Examkin

Soru

Zorluk: ZorArdışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

Sayfa numaraları 11'den başlayarak nn'ye kadar ardışık tam sayılarla belirlenmiş bir not defterinden, ardışık iki sayfa numarasını içeren tek bir yaprak koparılıyor. Koparılan bu yaprak dışındaki tüm sayfaların numaraları toplamı 325325 olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, koparılan yaprakta bulunan sayfa numaralarının çarpımı kaçtır?

  1. 702Cevap
  2. B
    650
  3. C
    600
  4. D
    552
  5. E
    506

Cevap

Koparılan yaprakta bulunan sayfa numaralarının çarpımı 702'dir.
Ardışık sayıların toplamı n(n+1)/2n(n+1)/2 formülü ile bulunur. Kopan yapraktaki sayfalar ardışık (x,x+1x, x+1) olduğundan, toplamları (2x+12x+1) tek sayı olmalıdır. Kalan toplam 325325 olduğuna göre, tam toplamın 325325'ten büyük ve farkın tek sayı olduğu en küçük nn değeri denenmelidir. n=27n=27 için toplam 378378 olur ve fark 5353'tür (2x+1=53⇒x=262x+1=53 \Rightarrow x=26). Sayfalar 2626 ve 2727 olup çarpımları 702702'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam sayfa sayısını (n) tahmin etmek için sınırları belirle
n yaklaşık 26 veya 27 olmalıdır.
Kalan toplam 325 olduğuna göre, tam toplam n(n+1)/2 bu değerden biraz büyük olmalıdır. n=26 için 351, n=27 için 378'dir.
2
n=26 durumu için kopan sayfaların toplamını kontrol et
Fark = 351 - 325 = 26. Bu imkansızdır.
Kopan iki ardışık sayfa x ve x+1 ise toplamları 2x+1 (tek sayı) olmalıdır. 26 çifttir.
3
n=27 durumu için kopan sayfaların toplamını kontrol et
Fark = 378 - 325 = 53. Bu geçerlidir.
n(n+1)/2 formülünden 27*28/2 = 378. Fark tek sayıdır.
4
Kopan sayfa numaralarını bul
x + (x+1) = 53 => 2x = 52 => x = 26. Sayfalar 26 ve 27'dir.
Kopan sayfalar ardışık iki tam sayıdır.
5
Sayfa numaralarının çarpımını hesapla
26 * 27 = 702.
Soruda çarpım istenmektedir.

Anahtar Kavram

Ardışık sayıların toplam formülü ve tek-çift sayı analizi kullanılarak bilinmeyen terim sayısının bulunması.

İpuçları

1
1'den n'ye kadar olan sayıların toplam formülünü (n(n+1)/2n(n+1)/2) hatırlayın.
2
Kopan sayfalar ardışık iki sayı (xx ve x+1x+1) olduğuna göre, toplamları (2x+12x+1) mutlaka tek sayı olmalıdır. Bu, n sayısı için deneme yaparken size yol gösterecektir.
3
Toplamı 325'ten büyük olan ilk birkaç üçgensel sayıyı (n(n+1)/2n(n+1)/2) kontrol edin. Aradaki farkın, kopması mümkün olan bir sayfa çiftine (yani 2n2n'den küçük bir tek sayıya) eşit olup olmadığına bakın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda, kopan sayfaların toplamının verilip n değerinin istendiği durumları çalışabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Yaklaşık değer tahmini: n(n+1)/2≈325n(n+1)/2 \approx 325 ise n2≈650n^2 \approx 650, buradan n≈25−26n \approx 25-26 bulunur. n=26 ve n=27 denenerek kesin sonuca ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Ardışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

Bu konudan daha fazla soru