Examkin

Kartezyen Çarpım

42 soru

Soru 1Soru →
xx ve yy birer tam sayı olmak üzere,
A={x:∣x−1∣≤2}A = \{x : |x - 1| \le 2\}
B={y:y2<10}B = \{y : y^2 < 10\}
kümeleri tanımlanıyor.

Buna göre, A×BA \times B kartezyen çarpım kümesinin elemanlarından kaç tanesi (a,b)(a, b) biçiminde yazıldığında a=ba = b veya a+b=0a + b = 0 koşulunu sağlar?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Her iki koşulu sağlayan toplam 9 farklı sıralı ikili vardır.
Soruda 'veya' bağlacı kullanıldığı için, iki koşulun çözüm kümelerinin birleşimi sorulmaktadır. Birleşim kümesinin eleman sayısı bulunurken, her iki kümeyi ayrı ayrı toplayıp kesişimlerini çıkarmamız gerekir. Birinci koşul (a=ba=b) 5 eleman, ikinci koşul (a+b=0a+b=0) 5 eleman üretir. Ancak (0,0)(0,0) elemanı her iki koşulu da sağladığı için iki kez sayılmıştır. Bu yüzden toplamdan 1 çıkarılarak 9 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle belirle.
∣x−1∣≤2⇒−2≤x−1≤2⇒−1≤x≤3|x - 1| \le 2 \Rightarrow -2 \le x - 1 \le 2 \Rightarrow -1 \le x \le 3. Yani A={−1,0,1,2,3}A = \{-1, 0, 1, 2, 3\}.
Mutlak değer eşitsizliğini çözerek tam sayı elemanları bulmak için.
2
B kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle belirle.
y2<10⇒−10<y<10y^2 < 10 \Rightarrow -\sqrt{10} < y < \sqrt{10}. Yani yy değerleri −3-3 ile 33 arasındadır. B={−3,−2,−1,0,1,2,3}B = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}.
Karesi 10'dan küçük olan tam sayıları tespit etmek için.
3
a=ba=b koşulunu sağlayan (a,b)∈A×B(a,b) \in A \times B elemanlarını bul.
Hem AA'da hem BB'de olan elemanlar (Kesişim): {−1,0,1,2,3}\{-1, 0, 1, 2, 3\}. Çiftler: (−1,−1),(0,0),(1,1),(2,2),(3,3)(-1,-1), (0,0), (1,1), (2,2), (3,3). (5 eleman)
Birinci koşulu sağlayan eleman sayısını (s(K1)s(K_1)) bulmak için.
4
a+b=0a+b=0 (yani b=−ab=-a) koşulunu sağlayan elemanları bul.
a∈Aa \in A iken −a∈B-a \in B olmalı.
a=−1⇒b=1a=-1 \Rightarrow b=1 (Var)
a=0⇒b=0a=0 \Rightarrow b=0 (Var)
a=1⇒b=−1a=1 \Rightarrow b=-1 (Var)
a=2⇒b=−2a=2 \Rightarrow b=-2 (Var)
a=3⇒b=−3a=3 \Rightarrow b=-3 (Var)
Toplam 5 eleman.
İkinci koşulu sağlayan eleman sayısını (s(K2)s(K_2)) bulmak için.
5
Birleşim formülünü uygula: s(K1∪K2)=s(K1)+s(K2)−s(K1∩K2)s(K_1 \cup K_2) = s(K_1) + s(K_2) - s(K_1 \cap K_2).
Kesişim hem a=ba=b hem a=−ba=-b olan tek nokta (0,0)(0,0)'dır. Sonuç: 5+5−1=95 + 5 - 1 = 9.
Veya bağlacı kullanıldığı için kesişim kümesini iki kez saymamak adına çıkarmak gerekir.

Anahtar Kavram

Kartezyen Çarpım Alt Kümeleri ve Birleşim İşlemi

İpuçları

1
Öncelikle A ve B kümelerinin elemanlarını açık bir şekilde yazın.
2
'Veya' bağlacı kümelerde birleşim işlemini ifade eder. s(K∪L)=s(K)+s(L)−s(K∩L)s(K \cup L) = s(K) + s(L) - s(K \cap L) formülünü hatırlayın.
3
Hem a=ba=b hem de a+b=0a+b=0 koşulunu aynı anda sağlayan kaç eleman var? Bu elemanı toplamdan çıkarmayı unutmayın.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2Soru →

Bir kamu kurumu bünyesinde kurulan mülakat komisyonları ile mülakata girecek aday grupları eşleştirilerek bir çalışma planı hazırlanacaktır. Komisyonlar kümesi K={K1,K2}K = \{K_1, K_2\} ve aday grupları kümesi G={A,B,C}G = \{A, B, C\} olarak belirlenmiştir. Buna göre, komisyonların aday gruplarıyla yapacağı tüm olası eşleşmeleri gösteren K×GK \times G kartezyen çarpım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: {(K1,A),(K1,B),(K1,C),(K2,A),(K2,B),(K2,C)}\{(K_1, A), (K_1, B), (K_1, C), (K_2, A), (K_2, B), (K_2, C)\}

Cevap

Doğru cevap, KK kümesinin her bir elemanının GG kümesinin her bir elemanıyla sırayla eşleştirildiği sıralı ikililer kümesidir.
Kartezyen çarpım işleminde temel kural, birinci kümenin her bir elemanını ikinci kümenin her bir elemanıyla sırayla eşleştirmektir. KK kümesinin elemanları olan K1K_1 ve K2K_2, GG kümesinin elemanları olan A,BA, B ve CC ile eşleştiğinde toplam 6 adet sıralı ikili oluşur. Bu ikililerin kümesi, mülakat komisyonları ve aday gruplarının tüm olası eşleşmelerini tam olarak yansıtmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Kartezyen çarpımın tanımını belirle.
K×GK \times G kümesi, birinci bileşeni KK kümesinden, ikinci bileşeni GG kümesinden alınan tüm (x,y)(x, y) sıralı ikililerinden oluşur.
Kartezyen çarpımda kümelerin yazılış sırası, sıralı ikililerin bileşen sırasını belirler.
2
KK kümesinin elemanlarını GG kümesinin elemanlarıyla eşleştir.
K1K_1 için: (K1,A),(K1,B),(K1,C)(K_1, A), (K_1, B), (K_1, C) ve K2K_2 için: (K2,A),(K2,B),(K2,C)(K_2, A), (K_2, B), (K_2, C) ikilileri oluşur.
Tanım gereği ilk kümenin her bir elemanı, ikinci kümenin her bir elemanıyla ayrı ayrı eşleşmelidir.
3
Eleman sayısını doğrulayarak kümeyi yaz.
s(K)=2s(K) = 2 ve s(G)=3s(G) = 3 olduğundan küme 2×3=62 \times 3 = 6 elemanlı olmalıdır.
Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpım, iki kümenin elemanlarını belirli bir sırayla eşleştirerek oluşturulan tüm sıralı ikililerin kümesidir.

İpuçları

1
Kartezyen çarpım K×GK \times G dendiğinde, ilk elemanın KK kümesinden, ikinci elemanın GG kümesinden geldiği sıralı ikilileri (eşleşmeleri) düşünmelisin.
2
KK kümesinde 2, GG kümesinde 3 eleman olduğu için sonucun 2×3=62 \times 3 = 6 adet eşleşmeden (sıralı ikiliden) oluşması gerektiğini unutma.
3
K1K_1 komisyonunu alıp her bir grupla (A,B,CA, B, C) tek tek eşleştir, sonra aynı işlemi K2K_2 komisyonu için de yaparak listeyi tamamla.

Daha Fazla Pratik

Kümelerin eleman sayıları verildiğinde, kartezyen çarpımın eleman sayısını hesaplama alıştırmaları yapabilirsin.
Tahmini Süre:45s
Soru 3Soru →

A, B ve C boş kümeden farklı üç küme olmak üzere, s(A)=8s(A) = 8 olduğu bilinmektedir.

Kartezyen çarpım kümelerinin eleman sayıları ile ilgili olarak;
s((A×B)∪(A×C))=120s((A \times B) \cup (A \times C)) = 120
s(A×(B∩C))=32s(A \times (B \cap C)) = 32
eşitlikleri verilmiştir.

Buna göre, B ve C kümelerinin yalnızca birinde bulunan elemanların toplam sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

B ve C kümelerinin yalnızca birinde bulunan eleman sayısı 11'dir.
Soruda verilen kartezyen çarpım eşitlikleri kullanılarak B ve C kümelerinin birleşim ve kesişim eleman sayılarına ulaşılır. Kartezyen çarpımın dağılma özelliği gereği (A×B)∪(A×C)=A×(B∪C)(A \times B) \cup (A \times C) = A \times (B \cup C) olur. Buradan s(B∪C)=120/8=15s(B \cup C) = 120/8 = 15 bulunur. İkinci eşitlikten s(B∩C)=32/8=4s(B \cap C) = 32/8 = 4 bulunur. 'Yalnızca birinde bulunan' elemanlar, birleşim kümesinden kesişim kümesinin çıkarılmasıyla (15−415 - 4) elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kartezyen çarpımın birleşim üzerine dağılma özelliğini kullan.
(A×B)∪(A×C)=A×(B∪C)(A \times B) \cup (A \times C) = A \times (B \cup C) olduğundan, s(A)⋅s(B∪C)=120s(A) \cdot s(B \cup C) = 120 bulunur.
Kartezyen çarpım, birleşim işlemi üzerine dağılabilir ve eleman sayısı çarpım kuralı ile hesaplanır.
2
s(B∪C)s(B \cup C) değerini hesapla.
8⋅s(B∪C)=120⇒s(B∪C)=158 \cdot s(B \cup C) = 120 \Rightarrow s(B \cup C) = 15.
Verilen s(A)=8s(A)=8 değeri yerine yazılır.
3
s(B∩C)s(B \cap C) değerini hesapla.
s(A×(B∩C))=s(A)⋅s(B∩C)=32⇒8⋅s(B∩C)=32⇒s(B∩C)=4s(A \times (B \cap C)) = s(A) \cdot s(B \cap C) = 32 \Rightarrow 8 \cdot s(B \cap C) = 32 \Rightarrow s(B \cap C) = 4.
Kartezyen çarpımın eleman sayısı formülü doğrudan uygulanır.
4
Simetrik fark (yalnızca birinde bulunanlar) formülünü uygula.
s((B∖C)∪(C∖B))=s(B∪C)−s(B∩C)=15−4=11s((B \setminus C) \cup (C \setminus B)) = s(B \cup C) - s(B \cap C) = 15 - 4 = 11.
İstenen bölge, birleşim kümesinden kesişim kümesinin çıkarılmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpımın birleşim ve kesişim üzerine dağılma özelliği ile küme eleman sayısı ilişkileri.

İpuçları

1
Kartezyen çarpımın birleşim işlemi üzerine dağılma özelliğini hatırlayın: (A×B)∪(A×C)(A \times B) \cup (A \times C) ifadesini paranteze alarak yazabilir misiniz?
2
A×(B∪C)A \times (B \cup C) kümesinin eleman sayısı s(A)⋅s(B∪C)s(A) \cdot s(B \cup C) şeklinde hesaplanır. Buradan s(B∪C)s(B \cup C) değerini bulabilirsiniz.
3
İstenen 'yalnızca birinde bulunan elemanlar', tüm elemanlardan (birleşim) her ikisinde de bulunanların (kesişim) çıkarılmasıyla bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 4Soru →

Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı AA ve BB kümeleri aşağıdaki gibi verilmiştir:

A={x∈Z:∣x−2∣<3}A = \{x \in \mathbb{Z} : |x - 2| < 3\}
B={y∈Z:y2≤9}B = \{y \in \mathbb{Z} : y^2 \leq 9\}

Buna göre, A×BA \times B kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35

Cevap

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı 35'tir.
Kartezyen çarpımın eleman sayısı s(A×B)=s(A)⋅s(B)s(A \times B) = s(A) \cdot s(B) formülü ile bulunur. Öncelikle kümelerin eleman sayıları tespit edilmelidir. A kümesi için ∣x−2∣<3|x-2|<3 eşitsizliğinden −1<x<5-1 < x < 5 aralığı elde edilir ve elemanları {0,1,2,3,4}\{0, 1, 2, 3, 4\} olduğundan s(A)=5s(A)=5 olur. B kümesi için y2≤9y^2 \le 9 eşitsizliğinden −3≤y≤3-3 \le y \le 3 aralığı elde edilir ve elemanları {−3,−2,−1,0,1,2,3}\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\} olduğundan s(B)=7s(B)=7 olur. Sonuç olarak 5⋅7=355 \cdot 7 = 35 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını ve eleman sayısını belirle.
∣x−2∣<3⇒−3<x−2<3⇒−1<x<5|x - 2| < 3 \Rightarrow -3 < x - 2 < 3 \Rightarrow -1 < x < 5. Bu aralıktaki tam sayılar: A={0,1,2,3,4}A = \{0, 1, 2, 3, 4\}. s(A)=5s(A) = 5.
Mutlak değerli eşitsizliği açarak x değerlerini bulmak gerekir.
2
B kümesinin elemanlarını ve eleman sayısını belirle.
y2≤9⇒−3≤y≤3y^2 \leq 9 \Rightarrow -3 \leq y \leq 3. Bu aralıktaki tam sayılar: B={−3,−2,−1,0,1,2,3}B = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}. s(B)=7s(B) = 7.
Karesi 9 veya 9'dan küçük olan tam sayılar (negatifler dahil) bulunmalıdır.
3
Kartezyen çarpımın eleman sayısı formülünü uygula.
s(A×B)=s(A)⋅s(B)=5⋅7=35s(A \times B) = s(A) \cdot s(B) = 5 \cdot 7 = 35.
Kartezyen çarpımın eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımıdır: s(A×B)=s(A)⋅s(B)s(A \times B) = s(A) \cdot s(B).
Soru 5Soru →

Tam sayılar kümesi üzerinde A ve B kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A={x∈Z:∣x−1∣≤3}A = \{x \in \mathbb{Z} : |x - 1| \leq 3\}
B={y∈Z:∣y+2∣≤4}B = \{y \in \mathbb{Z} : |y + 2| \leq 4\}

Buna göre, analitik düzlemde (A×B)(A \times B) kartezyen çarpım kümesinin elemanlarını kapsayan en küçük çemberin alanı kaç π\pi birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Çemberin yarıçapı 5 birim olduğundan alanı 25π birimkaredir.
Doğru cevap, kümelerin belirlediği dikdörtgensel bölgenin köşegenini çap kabul eden çemberin alanıdır. A kümesi x ekseninde 6 birim, B kümesi y ekseninde 8 birim uzunluğunda bir aralık belirtir. Oluşan 6-8-10 üçgeninden köşegen (çap) 10 bulunur. Yarıçap 5 olduğundan alan 25π25\pi olur.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarının oluşturduğu aralığı bul.
∣x−1∣≤3  ⟹  −3≤x−1≤3  ⟹  −2≤x≤4|x - 1| \leq 3 \implies -3 \leq x - 1 \leq 3 \implies -2 \leq x \leq 4. (Uzunluk = 4 - (-2) = 6 birim)
Mutlak değer eşitsizliğini çözerek x eksenindeki sınırları belirlemek için.
2
B kümesinin elemanlarının oluşturduğu aralığı bul.
∣y+2∣≤4  ⟹  −4≤y+2≤4  ⟹  −6≤y≤2|y + 2| \leq 4 \implies -4 \leq y + 2 \leq 4 \implies -6 \leq y \leq 2. (Uzunluk = 2 - (-6) = 8 birim)
Mutlak değer eşitsizliğini çözerek y eksenindeki sınırları belirlemek için.
3
Kartezyen çarpımın oluşturduğu geometrik şekli ve çevreleyen çemberin çapını belirle.
Noktalar 6x8 boyutlarında bir dikdörtgen oluşturur. En küçük çember bu dikdörtgenin köşelerinden geçer. Çap (köşegen) d=62+82=36+64=10d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10 birimdir.
Dikdörtgeni içine alan en küçük çemberin çapı, dikdörtgenin köşegen uzunluğuna eşittir.
4
Çemberin yarıçapını ve alanını hesapla.
Yarıçap r=10/2=5r = 10/2 = 5 birim. Alan =πr2=π⋅52=25π= \pi r^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi.
Alan formülü πr2\pi r^2 kullanılarak sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpım kümesinin analitik düzlemde geometrik yorumu ve mutlak değerli eşitsizliklerin çözüm kümeleri.
Soru 6Soru →
AA ve BB boş kümeden farklı iki küme olmak üzere,
s(A)=6s(A)=6
s(B)=8s(B)=8
s(A∪B)=10s(A \cup B)=10
eșitlikleri veriliyor.

