Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBinom Açılımı

(2x+y)n(2x + y)^n ifadesinin katsayılar toplamı 243243 tür. Buna göre, bu ifadenin açılımında yer alan x3y2x^3 y^2 li terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    10
  2. B
    20
  3. C
    40
  4. 80Cevap
  5. E
    243

Cevap

80
Öncelikle katsayılar toplamından n değeri bulunur: (2+1)^n = 3^n = 243 ise n=5'tir. İstenen terim x^3 y^2 olduğuna göre, (a+b)^n açılımında baştan (r+1). terim formülü C(n,r) a^(n-r) b^r kullanılır. Burada a=2x, b=y ve n=5'tir. y^2 olması için r=2 seçilir. Katsayı C(5,2) · (2)^3 = 10 · 8 = 80 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Katsayılar toplamı formülünü kullanarak n değerini bulma
x=1 ve y=1 için (2(1) + 1)^n = 3^n = 243 olduğundan n = 5 bulunur.
Bir binom açılımında katsayılar toplamı, değişkenler yerine 1 yazılarak bulunur.
2
Genel terim formülünü yazma
C(5, r) · (2x)^(5-r) · (y)^r
(a+b)^n açılımının genel terimi C(n,r)·a^(n-r)·b^r dir.
3
İstenen terim için r değerini belirleme
x^3·y^2 olması için y'nin üssü r=2 olmalıdır. (x'in üssü 5-2=3 olur, sağlar).
Terimdeki değişkenlerin kuvvetleri, genel formüldeki kuvvetlerle eşleştirilir.
4
Katsayıyı hesaplama
C(5, 2) · (2)^3 · (1)^2 = 10 · 8 · 1 = 80
Katsayı; kombinasyon değeri ve terimlerin katsayılarının kuvvetleri çarpılarak bulunur.

Anahtar Kavram

Binom açılımında genel terim formülü C(n,r)·a^(n-r)·b^r kullanılarak istenen terimin katsayısı bulunur. Ayrıca katsayılar toplamı için değişkenlere 1 verilir.
Bu soruyu puanla

Konular

Binom Açılımı

Bu konudan daha fazla soru