Examkin

Binom Açılımı

36 soru

Soru 1Soru →

(2x−3y)4(2x - 3y)^4 ifadesinin açılımındaki terimlerin katsayılar toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Katsayılar toplamı, değişkenlerin yerine 1 yazılarak hesaplanan 1 değeridir.
Verilen (2x−3y)4(2x - 3y)^4 ifadesinde katsayılar toplamını bulmak için xx ve yy yerine 1 yazıldığında (2−3)4(2-3)^4 elde edilir. Bu da (−1)4(-1)^4 ifadesine eşittir ve sonucu 1 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin yerine 1 yazılması
x=1x = 1 ve y=1y = 1 değerleri ifadede yerlerine konur.
Bir polinom veya binom açılımında katsayılar toplamını bulmanın temel kuralı tüm değişkenlere 1 değerini vermektir.
2
Parantez içindeki işlemin yapılması
(2⋅1−3⋅1)4=(2−3)4=(−1)4(2 \cdot 1 - 3 \cdot 1)^4 = (2 - 3)^4 = (-1)^4
Önce çarpma işlemleri, ardından parantez içindeki çıkarma işlemi gerçekleştirilir.
3
Üslü ifadenin hesaplanması
(−1)4=1(-1)^4 = 1
Negatif bir sayının çift kuvveti (4 çift bir sayıdır) her zaman pozitiftir.

Anahtar Kavram

Binom açılımında katsayılar toplamını bulmak için tüm değişkenlerin yerine 1 yazılır.

İpuçları

1
Bir ifadenin katsayılar toplamını bulmak için içindeki tüm harflere (değişkenlere) 1 değerini vermelisin.
2
xx yerine 1 ve yy yerine 1 yazarak parantez içindeki çıkarma işlemini tamamla.
3
İşlem sonucunda (−1)4(-1)^4 değerine ulaşırsın. Negatif sayıların çift kuvvetlerinin işaretine dikkat ederek sonucu bulabilirsin.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde (x+2y)3(x + 2y)^3 ifadesinin katsayılar toplamını bularak pratiğini geliştirebilirsin.

Alternatif Yöntem

İfadeyi tam olarak açmak zaman alsa da, açılımın başındaki ve sonundaki katsayıları Pascal üçgeninin 4. satırı (1, 4, 6, 4, 1) ile çarparak terimleri bulup toplayabilirsin. Ancak katsayılar toplamı için x=y=1x=y=1 yazmak her zaman en kısa yoldur.
Tahmini Süre:45s
Soru 2Soru →

(2x+y)n(2x + y)^n ifadesinin katsayılar toplamı 243243 tür. Buna göre, bu ifadenin açılımında yer alan x3y2x^3 y^2 li terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

80
Öncelikle katsayılar toplamından n değeri bulunur: (2+1)^n = 3^n = 243 ise n=5'tir. İstenen terim x^3 y^2 olduğuna göre, (a+b)^n açılımında baştan (r+1). terim formülü C(n,r) a^(n-r) b^r kullanılır. Burada a=2x, b=y ve n=5'tir. y^2 olması için r=2 seçilir. Katsayı C(5,2) · (2)^3 = 10 · 8 = 80 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Katsayılar toplamı formülünü kullanarak n değerini bulma
x=1 ve y=1 için (2(1) + 1)^n = 3^n = 243 olduğundan n = 5 bulunur.
Bir binom açılımında katsayılar toplamı, değişkenler yerine 1 yazılarak bulunur.
2
Genel terim formülünü yazma
C(5, r) · (2x)^(5-r) · (y)^r
(a+b)^n açılımının genel terimi C(n,r)·a^(n-r)·b^r dir.
3
İstenen terim için r değerini belirleme
x^3·y^2 olması için y'nin üssü r=2 olmalıdır. (x'in üssü 5-2=3 olur, sağlar).
Terimdeki değişkenlerin kuvvetleri, genel formüldeki kuvvetlerle eşleştirilir.
4
Katsayıyı hesaplama
C(5, 2) · (2)^3 · (1)^2 = 10 · 8 · 1 = 80
Katsayı; kombinasyon değeri ve terimlerin katsayılarının kuvvetleri çarpılarak bulunur.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim formülü C(n,r)·a^(n-r)·b^r kullanılarak istenen terimin katsayısı bulunur. Ayrıca katsayılar toplamı için değişkenlere 1 verilir.
Soru 3Soru →
(x−2y)6(x - 2y)^6 ifadesinin binom açılımında baştan dördüncü terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -160

Cevap

İfadenin açılımındaki baştan dördüncü terimin katsayısı -160'tır.
Baştan dördüncü terim için r=3r=3 değeri genel terim formülünde yerine koyulduğunda, (63)\binom{6}{3} kombinasyonu ile ikinci terimin küpü olan −8-8 çarpılarak −160-160 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
rr değerini belirle
r=3r = 3
Binom açılımında baştan (r+1)(r+1). terim istendiğinde, formüldeki rr değeri istenen terim sayısının bir eksiğidir (4−1=34 - 1 = 3).
2
Genel terim formülünü uygula
(63)⋅x6−3⋅(−2y)3\binom{6}{3} \cdot x^{6-3} \cdot (-2y)^3
(a+b)n(a+b)^n açılımında genel terim (nr)⋅an−r⋅br\binom{n}{r} \cdot a^{n-r} \cdot b^r formülü ile bulunur.
3
Kombinasyon ve üslü ifadeyi hesapla
20⋅x3⋅(−8y3)20 \cdot x^3 \cdot (-8y^3)
(63)=6⋅5⋅43⋅2⋅1=20\binom{6}{3} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20 ve (−2)3=−8(-2)^3 = -8 olduğu için.
4
Terimi ve katsayıyı bul
−160x3y3-160x^3y^3
20⋅(−8)20 \cdot (-8) çarpımı terimin katsayısını verir.

Anahtar Kavram

Binom açılımında belirli bir terimi bulmak için genel terim formülü olan (nr)an−rbr\binom{n}{r} a^{n-r} b^r kullanılır. Baştan k. terim için r=k−1r = k-1 alınmalıdır.