Buna göre, s((A×B)∪(B×A))s((A \times B) \cup (B \times A)) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

İstenen birleşim kümesinin eleman sayısı 80'dir.
Soruyu çözmek için önce AA ve BB kümelerinin kesişim eleman sayısını bulmalıyız. s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) formülünden 10=6+8−s(A∩B)10 = 6 + 8 - s(A \cap B) yazılır ve s(A∩B)=4s(A \cap B) = 4 bulunur. Daha sonra bizden istenen s((A×B)∪(B×A))s((A \times B) \cup (B \times A)) ifadesi için genel birleşim kuralı olan s(X∪Y)=s(X)+s(Y)−s(X∩Y)s(X \cup Y) = s(X) + s(Y) - s(X \cap Y) uygulanır. Burada s(A×B)=48s(A \times B) = 48 ve s(B×A)=48s(B \times A) = 48'dir. Kesişim bölgesi için ise kartezyen çarpım özelliği gereği (A×B)∩(B×A)=(A∩B)×(A∩B)(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (A \cap B) eşitliği kullanılır. Bu durumda kesişim eleman sayısı 4⋅4=164 \cdot 4 = 16 olur. Sonuç olarak 48+48−16=8048 + 48 - 16 = 80 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
A∩BA \cap B kümesinin eleman sayısını bul
s(A∩B)=s(A)+s(B)−s(A∪B)=6+8−10=4s(A \cap B) = s(A) + s(B) - s(A \cup B) = 6 + 8 - 10 = 4
Kümelerin birleşimi formülünden kesişim eleman sayısına ulaşmak gerekir.
2
Kartezyen çarpım kümelerinin ayrı ayrı eleman sayılarını hesapla
s(A×B)=6⋅8=48s(A \times B) = 6 \cdot 8 = 48 ve s(B×A)=8⋅6=48s(B \times A) = 8 \cdot 6 = 48
Kartezyen çarpımın eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımıdır.
3
Kartezyen çarpımların kesişim kümesinin eleman sayısını bul
s((A×B)∩(B×A))=s(A∩B)⋅s(B∩A)=4⋅4=16s((A \times B) \cap (B \times A)) = s(A \cap B) \cdot s(B \cap A) = 4 \cdot 4 = 16
(A×B)∩(C×D)=(A∩C)×(B∩D)(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D) kuralı kullanılır.
4
Birleşim formülünü uygula
48+48−16=8048 + 48 - 16 = 80
s(X∪Y)=s(X)+s(Y)−s(X∩Y)s(X \cup Y) = s(X) + s(Y) - s(X \cap Y) formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Kartezyen Çarpımın Birleşimi ve Kesişimi

İpuçları

1
Önce s(A∩B)s(A \cap B) değerini bulmak için kümelerde birleşim formülünü kullanın.
2
İstenen ifade s(X∪Y)=s(X)+s(Y)−s(X∩Y)s(X \cup Y) = s(X) + s(Y) - s(X \cap Y) yapısındadır. Burada X=A×BX = A \times B ve Y=B×AY = B \times A olarak düşünülmelidir.
3
Kartezyen çarpımların kesişimi kuralını hatırlayın: (A×B)∩(B×A)(A \times B) \cap (B \times A) kümesi, aslında (A∩B)×(B∩A)(A \cap B) \times (B \cap A) kümesine eşittir.

Daha Fazla Pratik

Kümelerin ayrık olduğu durumda kartezyen çarpım birleşiminin nasıl değiştiğini inceleyen bir soru çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 7Soru →
Z\mathbb{Z} tam sayılar kümesi olmak üzere,
A={x∈Z:∣x−2∣≤3}A = \{x \in \mathbb{Z} : |x - 2| \le 3\}
B={x∈Z:x2<17}B = \{x \in \mathbb{Z} : x^2 < 17\}
kümeleri tanımlanmıştır.

Buna göre, (A×B)∪(B×A)(A \times B) \cup (B \times A) kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 90

Cevap

90
Soruda verilen (A×B)∪(B×A)(A \times B) \cup (B \times A) kümesinin eleman sayısını bulmak için s(X∪Y)=s(X)+s(Y)−s(X∩Y)s(X \cup Y) = s(X) + s(Y) - s(X \cap Y) formülü kullanılır. Burada X=A×BX = A \times B ve Y=B×AY = B \times A'dır.

Öncelikle kümelerin eleman sayıları bulunur:
A={−1,0,1,2,3,4,5}⇒s(A)=7A = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\} \Rightarrow s(A)=7
B={−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}⇒s(B)=9B = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\} \Rightarrow s(B)=9

Buradan s(A×B)=7⋅9=63s(A \times B) = 7 \cdot 9 = 63 ve s(B×A)=9⋅7=63s(B \times A) = 9 \cdot 7 = 63 bulunur.

Önemli nokta kesişim kümesidir: (A×B)∩(B×A)=(A∩B)×(B∩A)=(A∩B)×(A∩B)(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (B \cap A) = (A \cap B) \times (A \cap B).
A∩B={−1,0,1,2,3,4}A \cap B = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4\} olup s(A∩B)=6s(A \cap B) = 6'dır.
Kesişim kümesinin eleman sayısı: 6⋅6=366 \cdot 6 = 36.

Sonuç: 63+63−36=9063 + 63 - 36 = 90.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını belirle
∣x−2∣≤3⇒−3≤x−2≤3⇒−1≤x≤5|x - 2| \le 3 \Rightarrow -3 \le x - 2 \le 3 \Rightarrow -1 \le x \le 5. A={−1,0,1,2,3,4,5}A = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}, yani s(A)=7s(A) = 7.
Mutlak değer eşitsizliğini çözerek tam sayı elemanları listelemek gerekir.
2
B kümesinin elemanlarını belirle
x2<17x^2 < 17 koşulunu sağlayan tam sayılar: −17<x<17-\sqrt{17} < x < \sqrt{17} (≈4.12\approx 4.12). B={−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}B = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}, yani s(B)=9s(B) = 9.
Karesi 17'den küçük olan tam sayıları bulmak gerekir.
3
Kesişim kümesini (A∩BA \cap B) ve eleman sayısını bul
Ortak elemanlar: {−1,0,1,2,3,4}\{-1, 0, 1, 2, 3, 4\}. s(A∩B)=6s(A \cap B) = 6.
Birleşim formülünde kullanılacak olan kesişim değerini bulmak için.
4
Birleşim formülünü uygula
s((A×B)∪(B×A))=s(A×B)+s(B×A)−s((A×B)∩(B×A))s((A \times B) \cup (B \times A)) = s(A \times B) + s(B \times A) - s((A \times B) \cap (B \times A)). Bu da s(A)s(B)+s(B)s(A)−[s(A∩B)]2s(A)s(B) + s(B)s(A) - [s(A \cap B)]^2 eşittir. 63+63−36=126−36=9063 + 63 - 36 = 126 - 36 = 90.
Kartezyen çarpımın birleşim eleman sayısını hesaplamak için dahil etme-hariç tutma prensibi kullanılır.

Anahtar Kavram

Kartezyen Çarpım ve Kümelerde Birleşim Prensibi

İpuçları

1
Önce A ve B kümelerinin elemanlarını açıkça listeleyin ve kaçar elemanlı olduklarını (s(A) ve s(B)) bulun.
2
İki kümenin birleşiminin eleman sayısı formülünü hatırlayın: s(X∪Y)=s(X)+s(Y)−s(X∩Y)s(X \cup Y) = s(X) + s(Y) - s(X \cap Y). Burada X ve Y kartezyen çarpım kümeleridir.
3
(A×B)∩(B×A)(A \times B) \cap (B \times A) kümesinin eleman sayısı, (A∩B)(A \cap B) kümesinin eleman sayısının karesine eşittir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 8Soru →

Tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}) üzerinde AA, BB ve CC kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A={x∈Z:∣x−2∣≤3}A = \{x \in \mathbb{Z} : |x - 2| \le 3\}
B={y∈Z:y2<17}B = \{y \in \mathbb{Z} : y^2 < 17\}
C={z∈Z:z pozitif tek sayıdır}C = \{z \in \mathbb{Z} : z \text{ pozitif tek sayıdır}\}

Buna göre, (A×B)∩(B×C)(A \times B) \cap (B \times C) kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

12
İfade (A∩B)×(B∩C)(A \cap B) \times (B \cap C) şeklinde düzenlenir. A ve B'nin kesişimi {−1,0,1,2,3,4}\{-1, 0, 1, 2, 3, 4\} (6 eleman), B ve C'nin kesişimi (B'deki pozitif tekler) {1,3}\{1, 3\} (2 eleman) şeklindedir. Sonuç 6×2=126 \times 2 = 12 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İstenen ifadeyi kartezyen çarpımın kesişim üzerine dağılma özelliği ile sadeleştir.
(A×B)∩(B×C)=(A∩B)×(B∩C)(A \times B) \cap (B \times C) = (A \cap B) \times (B \cap C)
Bu özdeşlik sayesinde kümelerin tamamını yazmak yerine sadece gerekli kesişim kümelerini bulmak yeterlidir.
2
A ve B kümelerinin elemanlarını liste yöntemiyle yaz.
A={−1,0,1,2,3,4,5}A = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\} (Çünkü −3≤x−2≤3⇒−1≤x≤5-3 \le x-2 \le 3 \Rightarrow -1 \le x \le 5) ve B={−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}B = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\} (Çünkü y2<17⇒−4≤y≤4y^2 < 17 \Rightarrow -4 \le y \le 4).
Eşitsizlikleri sağlayan tam sayıları belirlemek için.
3
A∩BA \cap B kümesini ve eleman sayısını bul.
A∩B={−1,0,1,2,3,4}A \cap B = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4\}. Eleman sayısı s(A∩B)=6s(A \cap B) = 6.
Her iki kümede ortak olan elemanlar belirlenir.
4
B∩CB \cap C kümesini ve eleman sayısını bul.
BB kümesindeki 'pozitif tek sayılar' (C kümesi tanımı): {1,3}\{1, 3\}. Eleman sayısı s(B∩C)=2s(B \cap C) = 2.
B kümesinin elemanları içinden C kümesinin şartını sağlayanlar seçilir.
5
Sonucu hesapla.
s((A∩B)×(B∩C))=s(A∩B)⋅s(B∩C)=6⋅2=12s((A \cap B) \times (B \cap C)) = s(A \cap B) \cdot s(B \cap C) = 6 \cdot 2 = 12.
Kartezyen çarpımın eleman sayısı, bileşen kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Kartezyen Çarpımın Kesişim Üzerine Dağılma Özelliği
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 9Soru →
Tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}) üzerinde AA ve BB kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:
A={x∈Z:∣x+1∣≤2}A = \{x \in \mathbb{Z} : |x + 1| \le 2\}
B={x∈Z:x2+x−6<0}B = \{x \in \mathbb{Z} : x^2 + x - 6 < 0\}

