Pozitif tam sayılar kümesi \mathbb{Z}^+ üzerinde tanımlı K kümesi, ortak özellik yöntemiyl… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Pozitif tam sayılar kümesi $\mathbb{Z}^+$ üzerinde tanımlı $K$ kümesi, ortak özellik yöntemiyle aşağıdaki gibi ifade edilmiştir:

K = \{ x \in \mathbb{Z}^+ \mid x \le 150 \text{ ve } \text{EBOB}(x, 36) = 9 \}

Buna göre, $K$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

A
6
8Cevap
C
10
D
12
E
16

Cevap

K kümesinin eleman sayısı 8'dir.

Doğru cevap, EBOB(x, 36) = 9 şartının matematiksel analizine dayanır.

x = 9k

dönüşümü yapıldığında şart

EBOB(k, 4) = 1

haline gelir. Bu da

k

'nın 4 ile aralarında asal olmasını, yani

k

'nın tek sayı olmasını gerektirir. 150 sınırına kadar olan 9'un katları içinde (

k \le 16

) sadece tek olan

k

değerleri (1, 3, ..., 15) çözümü sağlar. Bu da toplam 8 eleman demektir.

Adım Adım Çözüm

Küme tanımındaki EBOB şartını analiz et.

EBOB(x, 36) = 9 olması için, x sayısı 9'un katı olmalıdır (x = 9k).

İki sayının en büyük ortak böleni 9 ise, her iki sayı da 9'a bölünmelidir.

EBOB şartını x = 9k dönüşümüyle basitleştir.

EBOB(9k, 36) = 9 ifadesi, 9 · EBOB(k, 4) = 9 şekline dönüşür. Buradan EBOB(k, 4) = 1 olmalıdır.

EBOB özelliğine göre sabit çarpan dışarı alınabilir.

k sayısı için gerekli şartı belirle.

EBOB(k, 4) = 1 olması için k ile 4 aralarında asal olmalıdır. 4 sayısı sadece 2 asal çarpanına sahip olduğundan (

2^2

), k sayısı 2'ye bölünmemelidir (yani k tek sayı olmalıdır).

Aralarında asallık şartı, ortak asal çarpan olmamasını gerektirir.

x ≤ 150 şartına göre k'nın alabileceği maksimum değeri bul.

9k ≤ 150 işleminden k ≤ 16,6... bulunur. k tam sayı olduğu için en çok 16 olabilir.

Elemanların üst sınır şartını sağlaması gerekir.

1 ile 16 arasındaki uygun k değerlerini say.

k sayısı 16'ya kadar olan tek sayılar olmalıdır: {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}. Toplam 8 değer vardır.

k'nın tek sayı olması gerektiğini 3. adımda belirlemiştik.

Anahtar Kavram

Bir kümenin ortak özellik yöntemiyle tanımlanması ve EBOB özellikleri kullanılarak elemanların filtrelenmesi.

İpuçları

EBOB(x, 36) = 9 eşitliği, x sayısının 9'un bir katı olduğunu (

x=9k

) ancak 36 ile 9'dan daha büyük bir ortak böleni olmadığını anlatır.

x yerine 9k yazarak EBOB(9k, 36) ifadesini sadeleştirin. EBOB özelliğini kullanarak 9 parantezine alabilirsiniz.

9 · EBOB(k, 4) = 9 sonucuna ulaşmalısınız. Bu, k ile 4'ün aralarında asal olması demektir. 4 sadece 2 asal çarpanına sahip olduğuna göre k nasıl bir sayı olmalıdır?

Daha Fazla Pratik

Benzer mantığı EBOB(x, 60) = 15 şartı ile deneyin (Burada x hem 3'e hem 5'e bölünecek ama 2'ye bölünmeyecek).

Alternatif Yöntem

Tüm adayları listeleyip eleme yöntemi: 150'ye kadar 9'un katlarını yazın (9, 18, 27, 36, ...). Her biri için 36 ile EBOB hesaplayın. Örneğin EBOB(18, 36)=18 (Olmaz), EBOB(27, 36)=9 (Olur). Bu şekilde çift katların elendiğini görebilirsiniz.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Konular

Bu konudan daha fazla soru