Examkin

Soru

Zorluk: OrtaArdışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

11’den nn’ye kadar olan ardışık tam sayıların toplamı 210210 olduğuna göre, nn değeri kaçtır?

  1. A
    19
  2. 20Cevap
  3. C
    21
  4. D
    22
  5. E
    25

Cevap

Ardışık sayıların toplam formülüne göre n=20n = 20 olmalıdır.
11’den nn’ye kadar olan sayıların toplamı n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2} formülü ile bulunur. 20⋅212=10⋅21=210\frac{20 \cdot 21}{2} = 10 \cdot 21 = 210 olduğundan, toplamın 210210 olması için nn sayısının 2020 olması gerektiği matematiksel olarak doğrulanır.

Adım Adım Çözüm

1
Ardışık tam sayıların toplam formülünü belirle.
1+2+3+⋯+n=n⋅(n+1)21 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n \cdot (n+1)}{2}
11’den başlayarak birer birer artan sayıların toplamı Gauss formülü ile hesaplanır.
2
Verilen toplamı formülde yerine koyarak bir denklem oluştur.
n⋅(n+1)2=210\frac{n \cdot (n+1)}{2} = 210
Soruda toplamın 210210 olduğu verilmiştir.
3
İçler dışlar çarpımı yaparak nn ve n+1n+1 çarpımını bul.
n⋅(n+1)=420n \cdot (n+1) = 420
Eşitliğin her iki tarafını 22 ile çarparak paydadan kurtuluruz.
4
Çarpımları 420420 olan ardışık iki tam sayıyı tespit et.
20⋅21=42020 \cdot 21 = 420 olduğundan n=20n = 20
2020 ve 2121 sayıları ardışıktır ve çarpımları tam olarak 420420 sonucunu verir.

Anahtar Kavram

Ardışık Sayıların Toplamı (Gauss Metodu)

İpuçları

1
1'den başlayan ardışık sayıların toplamı için n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2} formülünü hatırlayınız.
2
Formüldeki toplamı 210210’a eşitlediğinizde ardışık iki sayının çarpımının 420420 olduğunu göreceksiniz.
3
2020 ile 2121’i çarparak 420420 sonucuna ulaşıp ulaşmadığınızı kontrol ediniz.

Daha Fazla Pratik

Ardışık tek tam sayıların toplamı olan 1+3+5+...+(2n−1)=n21+3+5+...+(2n-1) = n^2 formülünü çalışarak bu konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Ardışık sayıların toplamında ortanca terim kuralı da kullanılabilir. Toplam 210210 ve sayı adedi nn ise, yaklaşık ortalama değerden giderek nn tahmin edilebilir.
Tahmini Süre:1m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Ardışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

Bu konudan daha fazla soru