Examkin

Soru

Zorluk: ZorFaktöriyel (Sayma)
nn bir doğal sayı olmak üzere,
A=22!+23!2n A = \frac{22! + 23!}{2^n}
ifadesi bir tam sayı belirttiğine göre, nn'nin alabileceği en büyük değer kaçtır?
  1. A
    19
  2. B
    20
  3. C
    21
  4. 22Cevap
  5. E
    23

Cevap

En büyük değer 22'dir.
Verilen AA ifadesi bir tam sayı ise, paydadaki 2n2^n sayısı paydaki ifadenin içindeki 2 çarpanlarını sadeleştirebilmelidir. Bu yüzden paydaki ifadenin içinde kaç tane 2 çarpanı olduğunu bulmalıyız. Öncelikle 22!+23!22! + 23! ifadesi 22!22! parantezine alınarak 22!(1+23)=22!⋅2422!(1+23) = 22! \cdot 24 elde edilir. 22! içindeki 2 çarpanı sayısı 19'dur. 24 sayısı da 23⋅32^3 \cdot 3 olduğundan buradan 3 adet daha 2 çarpanı gelir. Toplamda 19+3=2219+3=22 adet 2 çarpanı vardır. Dolayısıyla nn en çok 22 olabilir.

Adım Adım Çözüm

1
İfadeyi ortak çarpan parantezine alarak düzenle.
22!+23!=22!⋅(1+23)=22!⋅2422! + 23! = 22! \cdot (1 + 23) = 22! \cdot 24
Faktöriyelli ifadelerde toplama işlemi yapabilmek için en küçük faktöriyel parantezine alınır.
2
Elde edilen katsayıyı asal çarpanlarına ayır.
24=23⋅324 = 2^3 \cdot 3
Çarpan sayısını bulmak için katsayının içindeki 2 çarpanlarını belirlememiz gerekir. Buradan 3 adet 2 çarpanı gelir.
3
22! sayısı içindeki 2 çarpanlarının sayısını Legendre formülü (sürekli bölme) ile hesapla.
⌊222⌋+⌊224⌋+⌊228⌋+⌊2216⌋=11+5+2+1=19\lfloor\frac{22}{2}\rfloor + \lfloor\frac{22}{4}\rfloor + \lfloor\frac{22}{8}\rfloor + \lfloor\frac{22}{16}\rfloor = 11 + 5 + 2 + 1 = 19
Faktöriyel içindeki bir asal çarpanın sayısını bulmak için sayı o asala sürekli bölünür ve bölümler toplanır.
4
Tüm 2 çarpanlarını topla.
Toplam = 1919 (faktöriyelden) + 33 (katsayıdan) = 2222
İfadenin bir tam sayı olması için nn en fazla toplam 2 çarpanı sayısı kadar olabilir.

Anahtar Kavram

Faktöriyel ve Asal Çarpanlara Ayırma (Legendre Formülü)

İpuçları

1
İfadeyi 22!22! parantezine alarak sadeleştirmeyi deneyin.
2
22!+23!=22!⋅(1+23)=24⋅22!22! + 23! = 22! \cdot (1 + 23) = 24 \cdot 22! eşitliğini kullanın.
3
Hem 22!22! içindeki hem de çarpan olarak gelen 2424 sayısının içindeki 2 çarpanlarının sayısını bulup toplayın.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Faktöriyel (Sayma)

Bu konudan daha fazla soru