Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKartezyen Çarpım
xx ve yy birer tam sayı olmak üzere,
A={x:∣x−1∣≤2}A = \{x : |x - 1| \le 2\}
B={y:y2<10}B = \{y : y^2 < 10\}
kümeleri tanımlanıyor.

Buna göre, A×BA \times B kartezyen çarpım kümesinin elemanlarından kaç tanesi (a,b)(a, b) biçiminde yazıldığında a=ba = b veya a+b=0a + b = 0 koşulunu sağlar?

  1. A
    5
  2. B
    8
  3. 9Cevap
  4. D
    10
  5. E
    11

Cevap

Her iki koşulu sağlayan toplam 9 farklı sıralı ikili vardır.
Soruda 'veya' bağlacı kullanıldığı için, iki koşulun çözüm kümelerinin birleşimi sorulmaktadır. Birleşim kümesinin eleman sayısı bulunurken, her iki kümeyi ayrı ayrı toplayıp kesişimlerini çıkarmamız gerekir. Birinci koşul (a=ba=b) 5 eleman, ikinci koşul (a+b=0a+b=0) 5 eleman üretir. Ancak (0,0)(0,0) elemanı her iki koşulu da sağladığı için iki kez sayılmıştır. Bu yüzden toplamdan 1 çıkarılarak 9 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle belirle.
∣x−1∣≤2⇒−2≤x−1≤2⇒−1≤x≤3|x - 1| \le 2 \Rightarrow -2 \le x - 1 \le 2 \Rightarrow -1 \le x \le 3. Yani A={−1,0,1,2,3}A = \{-1, 0, 1, 2, 3\}.
Mutlak değer eşitsizliğini çözerek tam sayı elemanları bulmak için.
2
B kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle belirle.
y2<10⇒−10<y<10y^2 < 10 \Rightarrow -\sqrt{10} < y < \sqrt{10}. Yani yy değerleri −3-3 ile 33 arasındadır. B={−3,−2,−1,0,1,2,3}B = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}.
Karesi 10'dan küçük olan tam sayıları tespit etmek için.
3
a=ba=b koşulunu sağlayan (a,b)∈A×B(a,b) \in A \times B elemanlarını bul.
Hem AA'da hem BB'de olan elemanlar (Kesişim): {−1,0,1,2,3}\{-1, 0, 1, 2, 3\}. Çiftler: (−1,−1),(0,0),(1,1),(2,2),(3,3)(-1,-1), (0,0), (1,1), (2,2), (3,3). (5 eleman)
Birinci koşulu sağlayan eleman sayısını (s(K1)s(K_1)) bulmak için.
4
a+b=0a+b=0 (yani b=−ab=-a) koşulunu sağlayan elemanları bul.
a∈Aa \in A iken −a∈B-a \in B olmalı.
a=−1⇒b=1a=-1 \Rightarrow b=1 (Var)
a=0⇒b=0a=0 \Rightarrow b=0 (Var)
a=1⇒b=−1a=1 \Rightarrow b=-1 (Var)
a=2⇒b=−2a=2 \Rightarrow b=-2 (Var)
a=3⇒b=−3a=3 \Rightarrow b=-3 (Var)
Toplam 5 eleman.
İkinci koşulu sağlayan eleman sayısını (s(K2)s(K_2)) bulmak için.
5
Birleşim formülünü uygula: s(K1∪K2)=s(K1)+s(K2)−s(K1∩K2)s(K_1 \cup K_2) = s(K_1) + s(K_2) - s(K_1 \cap K_2).
Kesişim hem a=ba=b hem a=−ba=-b olan tek nokta (0,0)(0,0)'dır. Sonuç: 5+5−1=95 + 5 - 1 = 9.
Veya bağlacı kullanıldığı için kesişim kümesini iki kez saymamak adına çıkarmak gerekir.

Anahtar Kavram

Kartezyen Çarpım Alt Kümeleri ve Birleşim İşlemi

İpuçları

1
Öncelikle A ve B kümelerinin elemanlarını açık bir şekilde yazın.
2
'Veya' bağlacı kümelerde birleşim işlemini ifade eder. s(K∪L)=s(K)+s(L)−s(K∩L)s(K \cup L) = s(K) + s(L) - s(K \cap L) formülünü hatırlayın.
3
Hem a=ba=b hem de a+b=0a+b=0 koşulunu aynı anda sağlayan kaç eleman var? Bu elemanı toplamdan çıkarmayı unutmayın.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kartezyen Çarpım

Bu konudan daha fazla soru