Examkin

Soru

Zorluk: OrtaFaktöriyel (Sayma)
xx ve yy birer doğal sayı olmak üzere,
x!=72⋅y!x! = 72 \cdot y!
eşitliği veriliyor.

Buna göre, yy'nin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    7
  2. B
    71
  3. 78Cevap
  4. D
    79
  5. E
    81

Cevap

y'nin alabileceği değerler 7 ve 71 olup, toplamları 78'dir.
Verilen eşitlik x!y!=72\frac{x!}{y!} = 72 olarak düşünüldüğünde, bu oran ardışık sayıların çarpımı olmalıdır. 72 sayısı ya tek başına 72 olarak (bu durumda y=71y=71) ya da 9⋅89 \cdot 8 olarak (bu durumda y=7y=7) ifade edilebilir. Bu iki durumun toplamı 78'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitliği faktöriyel tanımını kullanarak düzenle.
x!y!=72 \frac{x!}{y!} = 72 Bu ifade, xx'ten başlayarak geriye doğru y+1y+1'e kadar olan ardışık sayıların çarpımının 7272 olduğunu gösterir.
Faktöriyel sadeleştirmesinde büyük faktöriyel, küçük faktöriyele benzetilerek açılır.
2
Çarpımın tek bir terimden oluştuğu durumu (Trivial Durum) incele.
Eğer çarpım tek sayı ise, x=72x = 72 olur. Bu durumda eşitlik 72!=72⋅71!72! = 72 \cdot 71! şeklinde sağlanır. Buradan y=71y = 71 bulunur.
Her n!=n⋅(n−1)!n! = n \cdot (n-1)! kuralı gereği, sayı kendisi ile bir eksiğinin faktöriyelinin çarpımıdır.
3
Çarpımın ardışık iki sayının çarpımı olduğu durumu incele.
7272 sayısı ardışık iki sayının çarpımı olarak 9⋅8=729 \cdot 8 = 72 şeklinde yazılabilir. Bu durumda x=9x=9 olur. İfade 9!=9⋅8⋅7!9! = 9 \cdot 8 \cdot 7! şeklinde düzenlenirse, 9!=72⋅7!9! = 72 \cdot 7! elde edilir. Buradan y=7y = 7 bulunur.
x!/y!x! / y! ifadesi ardışık sayıların çarpımıdır.
4
Bulunan değerleri topla.
71+7=7871 + 7 = 78
Soruda yy'nin alabileceği değerlerin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Faktöriyel kavramında n!=n⋅(n−1)!n! = n \cdot (n-1)! ve n!=n⋅(n−1)⋅(n−2)!n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2)! gibi indirgeme özelliklerinin kullanımı.

İpuçları

1
Eşitliği x!y!=72\frac{x!}{y!} = 72 şeklinde yazarak düşünün.
2
Faktöriyel sadeleştirmesinde sonucun (7272'nin) ardışık sayıların çarpımı olması gerekir.
3
72 sayısı kendisi (7272) olarak veya iki ardışık sayının çarpımı (9⋅89 \cdot 8) olarak düşünülebilir.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla x!=210⋅y!x! = 210 \cdot y! eşitliğinde yy'nin alabileceği değerleri bulunuz (210=210210 = 210, 15⋅1415 \cdot 14, 7⋅6⋅57 \cdot 6 \cdot 5 durumları).
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Faktöriyel (Sayma)

Bu konudan daha fazla soru