Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBinom Açılımı
(3x−1)n(3x - 1)^n ifadesinin binom açılımındaki katsayılar toplamı 128128 olduğuna göre, bu açılımdaki x2x^2 li terimin katsayısı kaçtır?
  1. −189-189Cevap
  2. B
    189189
  3. C
    −378-378
  4. D
    −21-21
  5. E
    135135

Cevap

İfadenin katsayılar toplamından n=7n=7 bulunur ve genel terim formülüyle x2x^2 li terimin katsayısı −189-189 olarak hesaplanır.
Katsayılar toplamı kuralından hareketle açılımın kuvveti n=7n=7 olarak belirlenir. Ardından x2x^2 li terimi bulmak için binom açılım formülünde birinci terimin kuvvetinin 22 olması gerektiği görülür (7−5=27-5=2). Bu da r=5r=5 değerine karşılık gelir. Yapılan hesaplamalar sonucunda −189-189 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Katsayılar toplamını kullanarak nn değerini bulun.
x=1x=1 için (3⋅1−1)n=128⇒2n=27⇒n=7(3 \cdot 1 - 1)^n = 128 \Rightarrow 2^n = 2^7 \Rightarrow n=7
Bir polinomda veya binom açılımında katsayılar toplamı, değişkenlerin yerine 1 yazılarak elde edilir.
2
Genel terim formülünü yazın ve x2x^2 li terimi veren rr değerini belirleyin.
Tr+1=(7r)(3x)7−r(−1)rT_{r+1} = \binom{7}{r} (3x)^{7-r} (-1)^r. x7−r=x2x^{7-r} = x^2 için 7−r=2⇒r=57-r=2 \Rightarrow r=5
x2x^2 terimini elde etmek için birinci terimin kuvvetinin 2 olması gerekir.
3
Belirlenen nn ve rr değerlerini yerini koyarak katsayıyı hesaplayın.
Katsayı =(75)⋅32⋅(−1)5=21⋅9⋅(−1)=−189= \binom{7}{5} \cdot 3^2 \cdot (-1)^5 = 21 \cdot 9 \cdot (-1) = -189
Kombinasyon, üslü sayı ve işaret kuralları uygulanarak sonuç belirlenir.

Anahtar Kavram

Binom açılımında katsayılar toplamı ve belirli bir terimin katsayısını bulma.

İpuçları

1
Katsayılar toplamını bulmak için açılımdaki xx yerine 11 yazın.
2
2n=1282^n = 128 ise nn kaçtır? Bulduğunuz nn değerini binomun genel terim formülünde kullanın.
3
(ax+b)n(ax+b)^n açılımında xkx^k lı terim için (nr)(ax)n−rbr\binom{n}{r} (ax)^{n-r} b^r formülünde n−r=kn-r=k eşitliğini kurun.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde (2x−3)5(2x - 3)^5 açılımındaki sabit terimi bulmayı deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 15s
Bu soruyu puanla

Konular

Binom Açılımı

Bu konudan daha fazla soru