Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKatı Cisimler

Yarıçapı rr olan dik dairesel silindir biçimindeki bir su kabının yarısı su ile doludur. Bu kabın içerisine yarıçapı rr olan metal bir küre bırakıldığında, küre tamamen suya batmakta ve su seviyesi silindirin üst taban seviyesine (ağzına kadar) ulaşmaktadır. Buna göre, silindirin yüksekliğinin yarıçapına oranı (hr\frac{h}{r}) kaçtır?

  1. A
    2
  2. B
    73\frac{7}{3}
  3. 83\frac{8}{3}Cevap
  4. D
    3
  5. E
    103\frac{10}{3}

Cevap

Silindirin yüksekliğinin yarıçapına oranı 83\frac{8}{3} olarak bulunur.
Kürenin hacmi (43πr3\frac{4}{3}\pi r^3), silindirin boş olan üst yarısının hacmine (πr2⋅h2\pi r^2 \cdot \frac{h}{2}) eşit olduğundan, denklemin çözümünden yükseklik-yarıçap oranı 83\frac{8}{3} çıkar.

Adım Adım Çözüm

1
Kürenin hacmini ifade edin.
Vku¨re=43πr3V_{\text{küre}} = \frac{4}{3}\pi r^3
Tamamen batan bir cisim, hacmi kadar sıvının yerini değiştirir.
2
Yükselen suyun hacmini (silindirin boş kısmını) ifade edin.
Vyu¨kselen=πr2⋅h2V_{\text{yükselen}} = \pi r^2 \cdot \frac{h}{2}
Kaptan su taşmadığına ve su seviyesi yarısından (h/2h/2) ağzına (hh) kadar yükseldiğine göre, yükselen suyun hacmi yüksekliği h/2h/2 olan silindirin hacmine eşittir.
3
Kürenin hacmini yükselen suyun hacmine eşitleyin.
43πr3=πr2⋅h2\frac{4}{3}\pi r^3 = \pi r^2 \cdot \frac{h}{2}
Batan kürenin hacmi, silindirde yükselen su hacmine eşittir.
4
Eşitliği sadeleştirerek istenen oranı bulun.
43r=h2⇒83r=h⇒hr=83\frac{4}{3}r = \frac{h}{2} \Rightarrow \frac{8}{3}r = h \Rightarrow \frac{h}{r} = \frac{8}{3}
Her iki taraftan πr2\pi r^2 terimleri sadeleştirilir ve içler dışlar çarpımı yapılır.

Anahtar Kavram

Batan cisimlerin hacmi, yer değiştiren sıvının hacmine eşittir.

İpuçları

1
Kürenin hacmi ile silindirde suyun yükseldiği kısmın hacmi birbirine eşittir.
2
Su seviyesi h/2h/2'den hh'a çıktığına göre yükselen hacim, yüksekliği h/2h/2 olan bir silindirdir.
3
43πr3=πr2⋅h2\frac{4}{3}\pi r^3 = \pi r^2 \cdot \frac{h}{2} denklemini kurup h/rh/r oranını çekmelisiniz.

Daha Fazla Pratik

Eğer kürenin yarıçapı silindirin yarıçapının yarısı (r/2r/2) olsaydı oran nasıl değişirdi?
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Katı Cisimler

Bu konudan daha fazla soru