İpuçları

1
Baştan 4. terimi bulmak için genel terim formülünde rr yerine kaç yazmanız gerektiğini düşünün.
2
Genel terim formülü şöyledir: (nr)an−rbr\binom{n}{r} a^{n-r} b^r. Burada n=6n=6, a=xa=x ve b=−2yb=-2y olarak alınmalıdır.
3
Hesaplamada (63)\binom{6}{3} değerini bulun ve bunu (−2)3(-2)^3 ile çarpmayı unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Değişkenlerin kuvvetleri farklı olan (örneğin x2x^2 içeren) ifadelerde sabit terim bulma sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Pascal üçgeninin 6. satırındaki katsayıları (1, 6, 15, 20, 15, 6, 1) kullanarak baştan 4. katsayının 20 olduğunu görebilirsiniz. Ardından bu değeri terimin içindeki katsayı çarpanlarıyla çarparak sonuca ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 4Soru →
(3x−1)n(3x - 1)^n ifadesinin binom açılımındaki katsayılar toplamı 128128 olduğuna göre, bu açılımdaki x2x^2 li terimin katsayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −189-189

Cevap

İfadenin katsayılar toplamından n=7n=7 bulunur ve genel terim formülüyle x2x^2 li terimin katsayısı −189-189 olarak hesaplanır.
Katsayılar toplamı kuralından hareketle açılımın kuvveti n=7n=7 olarak belirlenir. Ardından x2x^2 li terimi bulmak için binom açılım formülünde birinci terimin kuvvetinin 22 olması gerektiği görülür (7−5=27-5=2). Bu da r=5r=5 değerine karşılık gelir. Yapılan hesaplamalar sonucunda −189-189 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Katsayılar toplamını kullanarak nn değerini bulun.
x=1x=1 için (3⋅1−1)n=128⇒2n=27⇒n=7(3 \cdot 1 - 1)^n = 128 \Rightarrow 2^n = 2^7 \Rightarrow n=7
Bir polinomda veya binom açılımında katsayılar toplamı, değişkenlerin yerine 1 yazılarak elde edilir.
2
Genel terim formülünü yazın ve x2x^2 li terimi veren rr değerini belirleyin.
Tr+1=(7r)(3x)7−r(−1)rT_{r+1} = \binom{7}{r} (3x)^{7-r} (-1)^r. x7−r=x2x^{7-r} = x^2 için 7−r=2⇒r=57-r=2 \Rightarrow r=5
x2x^2 terimini elde etmek için birinci terimin kuvvetinin 2 olması gerekir.
3
Belirlenen nn ve rr değerlerini yerini koyarak katsayıyı hesaplayın.
Katsayı =(75)⋅32⋅(−1)5=21⋅9⋅(−1)=−189= \binom{7}{5} \cdot 3^2 \cdot (-1)^5 = 21 \cdot 9 \cdot (-1) = -189
Kombinasyon, üslü sayı ve işaret kuralları uygulanarak sonuç belirlenir.

Anahtar Kavram

Binom açılımında katsayılar toplamı ve belirli bir terimin katsayısını bulma.

İpuçları

1
Katsayılar toplamını bulmak için açılımdaki xx yerine 11 yazın.
2
2n=1282^n = 128 ise nn kaçtır? Bulduğunuz nn değerini binomun genel terim formülünde kullanın.
3
(ax+b)n(ax+b)^n açılımında xkx^k lı terim için (nr)(ax)n−rbr\binom{n}{r} (ax)^{n-r} b^r formülünde n−r=kn-r=k eşitliğini kurun.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde (2x−3)5(2x - 3)^5 açılımındaki sabit terimi bulmayı deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 5Soru →
(2x2−1x)7\left(2x^2 - \frac{1}{x}\right)^7
ifadesinin binom açılımında x5x^5 li terimin katsayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -560

Cevap

İstenen katsayı -560'tır.
Genel terim formülü (7r)(2x2)7−r(−x−1)r\binom{7}{r}(2x^2)^{7-r}(-x^{-1})^r kullanıldığında, xx'in kuvvetinin 5 olması için r=3r=3 bulunur. Bu durumda katsayı (73)⋅24⋅(−1)3=35⋅16⋅(−1)=−560\binom{7}{3} \cdot 2^4 \cdot (-1)^3 = 35 \cdot 16 \cdot (-1) = -560 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Binom açılımının genel terim formülünü yaz.
(nr)(a)n−r(b)r\binom{n}{r} (a)^{n-r} (b)^r
Herhangi bir terimi bulmak için genel formül kullanılır.
2
Verilen ifadedeki değerleri formüle yerleştir (n=7n=7, a=2x2a=2x^2, b=−x−1b=-x^{-1}).
(7r)(2x2)7−r(−x−1)r=(7r)27−rx2(7−r)(−1)rx−r\binom{7}{r} (2x^2)^{7-r} (-x^{-1})^r = \binom{7}{r} 2^{7-r} x^{2(7-r)} (-1)^r x^{-r}
Değişkenlerin kuvvetlerini birleştirebilmek için terimler düzenlenir.
3
x'in kuvvetlerini toparla ve istenen x5x^5 kuvvetine eşitle.
x14−2r−r=x14−3r⇒14−3r=5⇒3r=9⇒r=3x^{14-2r-r} = x^{14-3r} \Rightarrow 14-3r = 5 \Rightarrow 3r = 9 \Rightarrow r=3
Hangi terimin x5x^5 içerdiğini bulmak için r değeri hesaplanmalıdır.
4
Bulunan r=3 değerini katsayı kısmında yerine yaz ve hesapla.
Katsayı = (73)⋅27−3⋅(−1)3=35⋅16⋅(−1)=−560\binom{7}{3} \cdot 2^{7-3} \cdot (-1)^3 = 35 \cdot 16 \cdot (-1) = -560
Kombinasyon, üslü sayı ve işaret çarpımı yapılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Binom Açılımı Genel Terim Formülü

İpuçları

1
Binom açılımının genel terim formülü (nr)xn−ryr\binom{n}{r} x^{n-r} y^r şeklindedir.
2
İfadede a=2x2a=2x^2 ve b=−x−1b=-x^{-1} olarak düşünülmelidir. xx'in kuvvetlerini bir araya getirerek x5x^5 olması için gereken rr değerini bulunuz.
3
xx'in kuvveti 2(7−r)+(−1)(r)=14−3r2(7-r) + (-1)(r) = 14-3r olacaktır. Bu ifadeyi 5'e eşitleyerek rr değerini bulun ve katsayıyı hesaplayın.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 6Soru →
(ax2−1x)n \left( ax^2 - \frac{1}{x} \right)^n ifadesinin açılımında 77 terim bulunmaktadır. Bu açılımın sabit terimi 6060 ve a>0a > 0 olduğuna göre, bu açılımdaki x3x^3 lü terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -160

