Examkin

Soru

Zorluk: ZorKatı Cisimler

Analitik düzlemde köşe noktaları A(0,0)A(0,0), B(3,0)B(3,0), C(3,2)C(3,2) ve D(0,5)D(0,5) olan ABCDABCD dik yamuğu veriliyor. Bu düzlemsel bölgenin xx-ekseni etrafında 360∘360^\circ döndürülmesiyle oluşan katı cismin hacmi kaç π\pi birimküptür?

  1. A
    21
  2. B
    29
  3. 39Cevap
  4. D
    49
  5. E
    63

Cevap

Oluşan cismin hacmi 39π39\pi birimküptür.
Verilen noktalar çizildiğinde, taban yarıçapı r1=5r_1=5, tavan yarıçapı r2=2r_2=2 ve yüksekliği h=3h=3 olan bir kesik koni oluşur. Kesik koni hacim formülü V=πh3(r12+r1r2+r22)V = \frac{\pi h}{3}(r_1^2 + r_1r_2 + r_2^2) kullanılarak 39π39\pi sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen noktaları koordinat sisteminde işaretleyip şekli analiz et.
A(0,0)A(0,0) ve B(3,0)B(3,0) noktaları xx-ekseni üzerindedir. ADAD doğru parçası yy-ekseni üzerinde olup uzunluğu 55 birimdir (r1=5r_1=5). BCBC doğru parçası x=3x=3 doğrusu üzerinde olup uzunluğu 22 birimdir (r2=2r_2=2). Yükseklik ABAB uzunluğudur (h=3h=3).
Dönme ekseni (xx-ekseni) ve cismim boyutlarını belirlemek için gereklidir.
2
Oluşan cismin türünü belirle.
Bir dik yamuğun dik kenarı (ABAB) etrafında döndürülmesiyle 'Kesik Koni' (Frustum) oluşur.
Hangi hacim formülünün kullanılacağını tespit etmek için.
3
Kesik koni hacim formülünü uygula.
V=π⋅h3(r12+r1⋅r2+r22)V = \frac{\pi \cdot h}{3} (r_1^2 + r_1 \cdot r_2 + r_2^2) formülünde değerler yerine konulur: V=π⋅33(52+5⋅2+22)V = \frac{\pi \cdot 3}{3} (5^2 + 5\cdot 2 + 2^2).
Hacim hesabı için doğru matematiksel bağıntıyı kullanmak.
4
İşlemleri tamamla.
V=π(25+10+4)=39πV = \pi (25 + 10 + 4) = 39\pi.
Sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Bir dik yamuğun dik kenarı etrafında 360 derece döndürülmesiyle kesik koni oluşur. Kesik koni hacmi V=πh3(r12+r1r2+r22)V = \frac{\pi h}{3}(r_1^2 + r_1r_2 + r_2^2) formülü ile veya büyük koniden küçük koninin çıkarılması yöntemiyle bulunur.

İpuçları

1
Verilen noktaları koordinat düzleminde çizerek oluşan şeklin bir 'Kesik Koni' olduğunu fark etmeye çalışın.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Katı Cisimler

Bu konudan daha fazla soru