Examkin

Soru

Zorluk: ZorKartezyen Çarpım

A, B ve C boş kümeden farklı üç küme olmak üzere, s(A)=8s(A) = 8 olduğu bilinmektedir.

Kartezyen çarpım kümelerinin eleman sayıları ile ilgili olarak;
s((A×B)∪(A×C))=120s((A \times B) \cup (A \times C)) = 120
s(A×(B∩C))=32s(A \times (B \cap C)) = 32
eşitlikleri verilmiştir.

Buna göre, B ve C kümelerinin yalnızca birinde bulunan elemanların toplam sayısı kaçtır?

  1. A
    4
  2. B
    7
  3. 11Cevap
  4. D
    15
  5. E
    19

Cevap

B ve C kümelerinin yalnızca birinde bulunan eleman sayısı 11'dir.
Soruda verilen kartezyen çarpım eşitlikleri kullanılarak B ve C kümelerinin birleşim ve kesişim eleman sayılarına ulaşılır. Kartezyen çarpımın dağılma özelliği gereği (A×B)∪(A×C)=A×(B∪C)(A \times B) \cup (A \times C) = A \times (B \cup C) olur. Buradan s(B∪C)=120/8=15s(B \cup C) = 120/8 = 15 bulunur. İkinci eşitlikten s(B∩C)=32/8=4s(B \cap C) = 32/8 = 4 bulunur. 'Yalnızca birinde bulunan' elemanlar, birleşim kümesinden kesişim kümesinin çıkarılmasıyla (15−415 - 4) elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kartezyen çarpımın birleşim üzerine dağılma özelliğini kullan.
(A×B)∪(A×C)=A×(B∪C)(A \times B) \cup (A \times C) = A \times (B \cup C) olduğundan, s(A)⋅s(B∪C)=120s(A) \cdot s(B \cup C) = 120 bulunur.
Kartezyen çarpım, birleşim işlemi üzerine dağılabilir ve eleman sayısı çarpım kuralı ile hesaplanır.
2
s(B∪C)s(B \cup C) değerini hesapla.
8⋅s(B∪C)=120⇒s(B∪C)=158 \cdot s(B \cup C) = 120 \Rightarrow s(B \cup C) = 15.
Verilen s(A)=8s(A)=8 değeri yerine yazılır.
3
s(B∩C)s(B \cap C) değerini hesapla.
s(A×(B∩C))=s(A)⋅s(B∩C)=32⇒8⋅s(B∩C)=32⇒s(B∩C)=4s(A \times (B \cap C)) = s(A) \cdot s(B \cap C) = 32 \Rightarrow 8 \cdot s(B \cap C) = 32 \Rightarrow s(B \cap C) = 4.
Kartezyen çarpımın eleman sayısı formülü doğrudan uygulanır.
4
Simetrik fark (yalnızca birinde bulunanlar) formülünü uygula.
s((B∖C)∪(C∖B))=s(B∪C)−s(B∩C)=15−4=11s((B \setminus C) \cup (C \setminus B)) = s(B \cup C) - s(B \cap C) = 15 - 4 = 11.
İstenen bölge, birleşim kümesinden kesişim kümesinin çıkarılmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpımın birleşim ve kesişim üzerine dağılma özelliği ile küme eleman sayısı ilişkileri.

İpuçları

1
Kartezyen çarpımın birleşim işlemi üzerine dağılma özelliğini hatırlayın: (A×B)∪(A×C)(A \times B) \cup (A \times C) ifadesini paranteze alarak yazabilir misiniz?
2
A×(B∪C)A \times (B \cup C) kümesinin eleman sayısı s(A)⋅s(B∪C)s(A) \cdot s(B \cup C) şeklinde hesaplanır. Buradan s(B∪C)s(B \cup C) değerini bulabilirsiniz.
3
İstenen 'yalnızca birinde bulunan elemanlar', tüm elemanlardan (birleşim) her ikisinde de bulunanların (kesişim) çıkarılmasıyla bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kartezyen Çarpım

Bu konudan daha fazla soru