Cevap

Söz konusu binom açılımında x3x^3 lü terimin katsayısı −160-160 olarak bulunur.
İfadenin açılımında 77 terim olması n=6n=6 olduğunu gösterir. Sabit terimin xx'in üssünün sıfır olduğu (r=4r=4) terim olduğu tespit edilip katsayı 15a2=6015a^2=60 eşitliğinden a=2a=2 bulunur. x3x^3 lü terim için gerekli olan r=3r=3 değeri yerine yazıldığında katsayı (63)⋅23⋅(−1)3=−160\binom{6}{3} \cdot 2^3 \cdot (-1)^3 = -160 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Terim sayısından nn değerini belirleme
n+1=7⇒n=6n + 1 = 7 \Rightarrow n = 6
(x+y)n(x+y)^n açılımında n+1n+1 tane terim bulunur.
2
Genel terim formülünü yazma
Tr+1=(6r)(ax2)6−r(−1x)r=(6r)a6−r(−1)rx12−2r−rT_{r+1} = \binom{6}{r} (ax^2)^{6-r} \left( -\frac{1}{x} \right)^r = \binom{6}{r} a^{6-r} (-1)^r x^{12-2r-r}
Binom açılımındaki herhangi bir terimin yapısını belirlemek için genel formül kullanılır.
3
Sabit terimi bulmak için xx'in üssünü sıfıra eşitleme
12−3r=0⇒3r=12⇒r=412 - 3r = 0 \Rightarrow 3r = 12 \Rightarrow r = 4
Sabit terim, değişkenin (xx) üssünün 00 olduğu terimdir.
4
aa değerini hesaplama
(64)a6−4(−1)4=60⇒15a2=60⇒a2=4⇒a=2\binom{6}{4} a^{6-4} (-1)^4 = 60 \Rightarrow 15 a^2 = 60 \Rightarrow a^2 = 4 \Rightarrow a = 2
Sabit terimin değeri 6060 olarak verildiği için denklem kurulur; a>0a > 0 olduğu için 22 seçilir.
5
x3x^3 lü terim için rr değerini belirleme
12−3r=3⇒3r=9⇒r=312 - 3r = 3 \Rightarrow 3r = 9 \Rightarrow r = 3
x3x^3 lü terimin katsayısını bulmak için üs 33 olmalıdır.
6
İstenen katsayıyı hesaplama
(63)a6−3(−1)3=20⋅23⋅(−1)=20⋅8⋅(−1)=−160\binom{6}{3} a^{6-3} (-1)^3 = 20 \cdot 2^3 \cdot (-1) = 20 \cdot 8 \cdot (-1) = -160
Bulunan nn, aa ve rr değerleri genel terim katsayısında yerine konur.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim katsayısı, terim sayısı ve sabit terim ilişkisi

Daha Fazla Pratik

Binom açılımında ortanca terimin katsayısını bulma veya rasyonel kuvvet içeren açılımlarda sabit terim bulma soruları çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 7Soru →
(x2−ax)7 \left( x^2 - \frac{a}{x} \right)^7 ifadesinin binom açılımında x2x^2 li terimin katsayısı ile x5x^5 li terimin katsayısının toplamı 280280 dir. Buna göre, aa nın değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Verilen binom açılımında katsayılar toplamı koşulunu sağlayan değer 2'dir.
Genel terim formülü uygulandığında x2x^2 li terimin katsayısı 35a435a^4, x5x^5 li terimin katsayısı ise −35a3-35a^3 olarak bulunur. Bu iki katsayının toplamı olan 35a4−35a3=28035a^4 - 35a^3 = 280 denklemi sadeleştirildiğinde a4−a3=8a^4 - a^3 = 8 elde edilir. Bu eşitliği sağlayan tek tam sayı değeri 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim formülünü yaz
Tr+1=(7r)⋅(x2)7−r⋅(−ax)r=(7r)⋅(−a)r⋅x14−3r T_{r+1} = \binom{7}{r} \cdot (x^2)^{7-r} \cdot \left( -\frac{a}{x} \right)^r = \binom{7}{r} \cdot (-a)^r \cdot x^{14-3r}
Binom açılımındaki herhangi bir terimin yapısını ve xx in kuvvetini belirlemek için gereklidir.
2
x2x^2 li terimi belirle
14−3r=2⇒3r=12⇒r=414 - 3r = 2 \Rightarrow 3r = 12 \Rightarrow r = 4. Katsayı: (74)⋅(−a)4=35a4\binom{7}{4} \cdot (-a)^4 = 35a^4
x2x^2 li terimin hangi rr değerine karşılık geldiğini bulmak ve katsayısını hesaplamak için kullanılır.
3
x5x^5 li terimi belirle
14−3r=5⇒3r=9⇒r=314 - 3r = 5 \Rightarrow 3r = 9 \Rightarrow r = 3. Katsayı: (73)⋅(−a)3=−35a3\binom{7}{3} \cdot (-a)^3 = -35a^3
x5x^5 li terimin hangi rr değerine karşılık geldiğini bulmak ve katsayısını hesaplamak için kullanılır.
4
Katsayıları topla ve denklemi çöz
35a4−35a3=280⇒a4−a3=8⇒a3(a−1)=835a^4 - 35a^3 = 280 \Rightarrow a^4 - a^3 = 8 \Rightarrow a^3(a - 1) = 8
Soruda verilen katsayılar toplamı bilgisini matematiksel bir denkleme dönüştürmek için gereklidir.
5
Bilinmeyeni bul
a=2a = 2 için 23⋅(2−1)=8⋅1=82^3 \cdot (2 - 1) = 8 \cdot 1 = 8 sağlanır.
Bulunan denklemi sağlayan aa değerini tespit etmek için kullanılır.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim formülü ve katsayı hesabı
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 8Soru →
Bir matematik testinde yer alan (3x−2y)4(3x - 2y)^4 ifadesinin binom açılımındaki katsayılar toplamı ile terim sayısının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Verilen ifadenin katsayılar toplamı ile terim sayısının toplamı 6'dır.
Doğru yanıt olan 6 değeri; değişkenler yerine 1 yazılarak bulunan katsayılar toplamı olan 1 ile, kuvvetin bir fazlası alınarak bulunan terim sayısı olan 5'in toplanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Katsayılar toplamını bulmak için değişkenlerin yerine 1 yazılır.
(3⋅1−2⋅1)4=(3−2)4=14=1(3 \cdot 1 - 2 \cdot 1)^4 = (3 - 2)^4 = 1^4 = 1
Bir polinomda veya binom açılımında katsayılar toplamı, değişkenlere 1 değeri verilerek elde edilir.
2
İfadenin açılımındaki terim sayısı hesaplanır.
4+1=54 + 1 = 5
(ax+by)n(ax + by)^n açılımında terim sayısı her zaman kuvvetin bir fazlası, yani n+1n+1 kadardır.
3
Elde edilen iki değer toplanır.
1+5=61 + 5 = 6
Soru kökünde bu iki değerin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Binom açılımında katsayılar toplamı için değişkenlere 1 verilir, terim sayısı ise n+1 formülüyle bulunur.

İpuçları

1
Katsayılar toplamını bulmak için x ve y yerine 1 yazmayı dene.
2
Binom açılımında terim sayısının, ifadenin üzerindeki sayının (n) bir fazlası olduğunu hatırla.
3
(3−2)4(3-2)^4 işleminin sonucuna, ifadenin kuvveti olan 4'ün bir fazlasını eklemelisin.

