Reel sayılar kümesinde A = (-2, 6] ve B = [1, 9) aralıkları veriliyor. Buna göre, (A \time… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Reel sayılar kümesinde $A = (-2, 6]$ ve $B = [1, 9)$ aralıkları veriliyor.

Buna göre, $(A \times B) \cap (B \times A)$ kümesinin elemanlarından kaç tanesinin her iki bileşeni de tam sayıdır?

A
16
B
20
25Cevap
D
36
E
64

Cevap

Her iki bileşeni de tam sayı olan 25 farklı nokta vardır.

İstenen küme

(A \cap B) \times (A \cap B)

şeklinde ifade edilebilir.

A \cap B

kümesi

[1, 6)

aralığıdır ve bu aralıkta 5 adet tam sayı (1, 2, 3, 4, 5) bulunur. Bu nedenle oluşan kartezyen çarpım kümesinde

5 \times 5 = 25

adet tam sayı ikilisi vardır.

Adım Adım Çözüm

Kartezyen çarpımın kesişim özelliğini uygula.

(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (B \cap A)

eşitliği kullanılır.

Kartezyen çarpım işleminin kesişim işlemi üzerine dağılma özelliği vardır ve bu özellik işlemi basitleştirir.

A ve B kümelerinin kesişimini bul.

A \cap B = (-2, 6] \cap [1, 9) = [1, 6)

aralığıdır. (Alt sınırların büyüğü, üst sınırların küçüğü alınır).

Kesişim işlemi, her iki kümede de ortak olan elemanları belirler.

Kesişim kümesindeki tam sayıları belirle.

[1, 6)

aralığındaki tam sayılar:

\{1, 2, 3, 4, 5\}

. Bu kümenin eleman sayısı

s(A \cap B) = 5

tir.

Soruda bileşenlerin tam sayı olması istendiği için aralıktaki tam sayı değerleri sayılır.

Kartezyen çarpımın eleman sayısını hesapla.

s((A \cap B) \times (A \cap B)) = s(A \cap B) \cdot s(A \cap B) = 5 \cdot 5 = 25

Sonlu kümeler için kartezyen çarpımın eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpımın kesişim özelliği:

(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)

İpuçları

Kartezyen çarpımın kesişim özelliğini hatırlayınız:

(A \times B) \cap (B \times A)

ifadesini

(A \cap B) \times (B \cap A)

olarak yazabilirsiniz.

Kesişim işleminin değişme özelliği olduğundan, ifade

(A \cap B) \times (A \cap B)

haline gelir. Öncelikle

A

B

aralıklarının kesişimini bulunuz.

A \cap B = [1, 6)

aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayıların kaç tane olduğunu bulup, kendisiyle çarpınız.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla,

(A \cup B) \times (A \cap B)

kümesinin eleman sayısını soran bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Grafik çizerek çözüm: Koordinat düzleminde x ekseninde A, y ekseninde B aralığını çizip dikdörtgen oluşturun. Aynısını B ve A için yapın. İki dikdörtgenin kesiştiği kare bölgeyi bulun ve içindeki tam sayı noktalarını sayın.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Konular

Bu konudan daha fazla soru