x ve y pozitif tam sayılar olmak üzere, 14! \cdot x = y^2 \neşitliği verilmiştir. Buna göre, x'in alabileceği **en küçük** değerin rakamları toplamı kaçtır?

x ve y pozitif tam sayılar olmak üzere, 14! \cdot x = y^2 \neşitliği verilmiştir. Buna gör… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

x

y

pozitif tam sayılar olmak üzere,

14! \cdot x = y^2

eşitliği verilmiştir. Buna göre,

x

'in alabileceği en küçük değerin rakamları toplamı kaçtır?

Rakamları toplamı 21 olan sayı

Verilen eşitlikte

14! \cdot x

ifadesinin bir tam kare (

y^2

) olması istenmektedir. Bir sayının tam kare olabilmesi için asal çarpanlarına ayrıldığında tüm asal çarpanların üslerinin çift sayı olması gerekir.

14!

'in asal çarpanları incelendiğinde

2^{11}

3^5

11^1

13^1

üslerinin tek olduğu görülür. Bu üsleri çift yapmak için

x

sayısı en az

2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 13 = 858

olmalıdır. Bu sayının rakamları toplamı

8+5+8=21

bulunur.

14! sayısının asal çarpanlarını ve kuvvetlerini belirle.

14! = 2^{11} \cdot 3^5 \cdot 5^2 \cdot 7^2 \cdot 11^1 \cdot 13^1

Bir sayının tam kare olabilmesi için asal çarpanlarının üsleri çift sayı olmalıdır.

Üssü tek olan asal çarpanları tespit et.

Üssü tek olanlar:

2^{11} (2), 3^5 (3), 11^1 (11), 13^1 (13)

Bu çarpanların üslerini çift yapmak için en az birer tane daha gereklidir.

x sayısını oluşturmak için eksik çarpanları çarp.

x = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 11^1 \cdot 13^1 = 858

En küçük x değeri için sadece zorunlu çarpanlar alınır.

Bulunan x sayısının rakamlarını topla.

8 + 5 + 8 = 21

Soruda istenen sonuç rakamlar toplamıdır.

Tam Kare Özelliği ve Asal Çarpanlara Ayırma

Bir sayının tam kare olabilmesi için, asal çarpanlarına ayrılmış halinde tüm üslerin çift sayı olması gerekir.

14! sayısını asal çarpanlarına ayırarak her bir asal sayının kuvvetini bulun (örneğin 2 kaç kere var?).

Kuvveti tek sayı olan asal çarpanları belirleyin. x sayısı bu çarpanların çarpımına eşit olmalıdır.

Benzer mantıkla, bir faktöriyel ifadesinin tam küp olması için gereken en küçük çarpanı bulunuz.

Legendre formülü kullanarak her asal çarpanın kuvvetini (

E_p(n!) = \sum \lfloor n/p^k \rfloor

) hesaplayıp, tek kalanları belirleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 30s