Daha Fazla Pratik

Değişkenlerin katsayıları değiştiğinde (örneğin 2x+3y) katsayılar toplamının nasıl değiştiğini gözlemleyebilirsin.

Alternatif Yöntem

İsterseniz önce terim sayısını (4+1=5) belirleyip, ardından katsayılar toplamını (1) hesaplayarak da aynı sonuca ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 9Soru →

(ax+y)5(ax + y)^5 ifadesinin açılımındaki terimlerin katsayılar toplamı 243243 olduğuna göre, bu açılımdaki x3y2x^3y^2 li terimin katsayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

Verilen ifadedeki katsayılar toplamından yararlanarak a=2a=2 bulunur ve binom açılımı genel terim formülüyle x3y2x^3y^2 teriminin katsayısı 80 olarak elde edilir.
Katsayılar toplamı için x=1,y=1x=1, y=1 yazıldığında (a+1)5=243(a+1)^5 = 243 eşitliğinden a=2a=2 bulunur. İfade (2x+y)5(2x+y)^5 halini alır. Bu açılımda x3y2x^3y^2 terimi, formüldeki r=2r=2 durumuna karşılık gelir: (52)⋅(2x)3⋅y2=10⋅8x3y2=80x3y2\binom{5}{2} \cdot (2x)^3 \cdot y^2 = 10 \cdot 8x^3y^2 = 80x^3y^2. Bu nedenle katsayı 80'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Katsayılar toplamını bulmak için değişkenlerin yerine 1 yazılır.
(a⋅1+1)5=243  ⟹  (a+1)5=35(a\cdot 1 + 1)^5 = 243 \implies (a+1)^5 = 3^5
Bir ifadenin açılımındaki katsayılar toplamı, tüm değişkenlere 1 verilerek bulunur.
2
Elde edilen üslü denklemi çözerek aa değerini belirle.
a+1=3  ⟹  a=2a+1 = 3 \implies a = 2
Üsler eşit olduğunda tabanlar da eşit olmalıdır.
3
İfadeyi (2x+y)5(2x + y)^5 olarak yaz ve genel terim formülünü uygula.
Genel terim: (5r)⋅(2x)5−r⋅yr\binom{5}{r} \cdot (2x)^{5-r} \cdot y^r
Binom açılımında (x+y)n(x+y)^n için genel terim (nr)xn−ryr\binom{n}{r} x^{n-r} y^r formülüyle hesaplanır.
4
x3y2x^3y^2 terimini elde etmek için rr değerini belirle ve katsayıyı hesapla.
r=2r = 2 için; (52)⋅(2x)3⋅y2=10⋅8x3⋅y2=80x3y2\binom{5}{2} \cdot (2x)^3 \cdot y^2 = 10 \cdot 8x^3 \cdot y^2 = 80x^3y^2
yy'nin kuvveti 2 olduğundan r=2r=2 alınır. xx'in kuvveti ise 5−2=35-2=3 olur.

Anahtar Kavram

Binom açılımında katsayılar toplamı bulma ve belirli bir terimin katsayısını hesaplama.

İpuçları

1
Katsayılar toplamını bulmak için ifadedeki tüm değişkenlere 1 yazarak başlayın.
2
Elde ettiğiniz aa değerini yerine yazarak (2x+y)5(2x+y)^5 ifadesine ulaşın.
3
Binom genel terim formülü olan (nr)An−rBr\binom{n}{r} A^{n-r} B^r ifadesinde n=5n=5 ve r=2r=2 değerlerini kullanarak katsayıyı hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda ifadeyi (x−2y)6(x-2y)^6 şeklinde alarak sabit terimi bulmaya çalışabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 10Soru →
(2x2+1x)6 \left( 2x^2 + \frac{1}{x} \right)^6

ifadesinin xx değişkeninin azalan kuvvetlerine göre yapılan binom açılımında x6x^6 lı terimin katsayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 240

Cevap

İfadenin açılımındaki x6x^6 lı terimin katsayısı 240 olarak bulunur.
Genel terim formülü kullanılarak xx değişkeninin üssü 6'ya eşitlendiğinde r=2r=2 bulunur. Bu değer katsayı formülünde yerine yazıldığında (62)⋅24=15⋅16=240\binom{6}{2} \cdot 2^4 = 15 \cdot 16 = 240 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim formülünü belirleme
Tr+1=(nr)⋅an−r⋅br T_{r+1} = \binom{n}{r} \cdot a^{n-r} \cdot b^r
Binom açılımında belirli bir terimi bulmak için genel terim formülü kullanılır.
2
Verilenleri formülde yerine yazma
Tr+1=(6r)⋅(2x2)6−r⋅(1x)r T_{r+1} = \binom{6}{r} \cdot (2x^2)^{6-r} \cdot \left( \frac{1}{x} \right)^r
n=6n=6, a=2x2a=2x^2 ve b=x−1b=x^{-1} değerleri formüle yerleştirilir.
3
xx değişkeninin üslerini düzenleme
Tr+1=(6r)⋅26−r⋅x12−2r⋅x−r=(6r)⋅26−r⋅x12−3r T_{r+1} = \binom{6}{r} \cdot 2^{6-r} \cdot x^{12-2r} \cdot x^{-r} = \binom{6}{r} \cdot 2^{6-r} \cdot x^{12-3r}
Değişkenin kuvvetini belirlemek için üslü sayı özellikleri uygulanır.
4
x6x^6 lı terim için rr değerini bulma
12−3r=6⇒3r=6⇒r=2 12 - 3r = 6 \Rightarrow 3r = 6 \Rightarrow r = 2
İstenen terimin kuvveti 6 olduğu için xx in üssü 6'ya eşitlenir.
5
Katsayıyı hesaplama
Katsayı=(62)⋅26−2=15⋅24=15⋅16=240 \text{Katsayı} = \binom{6}{2} \cdot 2^{6-2} = 15 \cdot 2^4 = 15 \cdot 16 = 240
Bulunan r=2r=2 değeri katsayı kısmında yerine yazılarak sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim formülü Tr+1=(nr)an−rbr T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r şeklindedir.

