Examkin

Soru

Zorluk: ZorKartezyen Çarpım
A ve B boş kümeden farklı iki küme ve B⊂AB \subset A olmak üzere,
K=(A×A)∖(B×B)K = (A \times A) \setminus (B \times B)
kümesi tanımlanıyor.

K kümesinin eleman sayısının 48 olduğu bilindiğine göre, A kümesinin eleman sayısı en az kaçtır?

  1. A
    6
  2. 7Cevap
  3. C
    8
  4. D
    13
  5. E
    25

Cevap

A kümesinin eleman sayısı en az 7'dir.
Verilen K=(A×A)∖(B×B)K = (A \times A) \setminus (B \times B) ifadesi, B⊂AB \subset A koşulu altında, eleman sayısının s(A)2−s(B)2s(A)^2 - s(B)^2 olduğunu gösterir. a2−b2=48a^2 - b^2 = 48 eşitliğini sağlayan pozitif tam sayılar arandığında, (a−b)(a-b) ve (a+b)(a+b) çarpanlarının aynı paritede (ikisi de çift) olması gerektiği görülür. Bu koşulu sağlayan çarpan çiftleri (2, 24), (4, 12) ve (6, 8)'dir. Bu çiftlerden elde edilen aa değerleri sırasıyla 13, 8 ve 7'dir. En küçük değer 7'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Kartezyen çarpım ve fark kümesi özelliklerini kullanarak denklem kur.
s(A)=as(A)=a ve s(B)=bs(B)=b olsun. B⊂AB \subset A olduğundan B×B⊂A×AB \times B \subset A \times A'dır. Bu durumda s(K)=s(A×A)−s(B×B)=a2−b2=48s(K) = s(A \times A) - s(B \times B) = a^2 - b^2 = 48 olur.
Alt küme ilişkisi olduğu için eleman sayıları doğrudan çıkarılabilir.
2
İki kare farkı özdeşliğini kullanarak ifadeyi çarpanlarına ayır.
(a−b)⋅(a+b)=48(a-b) \cdot (a+b) = 48 denklemi elde edilir.
Tam sayı çözümlerini bulmak için ifade çarpım durumuna getirilmelidir.
3
Çarpanların tek-çift durumunu incele.
Çarpımları 48 (çift) olan iki sayının toplamı (2a2a) çift olacağından, çarpanların ikisi de çift sayı olmalıdır.
Teklik-çiftlik analizi yapılarak 1x48 ve 3x16 gibi geçersiz durumlar elenir.
4
Olası çarpan çiftlerini (ikisi de çift olan) incele ve aa değerlerini bul.
Durum 1: a−b=2,a+b=24⇒2a=26⇒a=13a-b=2, a+b=24 \Rightarrow 2a=26 \Rightarrow a=13
Durum 2: a−b=4,a+b=12⇒2a=16⇒a=8a-b=4, a+b=12 \Rightarrow 2a=16 \Rightarrow a=8
Durum 3: a−b=6,a+b=8⇒2a=14⇒a=7a-b=6, a+b=8 \Rightarrow 2a=14 \Rightarrow a=7
Tüm geçerli tamsayı ikililerini belirlemek için.
5
En küçük aa değerini seç.
Bulunan değerler (13, 8, 7) arasından en küçük olan 7'dir.
Soru en az değeri sormaktadır.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpımın eleman sayısı özellikleri ve iki kare farkı özdeşliğinin sayı teorisiyle ilişkisi.

İpuçları

1
B⊂AB \subset A olduğu için B×BB \times B kümesi A×AA \times A kümesinin alt kümesidir. Eleman sayılarını doğrudan çıkarabilirsiniz.
2
s(A)=as(A)=a ve s(B)=bs(B)=b derseniz, problem a2−b2=48a^2 - b^2 = 48 denklemini sağlayan en küçük aa sayısını bulmaya dönüşür.
3
48 sayısının çarpanlarını düşünün (örneğin 6×86 \times 8). (a−b)(a-b) ve (a+b)(a+b) çarpanlarının toplamı 2a2a (çift sayı) olmalıdır, bu yüzden her iki çarpan da çift sayı olmalıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla kurgulanmış, ancak (A×B)∪(B×A)(A \times B) \cup (B \times A) eleman sayısını soran soruları inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tam kare sayıları listeleyerek farkı 48 olanları arayabilirsiniz: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 (49-1=48). 72−12=487^2 - 1^2 = 48 eşitliğini hızlıca görebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kartezyen Çarpım

Bu konudan daha fazla soru