Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorArdışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

Bir konferans salonundaki koltuklar 11'den başlanarak nn'ye kadar ardışık tam sayılarla numaralandırılmıştır. Teknik bir arıza nedeniyle bir koltuk kullanıma kapatılmıştır. Kullanılabilir durumdaki diğer koltukların numaralarının aritmetik ortalaması 2291122 \frac{9}{11} olarak hesaplandığına göre, kullanıma kapatılan koltuğun numarası kaçtır?

  1. A
    24
  2. 31Cevap
  3. C
    35
  4. D
    42
  5. E
    45

Cevap

Kullanıma kapatılan koltuğun numarası 31'dir.
Soruda verilen ortalama değeri (2291122 \frac{9}{11}) kullanılarak toplam koltuk sayısının (nn) yaklaşık 45 olduğu tahmin edilir. Denklem yerine konulduğunda, n=45n=45 için çıkarılan sayının 31 olduğu ve bu sayının geçerli aralıkta bulunduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Verilenleri matematiksel ifadelere dök.
Toplam koltuk sayısı nn, çıkarılan koltuk numarası xx olsun. Kalan koltuk sayısı n−1n-1 olur. Ortalama A=22911=25111A = 22 \frac{9}{11} = \frac{251}{11}.
Sözel problemi cebirsel denkleme dönüştürmek için.
2
Toplam formülünü ve ortalama eşitliğini kur.
1'den n'ye kadar toplam: n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}. Kalanların toplamı: n(n+1)2−x\frac{n(n+1)}{2} - x. Ortalama denklemi: n(n+1)2−xn−1=25111\frac{\frac{n(n+1)}{2} - x}{n-1} = \frac{251}{11}.
Bilinmeyenler (nn ve xx) arasında bir ilişki kurmak için.
3
nn değerini tahmin etmek için ortalama özelliğini kullan.
1'den nn'ye kadar sayıların ortalaması yaklaşık n2\frac{n}{2}'dir. Burada ortalama ≈22,8\approx 22,8 olduğundan, n≈45n \approx 45 olmalıdır.
İki bilinmeyenli tek denklemde tamsayı kısıtlamasını kullanarak çözüm aralığını daraltmak için.
4
n=45n=45 değerini denklemde test et.
Denklemde yerine koyarsak: 45(46)2−x44=25111\frac{\frac{45(46)}{2} - x}{44} = \frac{251}{11}. Paydaları eşitlemek için sağ tarafı 4 ile genişletelim: 1035−x44=100444\frac{1035 - x}{44} = \frac{1004}{44}.
Seçilen nn değerinin tamsayı bir xx çözümü verip vermediğini kontrol etmek için.
5
xx değerini hesapla.
1035−x=1004⇒x=311035 - x = 1004 \Rightarrow x = 31. Bulunan xx değeri 1≤x≤451 \le x \le 45 aralığında olduğu için çözüm geçerlidir.
Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Ardışık sayıların toplamı ve aritmetik ortalama ilişkisi

İpuçları

1
1'den nn'ye kadar olan sayıların toplam formülü n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}'dir. Çıkarılan sayıya xx diyerek yeni toplamı yazın.
2
Kalan sayıların adedi n−1n-1 olacaktır. Ortalama formülü: Kalanların Toplamın−1=22911\frac{\text{Kalanların Toplamı}}{n-1} = 22 \frac{9}{11}.
3
Ortalama yaklaşık 22,822,8 olduğuna göre, nn sayısı 22,8×2≈45,622,8 \times 2 \approx 45,6 civarında bir tamsayı olmalıdır. n=45n=45 değerini deneyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, bir sayı eklendiğinde ortalamanın nasıl değiştiğini inceleyen sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Toplamların değişimi üzerinden düşünmek: Ortalama ≈22.8\approx 22.8 ise, çıkarılan sayı ile orijinal ortalama arasındaki fark, yeni ortalamayı belirler. Ancak bu tür sorularda doğrudan formül yerine nn'yi sınırlamak en güvenilir yöntemdir.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Ardışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

Bu konudan daha fazla soru