\left( x^3 - \frac{a}{x^2} \right)^n ifadesinin açılımında baştan dördüncü terim sabit ter… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

\left( x^3 - \frac{a}{x^2} \right)^n

ifadesinin açılımında baştan dördüncü terim sabit terimdir. Bu açılımın katsayılar toplamı

243

olduğuna göre,

x^{10}

'lu terimin katsayısı kaçtır?

İfadenin açılımında

x^{10}

'lu terimin katsayısı 10 olarak bulunur.

Verilen bilgiler ışığında önce sabit terim şartından açılımın kuvveti (

n=5

), ardından katsayılar toplamından bilinmeyen sabit (

a=-2

) bulunur. İfade

(x^3 + 2x^{-2})^5

olarak netleştikten sonra

x^{10}

'lu terimin katsayısı binom katsayısı ve terim katsayılarının çarpımıyla 10 olarak hesaplanır.

n

değerini bulmak için baştan dördüncü terimin sabit terim olma özelliğini kullanın.

n = 5

Baştan

(r+1).

terim formülünde

r=3

alınır. Sabit terimde

x

'in kuvveti sıfır olmalıdır:

3(n-3) - 2(3) = 0 \Rightarrow 3n - 15 = 0 \Rightarrow n=5

bulunur.

Katsayılar toplamı bilgisini kullanarak

a

değerini hesaplayın.

a = -2

x=1

için katsayılar toplamı

(1^3 - a/1^2)^5 = 243

olur.

(1-a)^5 = 3^5 \Rightarrow 1-a = 3 \Rightarrow a = -2

elde edilir.

İfadeyi düzenleyip

x^{10}

'lu terimi veren

r

değerini belirleyin.

r = 1

İfade

(x^3 + 2/x^2)^5

halini alır. Genel terim:

\binom{5}{r} (x^3)^{5-r} (2x^{-2})^r

. Kuvvetler:

15 - 5r = 10 \Rightarrow r = 1

olmalıdır.

x^{10}

'lu terimin katsayısını hesaplayın.

Katsayı:

\binom{5}{1} \cdot (1)^4 \cdot (2)^1 = 5 \cdot 2 = 10

olur.

Binom açılımında terim bulma ve katsayılar toplamı özellikleri

Binom açılımında baştan ve sondan terimlerin simetrisini kullanarak katsayı karşılaştırmaları yapabilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru