kenarına çizilen paralel doğru parçası ile bir paralelkenar ve kenar uzunlukları 9, 12, 15 cm olan bir dik üçgen elde edilir. Bu dik üçgenin alan eşitliğinden yamuğun yüksekliği 7,2 cm olarak hesaplanır. Alt ve üst tabanların toplamının yarısı ile yüksekliğin çarpımı sonucu alan 90 santimetrekare olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

C köşesinden [AD] yan kenarına paralel olacak şekilde [CE] doğru parçası çizilir (E noktası [AB] tabanı üzerindedir).

AECD bir paralelkenar olur ve

|AE| = |CD| = 5\text{ cm}

,

|CE| = |AD| = 12\text{ cm}

elde edilir. Taban üzerindeki

|EB|

uzunluğu ise

|AB| - |AE| = 20 - 5 = 15\text{ cm}

olarak bulunur.

Yamuğun yüksekliğini bulmak amacıyla şekri paralelkenar ve üçgene bölmek.

2

Oluşan CEB üçgeninin kenar uzunlukları (

|CE| = 12\text{ cm}

,

|BC| = 9\text{ cm}

,

|EB| = 15\text{ cm}

) kontrol edilir.

9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2

bağıntısı sağlandığı için CEB üçgeninin dik a��ılı bir üçgen olduğu ve dik açının C köşesinde (

m(\widehat{ECB}) = 90^\circ

) yer aldığı tespit edilir.

Dik üçgenin alan bağıntısını kullanarak yüksekliğe geçiş yapabilmek.

3

CEB üçgeninin [EB] hipotenüsüne ait yüksekliği (

h

) dik kenarların çarpımı yardımıyla hesaplanır.

\text{Alan}(CEB) = \frac{9 \times 12}{2} = 54\text{ cm}^2

olup aynı zamanda

\text{Alan}(CEB) = \frac{15 \times h}{2}

eşitliğinden

15 \times h = 108 \implies h = 7,2\text{ cm}

bulunur. Bu yükseklik aynı zamanda yamuğun yüksekliğidir.

Yamuğun alanını hesaplamak için gerekli olan yükseklik değerini elde etmek.

4

Yamuğun alan formülü olan

\text{Alan} = \frac{\text{Alt Taban} + \text{Üst Taban}}{2} \times \text{Yükseklik}

bağıntısı uygulanır.

\text{Alan}(ABCD) = \frac{20 + 5}{2} \times 7,2 = 12,5 \times 7,2 = 90\text{ cm}^2

olarak bulunur.

Elde edilen taban ve yükseklik değerleriyle yamuğun toplam alanını hesaplamak.

Anahtar Kavram

Tüm kenar uzunlukları verilen bir yamukta, köşeden paralel çizilerek dik üçgen oluşturulması ve bu dik üçgenin alanı yardımıyla yamuğun yüksekliğinin bulunması.

Soru 3Soru →

Şekildeki $ABCD$ yamuğunda $[AB] \parallel [DC]$ 'dir. Yamuğun köşegenleri olan $[AC]$ ve $[BD]$ doğru parçaları $E$ noktasında kesişmektedir. $DEC$ üçgeninin alanı $9\text{ cm}^2$ olarak verilmiştir. $E$ noktasının $[AB]$ tabanına olan en kısa uzaklığı, $[DC]$ tabanına olan en kısa uzaklığının 3 katıdır. Buna göre, $ABCD$ yamuğunun alanı kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

16

90

108

144

288

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 144

Cevap

Yamuğun toplam alanı 144 cm²'dir.

Köşegenlerin kesişmesiyle oluşan benzer üçgenlerin benzerlik oranı yükseklikler oranından 3 olarak bulunur. Benzer üçgenlerin alan oranı benzerlik oranının karesi (9) olduğundan alt taban üçgeninin alanı 81 cm² olur. Yan üçgenlerin alanları ise alt ve üst taban üçgenlerinin alanlarının geometrik ortalaması olan 27 cm² olarak bulunur. Yamuğun tüm alanlarının toplamı 9 + 81 + 27 + 27 = 144 cm² sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Köşegenlerin oluşturduğu benzer üçgenlerin benzerlik oranını belirlemek.

[AB] \parallel [CD]

olduğundan

\triangle CDE \sim \triangle ABE

benzerliği kurulur.