İpuçları

1
Genel terim formülünü ((nr)an−rbr \binom{n}{r} a^{n-r} b^r ) hatırlayın.
2
xx değişkeninin kuvvetlerini birleştirerek 12−3r12-3r ifadesini elde edin.
3
x6x^6 lı terimi bulmak için 12−3r=612-3r = 6 denklemini çözüp rr değerini katsayıda yerine koyun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda ifadenin sabit terimini bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Pascal üçgeninin 6. satırındaki katsayıları (1, 6, 15, 20, 15, 6, 1) kullanarak terimleri tek tek yazabilir ve x6x^6 lı olanın katsayısını belirleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 11Soru →

(3x−y)5 (3x - y)^5 ifadesinin x x ve y y değişkenlerine göre açılımında kaç terim bulunur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Verilen ifadenin açılımında 6 terim bulunur.
Binom açılımında (ax+by)n (ax + by)^n ifadesinin terim sayısı, parantez dışındaki kuvvetin (nn) bir fazlası olan n+1 n+1 formülü ile bulunur. Bu soruda kuvvet 5 5 olduğu için terim sayısı 5+1=6 5 + 1 = 6 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İfadenin kuvvetini (nn değeri) belirle.
(3x−y)5 (3x - y)^5 ifadesinde kuvvet n=5 n = 5 'dir.
Binom açılımı kurallarını uygulamak için öncelikle ifadenin hangi dereceden açılacağını bilmemiz gerekir.
2
Terim sayısı formülünü uygula.
Terim sayısı = n+1=5+1=6 n + 1 = 5 + 1 = 6
Binom teoremi gereği, (a+b)n (a+b)^n açılımında her zaman n+1 n+1 tane terim oluşur.

Anahtar Kavram

Binom Açılımında Terim Sayısı

İpuçları

1
Binom açılımında terim sayısı ile parantez kuvveti arasında sabit bir ilişki vardır.
2
(a+b)n (a+b)^n ifadesinin açılımındaki terim sayısını bulmak için n n değerine kaç eklememiz gerektiğini hatırla.
3
Örneğin (x+y)2=x2+2xy+y2 (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 açılımında kuvvet 2 iken terim sayısı 3'tür. Bu mantığı (3x−y)5 (3x-y)^5 ifadesine uygula.

Daha Fazla Pratik

Terim sayısını öğrendikten sonra, ifadenin katsayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 yazmayı deneyebilirsin.
Tahmini Süre:30s
Soru 12Soru →

(3x+y)n(3x + y)^n ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamı 10241024 olduğuna göre, bu açılımda toplam kaç terim bulunmaktadır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Binom açılımında katsayılar toplamı yardımıyla bulunan üs değerine 1 eklenerek ulaşılan 6 cevabı doğrudur.
Verilen ifadede değişkenler yerine 1 yazıldığında elde edilen 4n4^n değeri 10241024 sayısına eşitlenir. Buradan n=5n=5 olarak bulunur. Binom açılımı kuralına göre terim sayısı kuvvetin bir fazlası (n+1n+1) olduğu için sonuç 6 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Katsayılar toplamını bulmak için değişkenlerin yerine 1 yazın.
(3⋅1+1)n=4n=1024(3 \cdot 1 + 1)^n = 4^n = 1024
Bir ifadenin katsayılar toplamını bulmak için ifadedeki tüm değişkenlere (x ve y) 1 değeri verilir.
2
4n=10244^n = 1024 denklemini çözerek nn değerini belirleyin.
45=10244^5 = 1024 olduğu için n=5n = 5 bulunur.
1024 sayısı, 4'ün 5. kuvvetine (4×4×4×4×44 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4) eşittir.
3
Terim sayısı formülünü uygulayarak sonucu bulun.
n+1=5+1=6n + 1 = 5 + 1 = 6
(ax+by)n(ax + by)^n şeklindeki bir binom açılımında toplam terim sayısı, üssün bir fazlası olan n+1n+1 kadardır.

Anahtar Kavram

Binom açılımında katsayılar toplamı için değişkenlere 1 verilir ve terim sayısı n+1 formülü ile bulunur.

İpuçları

1
Katsayılar toplamını bulmak için ifadedeki xx ve yy yerine 1 yazarak işleme başlayın.
2
Bulduğunuz 4n=10244^n = 1024 eşitliğinden nn sayısını çekin. Unutmayın, 10241024 sayısı 4'ün bir kuvvetidir.
3
Bulduğunuz nn değeri kuvveti temsil eder. Binom açılımında terim sayısı her zaman bu kuvvetin 1 fazlasıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla (2x−y)n(2x - y)^n ifadesinde terim sayısı 8 ise katsayılar toplamını bulmaya çalışabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 13Soru →

(x3−2x2)n\left(x^3 - \frac{2}{x^2}\right)^n ifadesinin açılımındaki terimler xx'in azalan kuvvetlerine göre sıralandığında, baştan 4. terim A⋅x6A \cdot x^6 olmaktadır.

Buna göre, AA gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -280

Cevap

-280
Soruda verilen (x3−2x2)n(x^3 - \frac{2}{x^2})^n ifadesinin genel terimi (nr)(x3)n−r(−2x−2)r\binom{n}{r} (x^3)^{n-r} (-2x^{-2})^r şeklindedir. Baştan 4. terim dendiği için r=3r=3 alınır. Bu durumda terim (n3)x3n−9(−8)x−6\binom{n}{3} x^{3n-9} (-8) x^{-6} haline gelir. Kuvvetlerin düzenlenmesiyle x3n−15x^{3n-15} elde edilir. Soruda bu terimin x6x^6 içerdiği belirtildiğinden 3n−15=63n-15=6 eşitliğinden n=7n=7 bulunur. Son olarak katsayı hesaplandığında A=(73)⋅(−8)=35⋅(−8)=−280A = \binom{7}{3} \cdot (-8) = 35 \cdot (-8) = -280 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim formülünü ve verilenleri belirle.
Genel terim: (nr)(x3)n−r(−2x−2)r\binom{n}{r} (x^3)^{n-r} (-2x^{-2})^r. Baştan 4. terim istendiği için r=4−1=3r = 4 - 1 = 3 alınmalıdır.
Binom açılımında (a+b)n(a+b)^n için genel terim (nr)an−rbr\binom{n}{r} a^{n-r} b^r şeklindedir ve baştan (r+1)(r+1). terim hesaplanır.
2
Genel terim ifadesini düzenle ve x'in kuvvetini bul.
(n3)(x3)n−3(−2x−2)3=(n3)x3n−9(−8)x−6=−8(n3)x3n−15\binom{n}{3} (x^3)^{n-3} (-2x^{-2})^3 = \binom{n}{3} x^{3n-9} (-8) x^{-6} = -8 \binom{n}{3} x^{3n-15}
Katsayıları ve değişkenlerin üslerini ayrıştırarak xx'in net kuvvetini belirlemek gerekir.
3
Elde edilen x kuvvetini soruda verilen x6x^6 ile eşitleyerek n değerini bul.
3n−15=6⇒3n=21⇒n=73n - 15 = 6 \Rightarrow 3n = 21 \Rightarrow n = 7
Soruda terimin A⋅x6A \cdot x^6 olduğu belirtilmiştir.
4
Bulunan n değerini yerine yazarak A katsayısını hesapla.
A=−8⋅(73)=−8⋅7⋅6⋅53⋅2⋅1=−8⋅35=−280A = -8 \cdot \binom{7}{3} = -8 \cdot \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = -8 \cdot 35 = -280
İstenen A değeri, terimin önündeki tüm sayısal çarpanların çarpımıdır.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim formülü kullanılarak bilinmeyen n sayısının ve katsayının bulunması.

