Examkin

Soru

Zorluk: ZorKartezyen Çarpım
AA ve BB boş kümeden farklı iki küme olmak üzere,
s(A)=6s(A)=6
s(B)=8s(B)=8
s(A∪B)=10s(A \cup B)=10
eșitlikleri veriliyor.

Buna göre, s((A×B)∪(B×A))s((A \times B) \cup (B \times A)) değeri kaçtır?

  1. A
    16
  2. B
    48
  3. 80Cevap
  4. D
    96
  5. E
    100

Cevap

İstenen birleşim kümesinin eleman sayısı 80'dir.
Soruyu çözmek için önce AA ve BB kümelerinin kesişim eleman sayısını bulmalıyız. s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) formülünden 10=6+8−s(A∩B)10 = 6 + 8 - s(A \cap B) yazılır ve s(A∩B)=4s(A \cap B) = 4 bulunur. Daha sonra bizden istenen s((A×B)∪(B×A))s((A \times B) \cup (B \times A)) ifadesi için genel birleşim kuralı olan s(X∪Y)=s(X)+s(Y)−s(X∩Y)s(X \cup Y) = s(X) + s(Y) - s(X \cap Y) uygulanır. Burada s(A×B)=48s(A \times B) = 48 ve s(B×A)=48s(B \times A) = 48'dir. Kesişim bölgesi için ise kartezyen çarpım özelliği gereği (A×B)∩(B×A)=(A∩B)×(A∩B)(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (A \cap B) eşitliği kullanılır. Bu durumda kesişim eleman sayısı 4⋅4=164 \cdot 4 = 16 olur. Sonuç olarak 48+48−16=8048 + 48 - 16 = 80 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
A∩BA \cap B kümesinin eleman sayısını bul
s(A∩B)=s(A)+s(B)−s(A∪B)=6+8−10=4s(A \cap B) = s(A) + s(B) - s(A \cup B) = 6 + 8 - 10 = 4
Kümelerin birleşimi formülünden kesişim eleman sayısına ulaşmak gerekir.
2
Kartezyen çarpım kümelerinin ayrı ayrı eleman sayılarını hesapla
s(A×B)=6⋅8=48s(A \times B) = 6 \cdot 8 = 48 ve s(B×A)=8⋅6=48s(B \times A) = 8 \cdot 6 = 48
Kartezyen çarpımın eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımıdır.
3
Kartezyen çarpımların kesişim kümesinin eleman sayısını bul
s((A×B)∩(B×A))=s(A∩B)⋅s(B∩A)=4⋅4=16s((A \times B) \cap (B \times A)) = s(A \cap B) \cdot s(B \cap A) = 4 \cdot 4 = 16
(A×B)∩(C×D)=(A∩C)×(B∩D)(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D) kuralı kullanılır.
4
Birleşim formülünü uygula
48+48−16=8048 + 48 - 16 = 80
s(X∪Y)=s(X)+s(Y)−s(X∩Y)s(X \cup Y) = s(X) + s(Y) - s(X \cap Y) formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Kartezyen Çarpımın Birleşimi ve Kesişimi

İpuçları

1
Önce s(A∩B)s(A \cap B) değerini bulmak için kümelerde birleşim formülünü kullanın.
2
İstenen ifade s(X∪Y)=s(X)+s(Y)−s(X∩Y)s(X \cup Y) = s(X) + s(Y) - s(X \cap Y) yapısındadır. Burada X=A×BX = A \times B ve Y=B×AY = B \times A olarak düşünülmelidir.
3
Kartezyen çarpımların kesişimi kuralını hatırlayın: (A×B)∩(B×A)(A \times B) \cap (B \times A) kümesi, aslında (A∩B)×(B∩A)(A \cap B) \times (B \cap A) kümesine eşittir.

Daha Fazla Pratik

Kümelerin ayrık olduğu durumda kartezyen çarpım birleşiminin nasıl değiştiğini inceleyen bir soru çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kartezyen Çarpım

Bu konudan daha fazla soru