Examkin

Soru

Zorluk: ZorArdışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

xx bir çift doğal sayı olmak üzere, xx'ten başlayan 1010 tane ardışık çift tam sayının toplamı KK'dir. Bu sayıların her biri 33 artırıldığında elde edilen yeni sayıların toplamı LL olmaktadır.

7L=8K7L = 8K olduğuna göre, xx kaçtır?

  1. A
    6
  2. B
    10
  3. 12Cevap
  4. D
    21
  5. E
    30

Cevap

Aranan xx değeri 12'dir.
Soruda verilen bilgilere göre iki denklem kurulur. İlk olarak, her terim 3 arttığı için yeni toplam LL, eski toplam KK'den 10×3=3010 \times 3 = 30 fazladır (L=K+30L = K + 30). Verilen 7L=8K7L = 8K eşitliğinde LL yerine K+30K+30 yazıldığında K=210K=210 bulunur. İkinci olarak, xx'ten başlayan 10 ardışık çift sayının toplamı formülize edilir: 10x+(0+2+4+...+18)=10x+9010x + (0+2+4+...+18) = 10x + 90. Bu ifade 210'a eşitlendiğinde x=12x=12 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
LL ile KK arasındaki ilişkiyi kullanarak KK değerini bul.
L=K+(10×3)=K+30L = K + (10 \times 3) = K + 30 olduğundan, 7(K+30)=8K⇒7K+210=8K⇒K=2107(K+30) = 8K \Rightarrow 7K + 210 = 8K \Rightarrow K = 210.
Her sayı 3 arttığında, 10 sayı için toplam artış 10×3=3010 \times 3 = 30 olur.
2
KK toplamını xx cinsinden ifade et.
Sayilar: x,x+2,x+4,…,x+18x, x+2, x+4, \dots, x+18. Toplam K=10x+(2+4+⋯+18)K = 10x + (2+4+\dots+18).
Ardışık çift sayılar xx'ten başlayarak ikişer ikişer artar.
3
Sabit kısmın toplamını hesapla.
2+4+⋯+18=2(1+2+⋯+9)=2×9×102=902+4+\dots+18 = 2(1+2+\dots+9) = 2 \times \frac{9 \times 10}{2} = 90.
Gauss toplam formülü: n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}.
4
Denklemi kur ve xx'i çöz.
10x+90=210⇒10x=120⇒x=1210x + 90 = 210 \Rightarrow 10x = 120 \Rightarrow x = 12.
Elde edilen toplam ifadesini bulunan sayısal değere eşitleme.

Anahtar Kavram

Ardışık Sayıların Toplamı ve Denklem Kurma

İpuçları

1
Önce LL ile KK arasındaki matematiksel ilişkiyi terim sayısını dikkate alarak kurunuz. Her sayı 3 artarsa toplam ne kadar artar?
2
L=K+30L = K + 30 eşitliğini soruda verilen orantıda kullanarak KK'nin sayısal değerini bulunuz.
3
K=210K = 210 bulduktan sonra, xx'ten başlayan 10 ardışık çift sayının toplamını (10x+9010x + 90) bu değere eşitleyiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu 'ardışık tek sayılar' ve 'azalma' durumu için çözmeyi deneyin.

Alternatif Yöntem

Ortanca terim mantığıyla da çözülebilir. K=210K=210 ve terim sayısı 10 ise, sayıların ortalaması 21'dir. Ardışık çift sayılar dizisinde ortalama, 5. ve 6. terimin tam ortasıdır. Sayılar: x,x+2,x+4,x+6,x+8,x+10...x, x+2, x+4, x+6, x+8, x+10... 5. terim x+8x+8, 6. terim x+10x+10. Ortalamaları x+9=21⇒x=12x+9 = 21 \Rightarrow x=12.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Ardışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

Bu konudan daha fazla soru