İpuçları

1
Binom açılımında (a+b)n(a+b)^n ifadesinin genel terimi (nr)⋅an−r⋅br\binom{n}{r} \cdot a^{n-r} \cdot b^r formülüyle bulunur.
2
Baştan 4. terimi bulmak için genel terim formülünde rr yerine 3 yazmalısınız (Çünkü saymaya r=0r=0'dan başlanır).
3
Terimi düzenledikten sonra xx'in kuvvetini 3n−153n - 15 olarak bulacaksınız. Bunu 6'ya eşitleyerek önce nn'yi bulun.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 14Soru →

Matematik dersinde binom açılımı konusunu işleyen bir öğrenci, bir ifadenin açılımındaki katsayılar toplamını bulmak için değişkenlerin yerine 11 yazılması gerektiğini öğrenmiştir.

Buna göre, (2x−3y)4(2x - 3y)^4 ifadesinin katsayılar toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

İfadenin katsayılar toplamı 11 olarak bulunur.
Katsayılar toplamını bulmak için ifadede bulunan xx ve yy değişkenlerine 11 değeri verilir. Bu durumda ifade (2−3)4(2-3)^4 halini alır. Parantez içindeki işlemin sonucu −1-1 olur. Negatif bir sayının çift kuvveti pozitif olduğu için (−1)4=1(-1)^4 = 1 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Katsayılar toplamı kuralını uygulama
x=1x = 1 ve y=1y = 1 yazılır.
Bir binom açılımında katsayılar toplamını bulmak için tüm değişkenlerin yerine 11 yazılmalıdır.
2
Değerleri yerine yerleştirme
(2⋅1−3⋅1)4(2 \cdot 1 - 3 \cdot 1)^4
Verilen ifadede xx ve yy gördüğümüz yerlere 11 koyarak işlem önceliğine göre kuruyoruz.
3
Parantez içi işlemi yapma
(2−3)4=(−1)4(2 - 3)^4 = (-1)^4
Önce parantez içindeki çarpma ve çıkarma işlemleri tamamlanır.
4
Kuvvet alma işlemini tamamlama
(−1)4=1(-1)^4 = 1
Negatif bir sayının çift sayıdaki kuvveti her zaman pozitiftir.

Anahtar Kavram

Binom açılımında katsayılar toplamı değişkenlere 11 verilerek bulunur.

İpuçları

1
Bir ifadenin katsayılar toplamını bulmak için değişkenlerin (x ve y) yerine hangi sayıyı yazmanız gerektiğini hatırlayın.
2
İfadedeki xx ve yy yerine 11 yazarak parantez içindeki işlemin sonucunu bulun.
3
Parantez içi −1-1 çıkacaktır. (−1)4(-1)^4 işlemini yaparken kuvvetin çift olduğuna dikkat edin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, sabit terimi bulmak için değişkenlerin yerine 0 yazmanız gerektiğini unutmayın.

Alternatif Yöntem

İfadeyi tam olarak açmak (binom açılımı formülüyle) her terimin katsayısını tek tek görmenizi sağlar, ancak katsayılar toplamı için x=1,y=1x=1, y=1 yazmak çok daha hızlı ve hatasız bir yöntemdir.
Tahmini Süre:45s
Soru 15Soru →
(2x−y2)n(2x - y^2)^n ifadesinin açılımında terimlerden biri A⋅x4⋅y6A \cdot x^4 \cdot y^6 olduğuna göre, AA katsayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -560

Cevap

Binom açılımında verilen terimin katsayısı −560-560 olarak bulunur.
Verilen terimde y6y^6 elde etmek için (−y2)(-y^2) ifadesinin küpü (r=3r=3) alınmalıdır. x4x^4 elde etmek için ise (2x)(2x) ifadesinin 4. kuvveti (n−r=4n-r=4) alınmalıdır. Buradan n=7n=7 bulunur. Katsayı (73)⋅24⋅(−1)3=35⋅16⋅(−1)=−560\binom{7}{3} \cdot 2^4 \cdot (-1)^3 = 35 \cdot 16 \cdot (-1) = -560 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
nn ve rr değerlerini belirlemek için genel terim formülünü yazın.
(nr)(2x)n−r(−y2)r=A⋅x4⋅y6\binom{n}{r} (2x)^{n-r} (-y^2)^r = A \cdot x^4 \cdot y^6
Binom açılımında her terim (nr)an−rbr\binom{n}{r} a^{n-r} b^r formuna uygundur.
2
yy değişkeninin üssünden faydalanarak rr değerini bulun.
(−y2)r=(−1)ry2r⇒2r=6⇒r=3(-y^2)^r = (-1)^r y^{2r} \Rightarrow 2r = 6 \Rightarrow r = 3
y6y^6 terimine ulaşmak için y2y^2 ifadesinin 3. kuvveti alınmalıdır.
3
xx değişkeninin üssünden faydalanarak nn değerini bulun.
xn−r=x4⇒n−3=4⇒n=7x^{n-r} = x^4 \Rightarrow n - 3 = 4 \Rightarrow n = 7
Açılımdaki terimlerin üsleri toplamı nn değerine eşittir (n−r+rn-r+r değil, orijinal terimlerin üsleri toplamı).
4
Katsayıyı (AA) hesaplayın.
A=(73)⋅27−3⋅(−1)3=35⋅24⋅(−1)=35⋅16⋅(−1)=−560A = \binom{7}{3} \cdot 2^{7-3} \cdot (-1)^3 = 35 \cdot 2^4 \cdot (-1) = 35 \cdot 16 \cdot (-1) = -560
Kombinasyon, katsayı kuvveti ve terim işaretinin çarpımı katsayıyı verir.