E

noktasının tabanlara uzaklıkları oranı benzerlik oranını vereceğinden benzerlik oranı

\frac{h_2}{h_1} = 3

olarak bulunur.

Paralel doğrular arasında kalan köşegenlerin oluşturduğu üçgenler benzerdir ve benzerlik oranı yüksekliklerin oranına eşittir.

2

Benzerlik oranını kullanarak tabandaki ABE üçgeninin alanını hesaplamak.

\text{Alan}(ABE) = 3^2 \times \text{Alan}(DEC) = 9 \times 9 = 81\text{ cm}^2

bulunur.

Benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

3

Yanlarda kalan AED ve BEC üçgenlerinin alanlarını hesaplamak.

\text{Alan}(AED) = \text{Alan}(BEC) = \sqrt{\text{Alan}(DEC) \times \text{Alan}(ABE)} = \sqrt{9 \times 81} = 27\text{ cm}^2

bulunur.

Yamukta köşegenlerin ayırdığı yan üçgenlerin alanları birbirine eşittir ve bu alanların karesi taban üçgenlerinin alanlarının çarpımına eşittir.

4

Tüm üçgenlerin alanlarını toplayarak yamuğun alanını bulmak.

\text{Alan}(ABCD) = 9 + 81 + 27 + 27 = 144\text{ cm}^2

bulunur.

Yamuğun toplam alanı, köşegenlerin sınırladığı dört alt üçgenin alanlarının toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Yamukta köşegenlerin oluşturduğu benzer üçgenlerin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir. Ayrıca yanlarda kalan üçgenlerin alanları birbirine eşit olup taban alanlarının geometrik ortalamasıdır.

İpuçları

1

Köşegenlerin kesişimiyle oluşan DEC ve ABE üçgenlerinin benzer olduğunu fark edin.

2

Benzer üçgenlerde alanlar oranının benzerlik oranının karesine eşit olduğunu hatırlayarak ABE üçgeninin alanını bulun.

3

Yamukta yanlarda kalan AED ve BEC üçgenlerinin alanlarının eşit olduğunu ve Alan(AED)² = Alan(DEC) × Alan(ABE) bağıntısını sağladığını kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla köşegenlerin ayırdığı yan üçgenlerin alanları bilinen bir yamukta tabanların uzunlukları oranını bulmaya yönelik sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

DEC üçgeninin alanını taban (a) ve yükseklik (h₁) cinsinden a × h₁ / 2 = 9 yazarak a × h₁ = 18 olarak bulabiliriz. Benzerlik oranından dolayı alt taban 3a ve yamuğun toplam yüksekliği 4h₁ olur. Yamuğun alan formülü olan [(a + 3a) / 2] × 4h₁ = 8 × (a × h₁) / 2 = 8 × 18 = 144 cm² formülünden doğrudan sonuca ulaşabiliriz.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 4Soru →

Tabanları sırasıyla $[AB]$ ve $[CD]$ olan bir $ABCD$ ikizkenar yamuğunda, $[AB] \parallel [CD]$ ve yan kenar uzunlukları $|AD| = |BC| = 10\text{ cm}$ olarak verilmiştir. Bu yamukta üst taban uzunluğu $|CD| = 5\text{ cm}$ ve alt taban uzunluğu $|AB| = 17\text{ cm}$ olduğuna göre, yamuğun alanı kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

44

66

88

132

176

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 88

Cevap

Yamuğun alanı 88 santimetrekaredir.

Yamuğun alanı, alt ve üst taban uzunluklarının toplamı ile yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir. Bu soruda yükseklik Pisagor bağıntısı yardımıyla 8 cm olarak hesaplanmış, ardından taban toplamları olan 22 cm ile çarpılıp ikiye bölünerek 88 cm² olarak bulunmuştur.

Adım Adım Çözüm

1

İkizkenar yamuğun üst köşelerinden alt tabana dikmeler indirerek dik üçgenler oluşturun.

Alt taban üzerinde oluşan parçaların uzunlukları

AH = KB = \frac{17 - 5}{2} = 6\text{ cm}

ve

HK = 5\text{ cm}

olur.

İkizkenar yamukta yüksekliklerin tabanda ayırdığı yan parçaların uzunlukları birbirine eşittir.

2

Oluşan dik üçgenlerden birinde Pisagor bağıntısını uygulayarak yamuğun yüksekliğini bulun.

Yükseklik

h = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8\text{ cm}

olarak bulunur.

Yamuğun alanını hesaplayabilmek için dik yüksekliğin bilinmesi gerekir.

3

Yamuğun alan formülünü uygulayarak alanı hesaplayın.

Alan

= \frac{(17 + 5) \cdot 8}{2} = 88\text{ cm}^2

olarak hesaplanır.

Yamuğun alanı, alt ve üst taban uzunlukları toplamının yarısı ile yüksekliğin çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Yamukta Alan

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 5Soru →

Bir $ABCD$ yamuğunda $[AB] \parallel [CD]$ 'dir. Yamuğun $[AD]$ kenarı üzerinde bir $E$ noktası ve $[BC]$ kenarı üzerinde bir $F$ noktası alınarak tabanlara paralel bir $[EF]$ doğru parçası çiziliyor. $|CD| = 2\text{ cm}$ , $|AB| = 8\text{ cm}$ ve $|EF| = 7\text{ cm}$ 'dir. $EFCD$ yamuğunun yüksekliği, $ABFE$ yamuğunun yüksekliğinden $8\text{ cm}$ daha fazla olduğuna göre, $ABCD$ yamuğunun alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Yamuğun alanı 60 cm² dir.

Yamuğun yan kenarları uzatıldığında elde edilen benzerlikten, tabanlara paralel

[EF]

segmentinin yamuğun yüksekliklerini

\frac{h_1}{h_2} = \frac{|EF| - |CD|}{|AB| - |EF|}

oranında böldüğü görülür. Buradan yükseklikler oranı

5

bulunur. Yükseklikler farkı

8\text{ cm}

olduğundan, küçük yamuğun yüksekliği

2\text{ cm}

, büyük yamuğun yüksekliği

10\text{ cm}

ve toplam yükseklik

12\text{ cm}

olarak bulunur. Alan formülü uygulandığında alan

60\text{ cm}^2

çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Tabanlara paralel çizilen

[EF]

doğrusu ile oluşan alt ve üst yamukların yükseklikleri arasındaki oranı bulmak için benzerlik kuralını uygulayalım.

h_1 = 5h_2

oranı elde edilir.

Yamuğun paralel olmayan yan kenarları uzatıldığında elde edilen benzer üçgenlerin yükseklik oranları, taban farklarının oranına eşittir:

\frac{h_1}{h_2} = \frac{|EF| - |CD|}{|AB| - |EF|} = \frac{7 - 2}{8 - 7} = 5

.

2

Yükseklikler arasındaki farkı kullanarak her bir yamuğun yüksekliğini hesaplayalım.

h_2 = 2\text{ cm}

ve

h_1 = 10\text{ cm}

bulunur.

Soruda

EFCD

yamuğunun yüksekliğinin

ABFE

yamuğunun yüksekliğinden

8\text{ cm}

fazla olduğu verilmiştir (

h_1 - h_2 = 8

). Bulduğumuz

h_1 = 5h_2

eşitliği yerine yazılırsa,

5h_2 - h_2 = 8 \Rightarrow 4h_2 = 8 \Rightarrow h_2 = 2\text{ cm}

olur.

3

Yamuğun toplam yüksekliğini bulalım.

h = 12\text{ cm}

Yamuğun toplam yüksekliği, iki alt yamuğun yüksekliklerinin toplamına eşittir:

h = h_1 + h_2 = 10 + 2 = 12\text{ cm}

.

4

Hesaplanan toplam yükseklik ve taban uzunlukları ile

ABCD

yamuğunun alanını bulalım.

\text{Alan} = 60\text{ cm}^2

Yamuğun alan formülü

\text{Alan} = \frac{\text{Alt Taban} + \text{Üst Taban}}{2} \cdot h

şeklindedir. Değerleri yerine koyduğumuzda

\text{Alan} = \frac{8 + 2}{2} \cdot 12 = 5 \cdot 12 = 60\text{ cm}^2

bulunur.

Anahtar Kavram

Yamukta tabanlara paralel çizilen bir doğrunun yüksekliği bölme oranı ve yamukta alan formülü.

Yamukta Alan

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar