Tam sayılar kümesi (\mathbb{Z}) üzerinde tanımlı A ve B kümeleri aşağıdaki gibi verilmişti… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Tam sayılar kümesi ( $\mathbb{Z}$ ) üzerinde tanımlı $A$ ve $B$ kümeleri aşağıdaki gibi verilmiştir:

A = \{x \in \mathbb{Z} : |x| \le 3\}

B = \{x \in \mathbb{Z} : -5 < x \le 1\}

Buna göre, $(A \times B) \setminus (B \times A)$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Soruda istenen

(A \times B) \setminus (B \times A)

kümesinin eleman sayısını bulmak için, önce

A

B

kümelerinin eleman sayılarını ve kesişimlerinin eleman sayısını belirlemeliyiz.

s(A)=7

s(B)=6

olarak bulunur. Kartezyen çarpımın toplam eleman sayısı

s(A \times B) = 7 \cdot 6 = 42

'dir. Çıkarılacak kısım olan kesişim kümesi

(A \times B) \cap (B \times A)

, aslında

(A \cap B) \times (A \cap B)

kümesine eşittir. Ortak eleman sayısı

s(A \cap B) = 5

olduğundan, kesişim bölgesindeki eleman sayısı

5 \cdot 5 = 25

olur. Sonuç olarak

42 - 25 = 17

bulunur.

A kümesinin elemanlarını belirle.

|x| \le 3 \implies -3 \le x \le 3

A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}

s(A) = 7

Mutlak değer eşitsizliği çözülerek kümenin elemanları listelenir.

B kümesinin elemanlarını belirle.

-5 < x \le 1

B = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1\}

s(B) = 6

Basit eşitsizlik aralığındaki tam sayılar listelenir.

A ve B kümelerinin kesişimini (

A \cap B

) bul.

A \cap B = \{-3, -2, -1, 0, 1\}

s(A \cap B) = 5

Her iki kümede ortak olan elemanlar belirlenir.

İstenen kümenin eleman sayısını formülle hesapla.

s((A \times B) \setminus (B \times A)) = s(A \times B) - s((A \times B) \cap (B \times A))

. Kesişim özelliği gereği bu ifade

s(A) \cdot s(B) - [s(A \cap B)]^2

olur.

7 \cdot 6 - 5^2 = 42 - 25 = 17

Kartezyen çarpımın fark ve kesişim özellikleri kullanılarak sonuca ulaşılır.

Kartezyen Çarpım ve Küme Farkı Özellikleri

Önce A ve B kümelerinin elemanlarını listeleyerek her birinin eleman sayısını bulun.

İki kartezyen çarpım kümesinin kesişiminin formülünü hatırlayın:

(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (B \cap A)

Kümeleri görselleştirmek için bir koordinat düzlemi çizebilirsiniz. A kümesini x ekseninde, B kümesini y ekseninde işaretleyerek

A \times B

dikdörtgenini oluşturun. Çıkarılacak olan

B \times A

bölgesinin bu dikdörtgenle nerede kesiştiğini (ortak kare bölgeyi) belirleyip toplam noktadan çıkarın.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru