Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜslü İfadeler

2x=32^x = 3 ve 2y=812^y = 81 eşitlikleri verilmiştir.

Buna göre, (4)x+y2x(4)^{\frac{x+y}{2x}} ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A
    8
  2. B
    16
  3. 32Cevap
  4. D
    64
  5. E
    128

Cevap

Doğru cevap 32'dir.
Verilen eşitliklerde 2x=32^x=3 ve 2y=812^y=81 ilişkisinden yola çıkılarak, 81=3481=3^4 olduğu görülür. 2y=(3)4=(2x)4=24x2^y = (3)^4 = (2^x)^4 = 2^{4x} olduğundan y=4xy=4x eşitliği bulunur. Bu eşitlik sorulan ifadede yerine konulduğunda üs 52\frac{5}{2} çıkar. 45/2=324^{5/2} = 32 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ikinci eşitlikteki 81 sayısını 3 tabanında yazarak xx ve yy arasındaki ilişkiyi belirleyin.
2y=81=342^y = 81 = 3^4 olduğu için, 2x=32^x = 3 bilgisini kullanarak 2y=(2x)4=24x2^y = (2^x)^4 = 2^{4x} elde edilir. Buradan y=4xy = 4x bulunur.
Değişkenler arasında bağlantı kurmak için tabanların eşitlenmesi gerekir.
2
Bulunan y=4xy = 4x eşitliğini sorulan ifadede yerine yazın.
İfade x+y2x\frac{x+y}{2x} olduğundan, x+4x2x=5x2x=52\frac{x+4x}{2x} = \frac{5x}{2x} = \frac{5}{2} bulunur.
İstenen üslü ifadenin kuvvetini sadeleştirmek için.
3
Tabanı düzenleyerek sonucu hesaplayın.
(4)52=(22)52=22⋅52=25=32(4)^{\frac{5}{2}} = (2^2)^{\frac{5}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{5}{2}} = 2^5 = 32.
Üssün üssü kuralını uygulayarak sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Üslü sayılarda taban değiştirme ve üssün üssü kuralı kullanılarak değişkenler arası ilişkilerin çözülmesi.

İpuçları

1
81 sayısını 3 tabanında yazarak xx ve yy arasında nasıl bir ilişki olduğunu bulun.
2
81=3481 = 3^4 olduğuna göre, 2y=(2x)42^y = (2^x)^4 eşitliğini kullanarak yy'nin xx cinsinden değerini belirleyin.
3
y=4xy = 4x eşitliğini sorudaki kesirde yerine koyun ve 44 tabanını 222^2 olarak düşünün.

Alternatif Yöntem

Logaritma kullanarak da çözülebilir: x=log⁡23x = \log_2 3 ve y=log⁡281=4log⁡23=4xy = \log_2 81 = 4 \log_2 3 = 4x. Buradan doğrudan oranlama yapılabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üslü İfadeler

Bu konudan daha fazla soru