Anahtar Kavram

Binom Açılımında Genel Terim Bulma

İpuçları

1
Genel terim formülünü kullanın: (nr)an−rbr\binom{n}{r} a^{n-r} b^r
2
(−y2)r(-y^2)^r ifadesinin y6y^6 verebilmesi için rr kaç olmalıdır?
3
r=3r=3 ve n−r=4n-r=4 olduğunda katsayıyı hesaplarken hem 242^4 ifadesini hem de (−1)3(-1)^3 işaretini unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, sabit terim veya rasyonel terimlerin katsayılarını bulma soruları çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 16Soru →
(x3−y2)n(x^3 - y^2)^n ifadesinin xx ve yy değişkenlerine göre açılımında terimlerden biri k⋅x12⋅y6k \cdot x^{12} \cdot y^6 (kk bir gerçel sayı) olduğuna göre, bu açılımdaki terim sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Verilen binom açılımındaki terim sayısı 8'dir.
Verilen terimdeki üsler incelendiğinde, x3x^3 ifadesinin 4. kuvvetinin ve y2y^2 ifadesinin 3. kuvvetinin çarpıldığı görülür. Bu durum, binom açılımındaki n-r ve r değerlerinin toplamının 4+3=74+3=7 olduğunu gösterir. n=7 olan bir açılımda ise toplam terim sayısı n+1 formülünden dolayı 8 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim formülünü yazma
Tr+1=(nr)(x3)n−r(−y2)rT_{r+1} = \binom{n}{r} (x^3)^{n-r} (-y^2)^r
Binom açılımındaki herhangi bir terimin yapısını analiz etmek için genel terim formülü kullanılır.
2
Değişkenlerin üslerini düzenleme
Tr+1=(nr)⋅(−1)r⋅x3(n−r)⋅y2rT_{r+1} = \binom{n}{r} \cdot (-1)^r \cdot x^{3(n-r)} \cdot y^{2r}
Verilen terimdeki üslerle karşılaştırma yapabilmek için üslü ifade kuralları uygulanır.
3
Üsleri verilen terimle eşitleme
3(n−r)=12⇒n−r=43(n-r) = 12 \Rightarrow n-r = 4 ve 2r=6⇒r=32r = 6 \Rightarrow r = 3
Verilen terimdeki x'in üssü 12 ve y'nin üssü 6 olduğu için denklemler kurulur.
4
n değerini bulma
n=4+3=7n = 4 + 3 = 7
n-r ve r değerleri toplandığında açılımın ana kuvveti olan n değeri elde edilir.
5
Toplam terim sayısını hesaplama
n+1=7+1=8n + 1 = 7 + 1 = 8
Bir binom açılımında terim sayısı, ifadenin kuvvetinin bir fazlasına (n+1) eşittir.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim ve terim sayısı özellikleri

İpuçları

1
Genel terim formülünü hatırlayın: (nr)an−rbr\binom{n}{r} a^{n-r} b^r
2
x12x^{12} elde etmek için (x3)(x^3) ifadesinin kaçıncı kuvveti alınmalıdır?
3
x'in üssü olan 12'yi 3'e, y'nin üssü olan 6'yı 2'ye bölerek n-r ve r değerlerini bulun, ardından n+1'i hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Katsayılar toplamı ve sabit terim bulma kurallarını tekrar ederek bu soru tipini pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 17Soru →
(xa−1x)8(x^a - \frac{1}{x})^8 ifadesinin açılımında sabit terim 2828 olduğuna göre, aa pozitif tam sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Verilen binom açılımında sabit terimi sağlayan a pozitif tam sayısı 3 olarak bulunur.
Binom açılımının genel terim formülü uygulandığında katsayının 28 olması için kombinasyonun alt indisinin 2 veya 6 olması gerekir. Sabit terim kuralı gereği x'in toplam üssü sıfır olmalıdır. a değerinin bir pozitif tam sayı olması şartını sadece r=6 durumu sağlar ve bu durumda a=3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim formülünü yazalım.
Tr+1=(8r)⋅(xa)8−r⋅(−1x)r=(8r)⋅(−1)r⋅xa(8−r)−rT_{r+1} = \binom{8}{r} \cdot (x^a)^{8-r} \cdot (-\frac{1}{x})^r = \binom{8}{r} \cdot (-1)^r \cdot x^{a(8-r)-r}
Binom açılımında herhangi bir terimi bulmak için genel terim formülü kullanılır.
2
Sabit terimin katsayısını kullanarak r değerini belirleyelim.
(8r)⋅(−1)r=28⇒r=2\binom{8}{r} \cdot (-1)^r = 28 \Rightarrow r = 2 veya r=6r = 6 (r çift olmalıdır).
Sabit terimin katsayısı 28 olarak verildiği için kombinasyon değerinin bu sayıya eşit olması ve işaretin pozitif kalması gerekir.
3
Sabit terim için x'in üssünü sıfıra eşitleyen denklemi kuralım.
a(8−r)−r=0a(8-r) - r = 0
Bir terimin sabit terim olabilmesi için değişkenin üssü sıfıra eşit olmalıdır.
4
Bulunan r değerlerini yerine yazarak a'yı bulalım.
r=6r=6 için a(8−6)−6=0⇒2a=6⇒a=3a(8-6) - 6 = 0 \Rightarrow 2a = 6 \Rightarrow a = 3. (r=2r=2 için a=1/3a=1/3 tam sayı değildir).
Soruda a'nın pozitif bir tam sayı olduğu belirtilmiştir, bu nedenle sadece r=6 durumu şartı sağlar.

Anahtar Kavram

Binom Açılımında Sabit Terim

İpuçları

1
Sabit terimi bulmak için x'in üssünü sıfır yapmanız gerektiğini hatırlayın.
2
8'in hangi r'li kombinasyonunun 28 ettiğini belirleyerek r değerlerini bulun.
3
Kombinasyon simetrisinden r=2 veya r=6 olabilir; ancak r=6 değeri a'yı bir tam sayı yapar.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu katsayılar toplamı üzerinden çözerek n değerini bulma pratiği yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Terimleri tek tek yazmak yerine, genel terim ifadesinde katsayıyı veren kombinasyon değerlerini deneyerek a'nın tam sayı çıkıp çıkmadığı kontrol edilebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 18Soru →
(x2−2x)n \left( x^2 - \frac{2}{x} \right)^n
ifadesinin açılımında baştan 5. terim sabit terimdir.

Buna göre, bu açılımdaki ortadaki terimin katsayısının sabit terime oranı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −23-\frac{2}{3}

Cevap

İstenen oran −23-\frac{2}{3} tür.
Doğru cevap, nn değerinin doğru bulunması, ortadaki terim ve sabit terim katsayılarının işaret ve kuvvetlere dikkat edilerek hesaplanıp oranlanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim formülünü yazarak sabit terim koşulunu sağlayan n değerini bul.
Genel terim: (nr)(x2)n−r(−2x−1)r\binom{n}{r}(x^2)^{n-r}(-2x^{-1})^r. Baştan 5. terim için r=4r=4 tür. xx'in kuvveti: 2(n−4)−1(4)=0⇒2n=12⇒n=62(n-4) - 1(4) = 0 \Rightarrow 2n = 12 \Rightarrow n=6.
Binom açılımında baştan (r+1)(r+1). terim formülü kullanılır.
2
Bulunan n değeri için ortadaki terimi belirle.
n=6n=6 (çift sayı) olduğu için n+1=7n+1=7 terim vardır. Ortadaki terim 4. terimdir, yani r=3r=3 tür.
Ortadaki terim için r=n/2r = n/2 alınır.
3
Ortadaki terimin katsayısını hesapla.
r=3r=3 için katsayı: (63)⋅(1)3⋅(−2)3=20⋅(−8)=−160\binom{6}{3} \cdot (1)^3 \cdot (-2)^3 = 20 \cdot (-8) = -160.
Katsayı hesaplanırken hem kombinasyon hem de terimlerin sayısal çarpanları alınır.
4
Sabit terimin katsayısını hesapla.
r=4r=4 (sabit terim) için katsayı: (64)⋅(1)2⋅(−2)4=15⋅16=240\binom{6}{4} \cdot (1)^2 \cdot (-2)^4 = 15 \cdot 16 = 240.
Sabit terim x0x^0 lı terimdir.
5
İstenen oranı hesapla.
Oran = −160240=−1624=−23\frac{-160}{240} = -\frac{16}{24} = -\frac{2}{3}.
Sonuç sadeleştirilir.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim C(n,r)⋅an−r⋅brC(n,r) \cdot a^{n-r} \cdot b^r formülüyle bulunur. Sabit terim için değişkenin üssü 0 olmalıdır.

İpuçları

1
Önce verilen ifadenin kaçıncı kuvvetinin (nn) alındığını bulmalısın. Bunun için genel terim formülünü (Tr+1T_{r+1}) kullan ve sabit terim olması için xx'in üssünü sıfıra eşitle.
2
Baştan 5. terim dendiği için r=4r=4 almalısın. Buradan n=6n=6 bulunacaktır. Şimdi n=6n=6 için ortadaki terimin kaçıncı terim olduğunu bul.
3
n=6n=6 açılımında 7 terim vardır, ortadaki terim 4. terimdir (r=3r=3). Katsayıları hesaplarken (−2/x)r(-2/x)^r ifadesindeki (−2)(-2) sayısının kuvvetini almayı unutma.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 19Soru →
(x+2y)6(x + 2y)^6 ifadesinin binom açılımında kaç farklı terim bulunur?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Verilen ifadenin binom açılımında 7 farklı terim bulunur.
Binom açılımının temel kuralına göre, (ax+by)n(ax + by)^n şeklindeki bir ifadenin açılımında bulunan terim sayısı, ifadenin üzerindeki nn kuvvetinin bir fazlasıdır (n+1n+1). Sorudaki ifadenin kuvveti 6 olduğu için terim sayısı 6+1=76 + 1 = 7 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İfadenin kuvvetini (nn) belirleyin.
(x+2y)6(x + 2y)^6 ifadesinde kuvvet n=6n = 6 dır.
Binom açılımı kurallarını uygulamak için öncelikle parantez dışındaki kuvveti tespit etmemiz gerekir.
2
Binom açılımındaki terim sayısı formülünü uygulayın.
Terim sayısı =n+1=6+1=7= n + 1 = 6 + 1 = 7.
Bir binom açılımında terim sayısı, ifadenin kuvvetinin daima bir fazlasına eşittir.

Anahtar Kavram

Binom açılımında (a+b)n(a+b)^n ifadesinin açılımında n+1n+1 tane terim vardır.

İpuçları

1
Binom açılımında terim sayısı ile ifadenin üzerindeki kuvvet arasında sabit bir ilişki vardır.
2
Örneğin (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 açılımında kuvvet 2 iken terim sayısı 3'tür.
3
Genel kural olarak nn. dereceden bir binom açılımında n+1n+1 tane terim bulunur. Bu soruda n=6n=6 olarak verilmiştir.

Daha Fazla Pratik

Kuvveti farklı olan benzer ifadelerin terim sayılarını hesaplayarak kuralı pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Pascal üçgenini düşünürsek; 6. kuvvetin katsayılarının bulunduğu satırda (7. satır) kaç sayı olduğuna bakarak da terim sayısını bulabiliriz.
Tahmini Süre:30s
Soru 20Soru →
(x2−1x)n \left( x^2 - \frac{1}{x} \right)^n ifadesinin açılımında baştan 4. terimin binom katsayısı ile baştan 6. terimin binom katsayısı birbirine eşittir.

Buna göre, bu açılımdaki x7x^7 li terimin katsayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -56

Cevap

-56
Soruda verilen binom katsayılarının eşitliği ((n3)=(n5)\binom{n}{3} = \binom{n}{5}) kullanılarak n=8 bulunur. Genel terim formülü (8r)(x2)8−r(−x−1)r\binom{8}{r} (x^2)^{8-r} (-x^{-1})^r şeklinde yazılıp x'in kuvveti 16−3r=716-3r=7 eşitliğinden r=3r=3 olarak elde edilir. Yerine konulduğunda katsayı (83)(−1)3=−56\binom{8}{3}(-1)^3 = -56 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
n değerini bulmak için binom katsayılarının eşitliği özelliğini kullan.
Baştan 4. terim için r=3, baştan 6. terim için r=5 alınır. (n3)=(n5)\binom{n}{3} = \binom{n}{5} ise n=3+5=8n = 3 + 5 = 8 bulunur.
Binom açılımında (nr)=(nk)\binom{n}{r} = \binom{n}{k} ise ya r=kr=k ya da r+k=nr+k=n olmalıdır.
2
Genel terim formülünü yaz ve x'in kuvvetini düzenle.
Genel terim: (8r)(x2)8−r(−1x)r=(8r)x16−2r(−1)rx−r=(8r)(−1)rx16−3r\binom{8}{r} (x^2)^{8-r} (-\frac{1}{x})^r = \binom{8}{r} x^{16-2r} (-1)^r x^{-r} = \binom{8}{r} (-1)^r x^{16-3r}
İstenen kuvveti elde etmek için tüm x terimleri birleştirilmelidir.
3
x'in kuvvetini 7'ye eşitleyerek r değerini bul.
16−3r=7⇒3r=9⇒r=316 - 3r = 7 \Rightarrow 3r = 9 \Rightarrow r = 3
Soruda x7x^7 li terimin katsayısı sorulmaktadır.
4
Bulunan r değerini katsayı formülünde yerine koy.
Katsayı = (83)(−1)3=8⋅7⋅63⋅2⋅1⋅(−1)=56⋅(−1)=−56\binom{8}{3} (-1)^3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot (-1) = 56 \cdot (-1) = -56
Katsayı hem binom katsayısını hem de terimlerin sayısal çarpanlarını içerir.

Anahtar Kavram

Binom açılımında (nr)=(nn−r)\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r} simetrisi ve genel terim formülü Tr+1=(nr)an−rbrT_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r.
Sayfa 1 / 2Sonraki
Binom Açılımı Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür | Examkin