Buna göre, (A×B)∩(B×A)(A \times B) \cap (B \times A) kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

16
İstenilen küme (A×B)∩(B×A)(A \times B) \cap (B \times A) ifadesidir. Kartezyen çarpımın dağılma özelliğine göre bu ifade (A∩B)×(B∩A)(A \cap B) \times (B \cap A) kümesine eşittir. Kümeler değişmeli olduğu için B∩A=A∩BB \cap A = A \cap B olur. Dolayısıyla sonuç s(A∩B)×s(A∩B)s(A \cap B) \times s(A \cap B) yani [s(A∩B)]2[s(A \cap B)]^2 olacaktır. AA ve BB kümelerinin ortak elemanları {−2,−1,0,1}\{-2, -1, 0, 1\} olup 4 tanedir. Cevap 42=164^2 = 16 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını bulmak için mutlak değer eşitsizliğini çözeriz.
∣x+1∣≤2⇒−2≤x+1≤2⇒−3≤x≤1|x + 1| \le 2 \Rightarrow -2 \le x + 1 \le 2 \Rightarrow -3 \le x \le 1. Tam sayı elemanlar: {−3,−2,−1,0,1}\{-3, -2, -1, 0, 1\}. (s(A)=5s(A)=5)
Mutlak değerli eşitsizliklerin çözüm kuralı uygulanır.
2
B kümesinin elemanlarını bulmak için ikinci dereceden eşitsizliği çözeriz.
x2+x−6<0⇒(x+3)(x−2)<0x^2 + x - 6 < 0 \Rightarrow (x+3)(x-2) < 0. Kökler −3-3 ve 22'dir. Eşitsizlik <0<0 olduğu için kökler arası alınır: (−3,2)(-3, 2). Tam sayı elemanlar: {−2,−1,0,1}\{-2, -1, 0, 1\}. (s(B)=4s(B)=4)
İkinci dereceden eşitsizliklerde işaret tablosu incelenerek çözüm aralığı bulunur.
3
İki kümenin kesişimini (A∩BA \cap B) buluruz.
A={−3,−2,−1,0,1}A = \{-3, -2, -1, 0, 1\} ve B={−2,−1,0,1}B = \{-2, -1, 0, 1\} olduğu için ortak elemanlar {−2,−1,0,1}\{-2, -1, 0, 1\}'dir. s(A∩B)=4s(A \cap B) = 4.
Kartezyen çarpımların kesişimini hesaplamak için önce kümelerin kesişimi gereklidir.
4
Kartezyen çarpımın kesişim özelliğini kullanarak sonucu hesaplarız.
s[(A×B)∩(B×A)]=s(A∩B)×s(B∩A)=4×4=16s[(A \times B) \cap (B \times A)] = s(A \cap B) \times s(B \cap A) = 4 \times 4 = 16.
Özellik: (A×B)∩(C×D)=(A∩C)×(B∩D)(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D). Burada C=BC=B ve D=AD=A alınır.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpımların kesişimi, kümelerin kesişimlerinin kartezyen çarpımına eşittir: (A×B)∩(B×A)=(A∩B)×(A∩B)(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (A \cap B).

İpuçları

1
Önce A ve B kümelerinin elemanlarını liste yöntemiyle açıkça yazınız.

Daha Fazla Pratik

İki kümenin birleşiminin kartezyen çarpımı ile ilgili sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 10Soru →
A ve B boş kümeden farklı iki küme ve B⊂AB \subset A olmak üzere,
K=(A×A)∖(B×B)K = (A \times A) \setminus (B \times B)
kümesi tanımlanıyor.

K kümesinin eleman sayısının 48 olduğu bilindiğine göre, A kümesinin eleman sayısı en az kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

A kümesinin eleman sayısı en az 7'dir.
Verilen K=(A×A)∖(B×B)K = (A \times A) \setminus (B \times B) ifadesi, B⊂AB \subset A koşulu altında, eleman sayısının s(A)2−s(B)2s(A)^2 - s(B)^2 olduğunu gösterir. a2−b2=48a^2 - b^2 = 48 eşitliğini sağlayan pozitif tam sayılar arandığında, (a−b)(a-b) ve (a+b)(a+b) çarpanlarının aynı paritede (ikisi de çift) olması gerektiği görülür. Bu koşulu sağlayan çarpan çiftleri (2, 24), (4, 12) ve (6, 8)'dir. Bu çiftlerden elde edilen aa değerleri sırasıyla 13, 8 ve 7'dir. En küçük değer 7'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Kartezyen çarpım ve fark kümesi özelliklerini kullanarak denklem kur.
s(A)=as(A)=a ve s(B)=bs(B)=b olsun. B⊂AB \subset A olduğundan B×B⊂A×AB \times B \subset A \times A'dır. Bu durumda s(K)=s(A×A)−s(B×B)=a2−b2=48s(K) = s(A \times A) - s(B \times B) = a^2 - b^2 = 48 olur.
Alt küme ilişkisi olduğu için eleman sayıları doğrudan çıkarılabilir.
2
İki kare farkı özdeşliğini kullanarak ifadeyi çarpanlarına ayır.
(a−b)⋅(a+b)=48(a-b) \cdot (a+b) = 48 denklemi elde edilir.
Tam sayı çözümlerini bulmak için ifade çarpım durumuna getirilmelidir.
3
Çarpanların tek-çift durumunu incele.
Çarpımları 48 (çift) olan iki sayının toplamı (2a2a) çift olacağından, çarpanların ikisi de çift sayı olmalıdır.
Teklik-çiftlik analizi yapılarak 1x48 ve 3x16 gibi geçersiz durumlar elenir.
4
Olası çarpan çiftlerini (ikisi de çift olan) incele ve aa değerlerini bul.
Durum 1: a−b=2,a+b=24⇒2a=26⇒a=13a-b=2, a+b=24 \Rightarrow 2a=26 \Rightarrow a=13
Durum 2: a−b=4,a+b=12⇒2a=16⇒a=8a-b=4, a+b=12 \Rightarrow 2a=16 \Rightarrow a=8
Durum 3: a−b=6,a+b=8⇒2a=14⇒a=7a-b=6, a+b=8 \Rightarrow 2a=14 \Rightarrow a=7
Tüm geçerli tamsayı ikililerini belirlemek için.
5
En küçük aa değerini seç.
Bulunan değerler (13, 8, 7) arasından en küçük olan 7'dir.
Soru en az değeri sormaktadır.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpımın eleman sayısı özellikleri ve iki kare farkı özdeşliğinin sayı teorisiyle ilişkisi.

İpuçları

1
B⊂AB \subset A olduğu için B×BB \times B kümesi A×AA \times A kümesinin alt kümesidir. Eleman sayılarını doğrudan çıkarabilirsiniz.
2
s(A)=as(A)=a ve s(B)=bs(B)=b derseniz, problem a2−b2=48a^2 - b^2 = 48 denklemini sağlayan en küçük aa sayısını bulmaya dönüşür.
3
48 sayısının çarpanlarını düşünün (örneğin 6×86 \times 8). (a−b)(a-b) ve (a+b)(a+b) çarpanlarının toplamı 2a2a (çift sayı) olmalıdır, bu yüzden her iki çarpan da çift sayı olmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla kurgulanmış, ancak (A×B)∪(B×A)(A \times B) \cup (B \times A) eleman sayısını soran soruları inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tam kare sayıları listeleyerek farkı 48 olanları arayabilirsiniz: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 (49-1=48). 72−12=487^2 - 1^2 = 48 eşitliğini hızlıca görebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 11Soru →

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı AA ve BB kümeleri aşağıdaki gibi verilmiştir:

A={x∈Z+:x<60 ve x,4 ile kalansız bo¨lu¨nu¨r}A = \{x \in \mathbb{Z}^+ : x < 60 \text{ ve } x, 4 \text{ ile kalansız bölünür}\}
B={x∈Z+:x<60 ve x,6 ile kalansız bo¨lu¨nu¨r}B = \{x \in \mathbb{Z}^+ : x < 60 \text{ ve } x, 6 \text{ ile kalansız bölünür}\}

Buna göre, (A×B)∩(B×A)(A \times B) \cap (B \times A) kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

16
Verilen (A×B)∩(B×A)(A \times B) \cap (B \times A) ifadesi, kartezyen çarpımın özellikleri gereği (A∩B)×(B∩A)(A \cap B) \times (B \cap A) ifadesine eşittir. Kesişim işlemi değişmeli olduğundan bu ifade aslında (A∩B)×(A∩B)(A \cap B) \times (A \cap B) demektir. A∩BA \cap B kümesi, 60'tan küçük olup hem 4'e hem de 6'ya (yani EKOK'ları olan 12'ye) bölünen pozitif tam sayılardır. Bu sayılar {12,24,36,48}\{12, 24, 36, 48\} olup toplam 4 tanedir. Kartezyen çarpımın eleman sayısı s(A∩B)⋅s(A∩B)=4⋅4=16s(A \cap B) \cdot s(A \cap B) = 4 \cdot 4 = 16 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İstenen ifadeyi kartezyen çarpımın kesişim özelliği kullanılarak sadeleştirme.
(A×B)∩(B×A)=(A∩B)×(B∩A)(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (B \cap A)
Kartezyen çarpımın kesişim üzerine dağılma özelliği: (A×B)∩(C×D)=(A∩C)×(B∩D)(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D).
2
Kesişim kümesinin değişme özelliğini kullanma.
A∩B=B∩AA \cap B = B \cap A olduğundan, ifade (A∩B)×(A∩B)(A \cap B) \times (A \cap B) halini alır.
İşlemi basitleştirmek için kümelerin aynı olduğunu belirlemek gerekir.
3
A∩BA \cap B kümesinin elemanlarını belirleme.
Hem 4'e hem 6'ya bölünen sayılar EKOK(4,6)=12'nin katlarıdır. x<60x < 60 şartını sağlayanlar: {12,24,36,48}\{12, 24, 36, 48\}.
Ortak elemanları bulmak için sayıların en küçük ortak katı (EKOK) hesaplanır.
4
Eleman sayılarını kullanarak sonucu hesaplama.
s(A∩B)=4s(A \cap B) = 4 olduğundan, s((A∩B)×(A∩B))=4×4=16s((A \cap B) \times (A \cap B)) = 4 \times 4 = 16.
Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Kartezyen Çarpımın Kesişim Özelliği

İpuçları

1
İşlemi kolaylaştırmak için (A×B)∩(B×A)(A \times B) \cap (B \times A) ifadesini (A∩B)×(B∩A)(A \cap B) \times (B \cap A) şeklinde yazabilirsiniz.
2
Bir sayının hem 4'e hem de 6'ya bölünebilmesi için, bu sayıların en küçük ortak katı (EKOK) olan 12'ye bölünmesi gerekir.
3
60'tan küçük ve 12'nin katı olan kaç sayı olduğunu bulun, sonra bu sayıyı kendisiyle çarpın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, (A×B)∪(A×C)(A \times B) \cup (A \times C) ifadesinin eleman sayısını soran sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 12Soru →

AA kümesi 120 sayısının, BB kümesi ise 180 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinden oluşmaktadır. Buna göre, (A∖B)×(B∖A)(A \setminus B) \times (B \setminus A) kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Kartezyen çarpımın eleman sayısı 24'tür.
Kartezyen çarpımın eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir. Burada kümeler fark kümeleri olduğundan, önce AA ve BB kümelerinin eleman sayıları, sonra kesişimlerinin eleman sayısı bulunarak fark kümelerinin büyüklükleri hesaplanmalıdır. 120 ve 180 sayılarının pozitif bölen sayıları ve EBOB'larının (60) bölen sayısı kullanılarak sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin eleman sayısını bulmak için 120 sayısını asal çarpanlarına ayır ve pozitif bölen sayısını hesapla.
120=23⋅31⋅51120 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1 olduğundan s(A)=(3+1)(1+1)(1+1)=4⋅2⋅2=16s(A) = (3+1)(1+1)(1+1) = 4 \cdot 2 \cdot 2 = 16.
Pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı, asal çarpanların üslerinin birer fazlasının çarpımıdır.
2
B kümesinin eleman sayısını bulmak için 180 sayısını asal çarpanlarına ayır ve pozitif bölen sayısını hesapla.
180=22⋅32⋅51180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1 olduğundan s(B)=(2+1)(2+1)(1+1)=3⋅3⋅2=18s(B) = (2+1)(2+1)(1+1) = 3 \cdot 3 \cdot 2 = 18.
B kümesinin eleman sayısı da aynı yöntemle bulunur.
3
A ve B kümelerinin kesişimini (EBOB'un bölenleri) bul.
EBOB(120,180)=60EBOB(120, 180) = 60. 60=22⋅31⋅5160 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1. s(A∩B)=(2+1)(1+1)(1+1)=3⋅2⋅2=12s(A \cap B) = (2+1)(1+1)(1+1) = 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12.
Kesişim kümesi, her iki sayıyı da bölen sayılardan yani EBOB'un bölenlerinden oluşur.
4
Fark kümelerinin eleman sayılarını hesapla.
s(A∖B)=s(A)−s(A∩B)=16−12=4s(A \setminus B) = s(A) - s(A \cap B) = 16 - 12 = 4 ve s(B∖A)=s(B)−s(A∩B)=18−12=6s(B \setminus A) = s(B) - s(A \cap B) = 18 - 12 = 6.
Bir kümenin fark eleman sayısı, o kümenin toplam eleman sayısından kesişimdeki eleman sayısının çıkarılmasıyla bulunur.
5
Kartezyen çarpımın eleman sayısı formülünü uygula.
s((A∖B)×(B∖A))=s(A∖B)⋅s(B∖A)=4⋅6=24s((A \setminus B) \times (B \setminus A)) = s(A \setminus B) \cdot s(B \setminus A) = 4 \cdot 6 = 24.
s(K×L)=s(K)⋅s(L)s(K \times L) = s(K) \cdot s(L) kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Bölen sayıları ile küme farkı ve kartezyen çarpım özellikleri

İpuçları

1
Bir sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulmak için o sayıyı asal çarpanlarına ayırın.
2
İki kümenin farkının eleman sayısını bulmak için, kümenin kendi eleman sayısından kesişim kümesinin eleman sayısını çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantığı 3 küme için veya tam sayı bölenleri (negatifler dahil) için uygulayan bir soru çözün.

Alternatif Yöntem

Kümelerin elemanlarını tek tek yazarak da (küçük sayılar için) fark kümelerini bulabilirsiniz.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 13Soru →

A={x∈Z:∣x+2∣≤3}A = \{x \in \mathbb{Z} : |x + 2| \le 3\} ve B={y∈Z:∣y−1∣≤4}B = \{y \in \mathbb{Z} : |y - 1| \le 4\} kümeleri veriliyor.

Buna göre, analitik düzlemde grafiği çizilen A×BA \times B kümesinin tüm elemanlarını içine alan en küçük dairenin yarıçapı kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

En küçük dairenin yarıçapı 5 birimdir.
Verilen mutlak değer eşitsizlikleri çözüldüğünde, A kümesi [−5,1][-5, 1] aralığında (uzunluk 6), B kümesi [−3,5][-3, 5] aralığında (uzunluk 8) değerler alır. A×BA \times B kümesi bu sınırlar içinde bir dikdörtgensel bölge oluşturur. Bu dikdörtgeni içine alan en küçük dairenin çapı, dikdörtgenin köşegen uzunluğuna eşittir. Pisagor teoreminden köşegen 62+82=10\sqrt{6^2 + 8^2} = 10 birim bulunur. Yarıçap ise çapın yarısı olduğundan 5 birimdir.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını ve sayı doğrusundaki uzunluğunu belirle.
∣x+2∣≤3⇒−3≤x+2≤3⇒−5≤x≤1|x + 2| \le 3 \Rightarrow -3 \le x + 2 \le 3 \Rightarrow -5 \le x \le 1. Bu aralığın uzunluğu 1−(−5)=61 - (-5) = 6 birimdir.
Mutlak değer eşitsizliğini çözerek x'in alabileceği en küçük ve en büyük değerleri bulmak gerekir.
2
B kümesinin elemanlarını ve sayı doğrusundaki uzunluğunu belirle.
∣y−1∣≤4⇒−4≤y−1≤4⇒−3≤y≤5|y - 1| \le 4 \Rightarrow -4 \le y - 1 \le 4 \Rightarrow -3 \le y \le 5. Bu aralığın uzunluğu 5−(−3)=85 - (-3) = 8 birimdir.
Benzer şekilde y'nin aralığını belirlemek gerekir.
3
A x B kümesinin analitik düzlemde oluşturduğu dikdörtgensel bölgenin boyutlarını analiz et.
Noktalar yatayda 6 birim, dikeyde 8 birim genişliğinde bir dikdörtgen bloğu oluşturur.
Kartezyen çarpım grafiği, bu aralıklardaki tam sayı ikililerinden oluşur.
4
Tüm noktaları içine alan en küçük dairenin yarıçapını hesapla.
Dikdörtgenin köşegeni dairenin çapı olacaktır. Çap = 62+82=36+64=100=10\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10. Yarıçap = 10/2=510 / 2 = 5.
En uzak iki nokta arasındaki mesafe (köşegen) çapı verir.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpım kümesinin grafiği, bileşen kümelerinin sınırlarının oluşturduğu dikdörtgensel bölgeyi doldurur. Bu kümeyi kapsayan en küçük daire, bu dikdörtgenin çevrel çemberidir.

İpuçları

1
Önce A ve B kümelerinin elemanlarını listeleyerek veya aralıklarını bularak sayı doğrusundaki uzunluklarını belirleyin.
2
A×BA \times B kümesinin elemanları analitik düzlemde bir dikdörtgen prizması (ızgara) oluşturur. Bu dikdörtgenin kenar uzunlukları 6 ve 8 birimdir.
3
Bir dikdörtgeni içine alan en küçük dairenin çapı, o dikdörtgenin köşegenidir. 6-8-10 üçgenini hatırlayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, üç boyutlu uzayda (A x B x C) kümesini kapsayan en küçük kürenin yarıçapını soran bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Mutlak değer eşitsizliği ∣x−a∣≤r|x-a| \le r formundadır ve buradaki rr aslında o boyuttaki 'yarıçap' gibidir. A kümesinin yarıçapı 3, B kümesinin yarıçapı 4'tür. İki boyutlu uzayda bileşke yarıçap R=32+42=5R = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 formülüyle de bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 14Soru →
Gerçel sayılar kümesi (R\mathbb{R}) üzerinde AA ve BB alt kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:
A={x∈R:x2−4x≤0}A = \{x \in \mathbb{R} : x^2 - 4x \le 0\}
B={x∈R:∣x−1∣≤2}B = \{x \in \mathbb{R} : |x - 1| \le 2\}
Analitik düzlemde, elemanları bu kümelerin kartezyen çarpımlarından oluşan β1=A×B\beta_1 = A \times B ve β2=B×A\beta_2 = B \times A bölgeleri veriliyor.

Buna göre, (β1∪β2)(\beta_1 \cup \beta_2) birleşim bölgesinin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 23

Cevap

İstenen bölgenin alanı 23 birimkaredir.
Doğru cevap, kartezyen çarpım bölgelerinin ayrı ayrı alanlarının toplamından, üst üste binen ortak kesişim bölgesinin alanının çıkarılmasıyla bulunur. A ve B kümeleri 4'er birim uzunluğunda aralıklar olduğu için her iki kare bölge 16 birimkaredir. Kesişimleri ise 3 birim uzunluğunda aralıklar olduğundan ortak bölge 9 birimkaredir. Sonuç 16+16−9=2316+16-9=23 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin aralığını belirle.
x(x−4)≤0x(x-4) \le 0 eşitsizliğinin kökleri 0 ve 4'tür. Çözüm aralığı A=[0,4]A = [0, 4] olur. Uzunluk ∣A∣=4|A| = 4 birimdir.
İkinci dereceden eşitsizliklerde kökler arası (katsayı pozitif ise negatif bölge) çözüm kümesidir.
2
B kümesinin aralığını belirle.
∣x−1∣≤2|x - 1| \le 2 eşitsizliği −2≤x−1≤2-2 \le x - 1 \le 2 olarak açılır. Her tarafa 1 eklenirse −1≤x≤3-1 \le x \le 3 olur. Yani B=[−1,3]B = [-1, 3] aralığıdır. Uzunluk ∣B∣=4|B| = 4 birimdir.
Mutlak değerli eşitsizliklerin çözüm kuralı uygulanır.
3
Kartezyen çarpım bölgelerinin (β1β_1 ve β2β_2) alanlarını hesapla.
Alan(β1β_1) = ∣A∣⋅∣B∣=4⋅4=16|A| \cdot |B| = 4 \cdot 4 = 16 br².
Alan(β2β_2) = ∣B∣⋅∣A∣=4⋅4=16|B| \cdot |A| = 4 \cdot 4 = 16 br².
Dikdörtgen şeklindeki kartezyen çarpım bölgesinin alanı, kümelerin uzunluklarının çarpımıdır.
4
Kesişim bölgesinin (β1∩β2β_1 \cap β_2) alanını bul.
β1∩β2=(A∩B)×(B∩A)β_1 \cap β_2 = (A \cap B) \times (B \cap A) şeklindedir.
A∩B=[0,4]∩[−1,3]=[0,3]A \cap B = [0, 4] \cap [-1, 3] = [0, 3] aralığıdır (Uzunluk 3).
B∩A=[−1,3]∩[0,4]=[0,3]B \cap A = [-1, 3] \cap [0, 4] = [0, 3] aralığıdır (Uzunluk 3).
Kesişim Alanı = 3⋅3=93 \cdot 3 = 9 br².
İki kartezyen çarpımın kesişimi, bileşen kümelerin kesişimlerinin kartezyen çarpımına eşittir.
5
Birleşim formülünü uygula.
Alan(β1∪β2β_1 \cup β_2) = Alan(β1β_1) + Alan(β2β_2) - Alan(β1∩β2β_1 \cap β_2) = 16+16−9=2316 + 16 - 9 = 23.
Kümelerde birleşim işlemi prensibi (Inclusion-Exclusion Principle).

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpımın geometrik yorumu ve kümelerde birleşim işlemi.

İpuçları

1
Önce A ve B kümelerini sayı doğrusu üzerinde aralık olarak çizin ve uzunluklarını bulun.
2
Analitik düzlemde A×BA \times B bölgesi, tabanı A, yüksekliği B olan bir dikdörtgendir. Bu iki dikdörtgenin kesişim bölgesini (A∩BA \cap B) düşünün.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, (A×A)∩(B×B)(A \times A) \cap (B \times B) bölgesinin alanını soran bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Grafik Çizimi: Koordinat sisteminde x ekseninde [0,4], y ekseninde [-1,3] aralığını tarayarak bir dikdörtgen çizin. Aynısını eksenleri değiştirerek yapın. Oluşan şeklin toplam alanını küçük kareleri sayarak da bulabilirsiniz.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 15Soru →

A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\} ve B={a,b}B = \{a, b\} kümeleri veriliyor. Buna göre, B×AB \times A kartezyen çarpım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}\{(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)\}

Cevap

Kartezyen çarpım kümesi, birinci bileşeni ilk kümeden (BB), ikinci bileşeni ikinci kümeden (AA) seçilerek oluşturulan tüm sıralı ikililerin kümesidir; bu da {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}\{(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)\} kümesini verir.
Kartezyen çarpım işlemi B×AB \times A şeklinde sorulduğunda, her sıralı ikilinin ilk elemanı BB kümesinden (aa veya bb), ikinci elemanı ise AA kümesinden (1,21, 2 veya 33) seçilmelidir. Bu kurala uygun olarak oluşturulan tüm ikililer doğru seçenekte verilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
B×AB \times A işleminin tanımını yapın.
B×A={(x,y):x∈B ve y∈A}B \times A = \{(x, y) : x \in B \text{ ve } y \in A\} şeklinde tanımlanır.
Kartezyen çarpımda elemanların sırası çok önemlidir; ilk yazılan kümenin elemanları sıralı ikililerin birinci bileşeni olur.
2
BB kümesindeki ilk eleman olan 'aa' için AA kümesinin her bir elemanıyla eşleşme yapın.
{(a,1),(a,2),(a,3)}\{(a, 1), (a, 2), (a, 3)\} ikilileri elde edilir.
Tüm olası eşleşmeleri sistematik bir şekilde bulmak gerekir.
3
BB kümesindeki ikinci eleman olan 'bb' için AA kümesinin her bir elemanıyla eşleşme yapın.
{(b,1),(b,2),(b,3)}\{(b, 1), (b, 2), (b, 3)\} ikilileri elde edilir.
Kümedeki her bir elemanın diğer kümedeki tüm elemanlarla eşleştiğinden emin olunmalıdır.
4
Bulunan tüm sıralı ikilileri bir küme içine yazın.
B×A={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}B \times A = \{(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)\}
Kartezyen çarpım kümesi tüm bu eşleşmelerin birleşimidir.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpımda sıralı ikililerin oluşturulması ve küme sırasının önemi.

İpuçları

1
Kartezyen çarpımda B×AB \times A dendiğinde, ilk kümenin BB olduğunu unutmayın.
2
Oluşturacağınız her parantez içindeki ilk eleman aa veya bb harfi olmalıdır.
3
BB kümesinde 2, AA kümesinde 3 eleman olduğu için toplam 2×3=62 \times 3 = 6 tane sıralı ikili bulmalısınız.

Daha Fazla Pratik

Sıralı ikililerin yerini değiştirerek A×BA \times B kümesini yazmayı ve eleman sayılarını karşılaştırmayı deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 16Soru →

Tam sayılar kümesi (Z\mathbb{Z}) üzerinde tanımlı AA ve BB kümeleri aşağıdaki gibi verilmiştir:

A={x∈Z:∣x∣≤3}A = \{x \in \mathbb{Z} : |x| \le 3\}
B={x∈Z:−5<x≤1}B = \{x \in \mathbb{Z} : -5 < x \le 1\}

Buna göre, (A×B)∖(B×A)(A \times B) \setminus (B \times A) kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

17
Soruda istenen (A×B)∖(B×A)(A \times B) \setminus (B \times A) kümesinin eleman sayısını bulmak için, önce AA ve BB kümelerinin eleman sayılarını ve kesişimlerinin eleman sayısını belirlemeliyiz. s(A)=7s(A)=7 ve s(B)=6s(B)=6 olarak bulunur. Kartezyen çarpımın toplam eleman sayısı s(A×B)=7⋅6=42s(A \times B) = 7 \cdot 6 = 42'dir. Çıkarılacak kısım olan kesişim kümesi (A×B)∩(B×A)(A \times B) \cap (B \times A), aslında (A∩B)×(A∩B)(A \cap B) \times (A \cap B) kümesine eşittir. Ortak eleman sayısı s(A∩B)=5s(A \cap B) = 5 olduğundan, kesişim bölgesindeki eleman sayısı 5⋅5=255 \cdot 5 = 25 olur. Sonuç olarak 42−25=1742 - 25 = 17 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını belirle.
∣x∣≤3  ⟹  −3≤x≤3|x| \le 3 \implies -3 \le x \le 3. A={−3,−2,−1,0,1,2,3}A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}. s(A)=7s(A) = 7.
Mutlak değer eşitsizliği çözülerek kümenin elemanları listelenir.
2
B kümesinin elemanlarını belirle.
−5<x≤1-5 < x \le 1. B={−4,−3,−2,−1,0,1}B = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1\}. s(B)=6s(B) = 6.
Basit eşitsizlik aralığındaki tam sayılar listelenir.
3
A ve B kümelerinin kesişimini (A∩BA \cap B) bul.
A∩B={−3,−2,−1,0,1}A \cap B = \{-3, -2, -1, 0, 1\}. s(A∩B)=5s(A \cap B) = 5.
Her iki kümede ortak olan elemanlar belirlenir.
4
İstenen kümenin eleman sayısını formülle hesapla.
s((A×B)∖(B×A))=s(A×B)−s((A×B)∩(B×A))s((A \times B) \setminus (B \times A)) = s(A \times B) - s((A \times B) \cap (B \times A)). Kesişim özelliği gereği bu ifade s(A)⋅s(B)−[s(A∩B)]2s(A) \cdot s(B) - [s(A \cap B)]^2 olur.
7⋅6−52=42−25=177 \cdot 6 - 5^2 = 42 - 25 = 17.
Kartezyen çarpımın fark ve kesişim özellikleri kullanılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Kartezyen Çarpım ve Küme Farkı Özellikleri

İpuçları

1
Önce A ve B kümelerinin elemanlarını listeleyerek her birinin eleman sayısını bulun.
2
İki kartezyen çarpım kümesinin kesişiminin formülünü hatırlayın: (A×B)∩(B×A)=(A∩B)×(B∩A)(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (B \cap A).

Alternatif Yöntem

Kümeleri görselleştirmek için bir koordinat düzlemi çizebilirsiniz. A kümesini x ekseninde, B kümesini y ekseninde işaretleyerek A×BA \times B dikdörtgenini oluşturun. Çıkarılacak olan B×AB \times A bölgesinin bu dikdörtgenle nerede kesiştiğini (ortak kare bölgeyi) belirleyip toplam noktadan çıkarın.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 17Soru →

Bir gıda denetiminde incelenecek olan ürünler A={Su¨t, Peynir, Yog˘urt}A = \{\text{Süt, Peynir, Yoğurt}\} kümesi ile, bu ürünlerin gönderileceği laboratuvarlar ise B={Laboratuvar-1, Laboratuvar-2}B = \{\text{Laboratuvar-1, Laboratuvar-2}\} kümesi ile tanımlanmıştır.

Buna göre, her bir ürünün her bir laboratuvara gönderilme durumlarını eşleştirmek amacıyla oluşturulan A×BA \times B kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı 66 olarak bulunur.
Kartezyen çarpım kümesi (A×BA \times B), birinci bileşeni AA kümesinden, ikinci bileşeni BB kümesinden alınan tüm sıralı ikililerin kümesidir. Bu kümenin toplam eleman sayısını bulmak için her bir kümenin kaçar elemanı olduğunu bulup çarpmamız gerekir. AA kümesinde 3 ürün, BB kümesinde 2 laboratuvar bulunduğu için toplam 3×2=63 \times 2 = 6 farklı eşleşme (eleman) oluşur.

Adım Adım Çözüm

1
AA kümesinin eleman sayısını belirle.
s(A)=3s(A) = 3
A={Su¨t, Peynir, Yog˘urt}A = \{\text{Süt, Peynir, Yoğurt}\} olduğu için üç elemanı vardır.
2
BB kümesinin eleman sayısını belirle.
s(B)=2s(B) = 2
B={Laboratuvar-1, Laboratuvar-2}B = \{\text{Laboratuvar-1, Laboratuvar-2}\} olduğu için iki elemanı vardır.
3
Kartezyen çarpım eleman sayısı formülünü uygula.
s(A×B)=s(A)×s(B)=3×2=6s(A \times B) = s(A) \times s(B) = 3 \times 2 = 6
Kartezyen çarpımın eleman sayısı, çarpımı oluşturan kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

İki kümenin kartezyen çarpımının eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayılarının çarpımı ile bulunur: s(A×B)=s(A)⋅s(B)s(A \times B) = s(A) \cdot s(B).

İpuçları

1
Her bir ürünün kaç farklı laboratuvara gönderilebileceğini düşünün.
2
AA kümesinin eleman sayısını (s(A)s(A)) ve BB kümesinin eleman sayısını (s(B)s(B)) ayrı ayrı bulun.
3
Kartezyen çarpımın eleman sayısı için s(A×B)=s(A)⋅s(B)s(A \times B) = s(A) \cdot s(B) formülünü kullanın.

Daha Fazla Pratik

Aynı kümeler için B×AB \times A kümesinin eleman sayısını bulmayı deneyin. Sonucun değişip değişmediğini kontrol edin.

Alternatif Yöntem

Tüm ikilileri listeleyerek de sayabilirsiniz: (Süt, Lab1), (Süt, Lab2), (Peynir, Lab1), (Peynir, Lab2), (Yoğurt, Lab1), (Yoğurt, Lab2). Toplamda 6 ikili oluşur.
Tahmini Süre:45s
Soru 18Soru →
Z\mathbb{Z} tam sayılar kümesi olmak üzere,
A={x∈Z:∣x−1∣≤3}A = \{x \in \mathbb{Z} : |x-1| \le 3\}
B={1,2,3,4}B = \{1, 2, 3, 4\}
C={x∈Z:x2<16}C = \{x \in \mathbb{Z} : x^2 < 16\}
kümeleri veriliyor.

Buna göre, (A×B)∩(C×B)(A \times B) \cap (C \times B) kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Doğru cevap 24'tür.
İstenen ifade (A∩C)×B(A \cap C) \times B şeklinde düzenlendiğinde işlem çok daha kısalır. AA kümesi {−2,…,4}\{-2, \dots, 4\} ve CC kümesi {−3,…,3}\{-3, \dots, 3\} olarak bulunduğunda, ortak elemanlar {−2,−1,0,1,2,3}\{-2, -1, 0, 1, 2, 3\} olur. Bu 6 elemanlı küme ile 4 elemanlı BB kümesinin kartezyen çarpımı 6×4=246 \times 4 = 24 elemanlıdır.

Adım Adım Çözüm

1
İstenen ifadeyi kartezyen çarpımın dağılma özelliği kullanarak sadeleştirme
(A×B)∩(C×B)=(A∩C)×B(A \times B) \cap (C \times B) = (A \cap C) \times B
İşlem kolaylığı sağlamak için kartezyen çarpımın kesişim üzerine dağılma özelliği kullanılır. Bu sayede iki büyük kümeyi hesaplamak yerine önce kümelerin kesişimi bulunur.
2
A kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle bulma
A={−2,−1,0,1,2,3,4}A = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\} (s(A)=7s(A)=7)
∣x−1∣≤3⇒−3≤x−1≤3⇒−2≤x≤4|x-1| \le 3 \Rightarrow -3 \le x-1 \le 3 \Rightarrow -2 \le x \le 4 eşitsizliğini sağlayan tam sayılar.
3
C kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle bulma
C={−3,−2,−1,0,1,2,3}C = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\} (s(C)=7s(C)=7)
x2<16⇒−4<x<4x^2 < 16 \Rightarrow -4 < x < 4 eşitsizliğini sağlayan tam sayılar (sınırlar dahil değil).
4
A ve C kümelerinin kesişimini (A∩CA \cap C) bulma
A∩C={−2,−1,0,1,2,3}A \cap C = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\} (s(A∩C)=6s(A \cap C) = 6)
Her iki kümede ortak olan elemanlar belirlenir. -3 elemanı A'da yok, 4 elemanı C'de yoktur.
5
Kartezyen çarpım eleman sayısını hesaplama
s((A∩C)×B)=6×4=24s((A \cap C) \times B) = 6 \times 4 = 24
s(A×B)=s(A)⋅s(B)s(A \times B) = s(A) \cdot s(B) formülü uygulanır. BB kümesinin eleman sayısı 4'tür.

