Bir ABC üçgeninde m(\widehat{BAC}) > 90^\circ olduğu bilinmektedir. [AB] kenarı üzerinde D… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Bir $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{BAC}) > 90^\circ$ olduğu bilinmektedir. $[AB]$ kenarı üzerinde $D$ , $[AC]$ kenarı üzerinde $E$ noktaları, $[DE] \parallel [BC]$ olacak şekilde alınmıştır.

$|AD| = 4\text{ cm}$ , $|DB| = 6\text{ cm}$ ve $BCED$ dörtgeninin alanı $105\text{ cm}^2$ olduğuna göre, $ADE$ üçgeninin alanı kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

20Cevap
B
35
C
70
D
84
E
125

Cevap

ADE üçgeninin alanı 20 cm²'dir.

Paralellikten dolayı oluşan üçgenlerde benzerlik oranı kenarlar oranına eşittir (

4/10 = 2/5

). Alanlar oranı ise benzerlik oranının karesidir (

(2/5)^2 = 4/25

). Tüm alan

25

birim, üstteki küçük üçgen

4

birim kabul edilirse, alttaki dörtgen

25-4=21

birim olur.

21

birimlik alan

105

cm² ise,

1

birim

5

cm² olur. İstenen

4

birimlik alan

4 \times 5 = 20

cm² bulunur.

Adım Adım Çözüm

Benzerlik oranını (k) belirle.

k = |AD| / |AB| = 4 / (4 + 6) = 4 / 10 = 2/5

[DE] // [BC] olduğu için ADE ve ABC üçgenleri benzerdir (Temel Benzerlik Teoremi).

Alanlar oranını hesapla.

Alan(ADE) / Alan(ABC) = k² = (2/5)² = 4/25

Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.

Alanları orantı sabiti ile ifade et.

Alan(ADE) = 4S, Alan(ABC) = 25S

Orantı özelliğini kullanarak alanları S cinsinden yazarız.

Verilen dörtgenin alanını S cinsinden ifade et ve S değerini bul.

Alan(BCED) = Alan(ABC) - Alan(ADE) = 25S - 4S = 21S.
21S = 105 => S = 5

Büyük üçgenden küçük üçgeni çıkararak dörtgenin alanını buluruz.

İstenen alan değerini hesapla.

Alan(ADE) = 4S = 4 * 5 = 20 cm²

Bulunan S değeri yerine konularak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Benzerlik ve Alan İlişkisi (k² kuralı)

İpuçları

Paralellik varsa Temel Benzerlik Teoremi'ni hatırla: Küçük üçgen büyük üçgene benzerdir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru

Cevap

Çözüm Destekleyici Görseli

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Konular

Bu konudan daha fazla soru