Examkin

Soru

Zorluk: OrtaFaktöriyel (Sayma)

nn ve mm birer pozitif tam sayı olmak üzere,

10!+11!=2n⋅m10! + 11! = 2^n \cdot m

eşitliğinde mm bir tek sayı olduğuna göre, nn kaçtır?
  1. A
    8
  2. B
    9
  3. 10Cevap
  4. D
    11
  5. E
    12

Cevap

Verilen eşitlikteki n değeri 10'dur.
Verilen ifade 10!⋅(1+11)=10!⋅1210! \cdot (1 + 11) = 10! \cdot 12 şeklinde yazıldığında, 10!10! içinden ardışık bölme yöntemiyle 8 tane, 12 sayısından ise 222^2 olduğu için 2 tane 2 çarpanı gelir. Toplam 10 adet 2 çarpanı dışarı çıkarıldığında geriye kalan tüm çarpanlar tek sayı olur, bu da mm sayısının tek olmasını sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
İfadeyi ortak çarpan parantezine alın.
10!+11!=10!+11⋅10!=10!(1+11)=10!⋅1210! + 11! = 10! + 11 \cdot 10! = 10!(1 + 11) = 10! \cdot 12
İşlemi basitleştirmek ve çarpanları net görmek için en küçük faktöriyel parantezine alınır.
2
10!10! içerisindeki 2 çarpanı sayısını Legendre formülü ile bulun.
10/2=510/2 = 5; 5/2=25/2 = 2; 2/2=12/2 = 1. Toplam: 5+2+1=85 + 2 + 1 = 8.
Bir faktöriyel içindeki asal çarpan sayısını bulmak için sayı sürekli o asala bölünür ve bölümler toplanır.
3
1212 sayısını asal çarpanlarına ayırın.
12=4⋅3=22⋅312 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3
Toplam ifadesinden gelen sabit sayının içindeki 2 çarpanlarını belirlemek gerekir.
4
Toplam 2 çarpanı sayısını hesaplayın.
282^8 (10!10! içinden) ve 222^2 (1212 içinden) ⇒8+2=10\Rightarrow 8 + 2 = 10
m sayısının tek olması için ifadedeki tüm 2 çarpanlarının 2n2^n içerisinde toplanması gerekir.

Anahtar Kavram

Faktöriyel içeren toplamlı ifadelerde ortak paranteze alma ve Legendre (ardışık bölme) yöntemi ile asal çarpan sayısını bulma.

İpuçları

1
Toplama halindeki faktöriyelli ifadelerde işlem yapabilmek için ifadeyi küçük olanın parantezine alarak çarpım durumuna getirmelisiniz.
2
10!+11!=10!(1+11)=10!⋅1210! + 11! = 10!(1 + 11) = 10! \cdot 12 olduğunu gördükten sonra, hem 10!10! hem de 1212 içindeki 2 çarpanlarını ayrı ayrı hesaplayın.
3
n!n! sayısının içindeki asal bir pp çarpanının sayısını bulmak için nn sayısını pp ile bölün ve bölümleri (bölüm pp den küçük olana kadar) toplayın. Son olarak 12=22⋅312 = 2^2 \cdot 3 bilgisini kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla (20!+21!)(20! + 21!) sayısının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmaya çalışın.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, sayıları tek tek analiz edebilirsiniz: 10! içinde 2, 4(2^2), 6(2), 8(2^3), 10(2) sayıları vardır (8 adet 2). 12 sayısı ise 4*3 olduğundan 2 tane 2 içerir. Toplam 8 + 2 = 10 olur.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Faktöriyel (Sayma)

Bu konudan daha fazla soru