Anahtar Kavram

Kartezyen Çarpımın Kesişim Üzerine Dağılma Özelliği

İpuçları

1
İki kartezyen çarpım kümesinin kesişimini tek tek hesaplamak yerine, (A×B)∩(C×B)=(A∩C)×B(A \times B) \cap (C \times B) = (A \cap C) \times B özdeşliğini kullanmayı deneyin.
2
CC kümesi için x2<16x^2 < 16 eşitsizliğini sağlayan tam sayıları bulurken negatif sayıları ve sınır değerlerini (<<) dikkatli kontrol edin.
3
A={−2,−1,0,1,2,3,4}A = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\} ve C={−3,−2,−1,0,1,2,3}C = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\} kümelerinin ortak elemanlarını bulun ve BB kümesinin eleman sayısıyla çarpın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla (A×B)∪(A×C)(A \times B) \cup (A \times C) işleminin eleman sayısını soran bir soru çözebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 19Soru →
Tam sayılar kümesi Z\mathbb{Z} üzerinde AA ve BB kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:
A={x∈Z:−2≤x≤3}A = \{x \in \mathbb{Z} : -2 \leq x \leq 3\}
B={x∈Z:1≤x≤6}B = \{x \in \mathbb{Z} : 1 \leq x \leq 6\}
Buna göre, (A×B)∪(B×A)(A \times B) \cup (B \times A) kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 63

Cevap

Kartezyen çarpım kümelerinin birleşiminin eleman sayısı 63 olarak bulunur.
Doğru cevap olan 63 değerine ulaşmak için öncelikle her iki kümenin eleman sayısı (6) belirlenir. Ardından kartezyen çarpımların eleman sayıları (3636 ve 3636) toplanır. Ancak bu iki kümenin kesişimi olan (A∩B)×(A∩B)(A \cap B) \times (A \cap B) kümesinin elemanları (3×3=93 \times 3 = 9 tane) her iki toplamda da yer aldığı için bir kez çıkarılmalıdır. Sonuç 36+36−9=6336 + 36 - 9 = 63 olur.

Adım Adım Çözüm

1
AA ve BB kümelerinin eleman sayılarının bulunması.
s(A)=3−(−2)+1=6s(A) = 3 - (-2) + 1 = 6 ve s(B)=6−1+1=6s(B) = 6 - 1 + 1 = 6.
Sınırlı tam sayı aralıklarındaki eleman sayısı 'son terim - ilk terim + 1' formülü ile bulunur.
2
A×BA \times B ve B×AB \times A kümelerinin eleman sayılarının hesaplanması.
s(A×B)=6×6=36s(A \times B) = 6 \times 6 = 36 ve s(B×A)=6×6=36s(B \times A) = 6 \times 6 = 36.
Bir kartezyen çarpımın eleman sayısı, bileşen kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.
3
Kesişim kümesi olan (A×B)∩(B×A)(A \times B) \cap (B \times A) eleman sayısının bulunması.
A∩B={1,2,3}A \cap B = \{1, 2, 3\} olduğundan s(A∩B)=3s(A \cap B) = 3. Kesişim kümesi (A∩B)×(A∩B)(A \cap B) \times (A \cap B) olup eleman sayısı 3×3=93 \times 3 = 9 olur.
(A×B)∩(B×A)=(A∩B)×(B∩A)(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (B \cap A) özelliği kullanılır.
4
Birleşim kümesinin eleman sayısı formülünün uygulanması.
s((A×B)∪(B×A))=36+36−9=63s((A \times B) \cup (B \times A)) = 36 + 36 - 9 = 63.
s(X∪Y)=s(X)+s(Y)−s(X∩Y)s(X \cup Y) = s(X) + s(Y) - s(X \cap Y) genel küme birleşim formülü kartezyen çarpım kümeleri için de geçerlidir.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpım kümelerinde birleşim ve kesişim özellikleri

İpuçları

1
Birleşim kümesinin eleman sayısını bulurken s(X∪Y)=s(X)+s(Y)−s(X∩Y)s(X \cup Y) = s(X) + s(Y) - s(X \cap Y) formülünü hatırlayın.
2
(A×B)∩(B×A)(A \times B) \cap (B \times A) kümesinin (A∩B)×(B∩A)(A \cap B) \times (B \cap A) kümesine eşit olduğunu kullanın.
3
A={−2,−1,0,1,2,3}A = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\} ve B={1,2,3,4,5,6}B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} olduğuna göre s(A∩B)s(A \cap B) değerini bulup formülde yerine koyun.

Daha Fazla Pratik

Bu kümelerin analitik düzlemde oluşturduğu kapalı bölgelerin alanlarını hesaplayarak geometrik yorum yapabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 20Soru →

A ve B boş kümeden farklı iki kümedir.

s(A)=6s(A) = 6
s(B)=8s(B) = 8
s((A×B)∪(B×A))=92s((A \times B) \cup (B \times A)) = 92

olduğuna göre, A∪BA \cup B kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Doğru cevap 12 olarak bulunur.
Verilen bilgilerden kartezyen çarpımların eleman sayıları 48 olarak bulunur. Birleşim formülü kullanılarak kartezyen çarpımların kesişiminin eleman sayısı 4 olarak hesaplanır. (A×B)∩(B×A)=(A∩B)×(A∩B)(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (A \cap B) özelliği gereği, bu sayı AA ve BB kümelerinin kesişim sayısının karesidir (k2=4k^2=4). Buradan s(A∩B)=2s(A \cap B)=2 bulunur. Son adımda s(A∪B)=6+8−2=12s(A \cup B) = 6+8-2=12 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kartezyen çarpımın eleman sayısı formülünü kullanın: s(A×B)=s(A)⋅s(B)s(A \times B) = s(A) \cdot s(B).
s(A×B)=6⋅8=48s(A \times B) = 6 \cdot 8 = 48 ve s(B×A)=8⋅6=48s(B \times A) = 8 \cdot 6 = 48.
Her iki kartezyen çarpımın eleman sayısı eşittir.
2
Kümelerde birleşim formülünü kartezyen çarpım kümeleri için yazın: s(X∪Y)=s(X)+s(Y)−s(X∩Y)s(X \cup Y) = s(X) + s(Y) - s(X \cap Y).
92=48+48−s((A×B)∩(B×A))92 = 48 + 48 - s((A \times B) \cap (B \times A))
Verilen birleşim değeri ve hesaplanan eleman sayıları ile kesişim kümesinin büyüklüğünü bulmak için.
3
Kartezyen çarpımların kesişim kümesinin eleman sayısını hesaplayın.
92=96−s((A×B)∩(B×A))⇒s((A×B)∩(B×A))=492 = 96 - s((A \times B) \cap (B \times A)) \Rightarrow s((A \times B) \cap (B \times A)) = 4.
Denklem çözümü.
4
Kartezyen çarpımın kesişim özelliğini hatırlayın: (A×B)∩(B×A)=(A∩B)×(A∩B)(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (A \cap B).
s((A∩B)×(A∩B))=(s(A∩B))2=4s((A \cap B) \times (A \cap B)) = (s(A \cap B))^2 = 4. Buradan s(A∩B)=2s(A \cap B) = 2 bulunur.
Kesişim kümesinin eleman sayısına ulaşmak için kritik özellik.
5
A∪BA \cup B kümesinin eleman sayısını hesaplayın.
s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)=6+8−2=12s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) = 6 + 8 - 2 = 12.
Sonuç istenen değer.

Anahtar Kavram

Kartezyen Çarpımın Kesişim Özelliği

İpuçları

1
Önce s(A×B)s(A \times B) ve s(B×A)s(B \times A) değerlerini hesaplayıp, birleşim formülünü (s(X∪Y)=s(X)+s(Y)−s(X∩Y)s(X \cup Y) = s(X) + s(Y) - s(X \cap Y)) kullanarak kartezyen çarpımların kesişim sayısını bulun.
2
Bulduğunuz değer, (A×B)∩(B×A)(A \times B) \cap (B \times A) kümesinin eleman sayısıdır. Bu küme, (A∩B)×(A∩B)(A \cap B) \times (A \cap B)'ye eşittir.
3
Kartezyen kesişim sayısı 4'tür. Bu sayı, s(A∩B)s(A \cap B)'nin karesidir. Buradan s(A∩B)s(A \cap B)'yi bulup genel birleşim formülünde yerine yazın.
Tahmini Süre:2m 30s
Sayfa 1 / 3Sonraki