Examkin

Soru

Zorluk: ZorKartezyen Çarpım
Z\mathbb{Z} tamsayılar kümesi olmak üzere,
A={x∈Z:∣x−1∣≤3}A = \{x \in \mathbb{Z} : |x - 1| \le 3\}
B={x∈Z:−1≤x<6}B = \{x \in \mathbb{Z} : -1 \le x < 6\}
kümeleri veriliyor.

Buna göre, (A×B)∩(B×A)(A \times B) \cap (B \times A) kümesinin eleman sayısı kaçtır?

  1. A
    25
  2. 36Cevap
  3. C
    42
  4. D
    49
  5. E
    12

Cevap

36
Doğru cevap, AA ve BB kümelerinin kesişiminin eleman sayısının karesidir. AA kümesi {−2,−1,0,1,2,3,4}\{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\} ve BB kümesi {−1,0,1,2,3,4,5}\{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\} elemanlarından oluşur. Ortak elemanlar (kesişim) {−1,0,1,2,3,4}\{-1, 0, 1, 2, 3, 4\} olmak üzere 6 tanedir. Kartezyen çarpımın kesişim özelliği gereği sonuç 6×6=366 \times 6 = 36 olur.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle belirle.
∣x−1∣≤3⇒−3≤x−1≤3⇒−2≤x≤4|x - 1| \le 3 \Rightarrow -3 \le x - 1 \le 3 \Rightarrow -2 \le x \le 4. Buradan A={−2,−1,0,1,2,3,4}A = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\} olup s(A)=7s(A) = 7 bulunur.
Mutlak değerli eşitsizliği çözerek tamsayı elemanlarını bulmak gerekir.
2
B kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle belirle.
−1≤x<6-1 \le x < 6 aralığındaki tamsayılar: B={−1,0,1,2,3,4,5}B = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\} olup s(B)=7s(B) = 7 bulunur.
Verilen aralıktaki tamsayıları eksiksiz listelemek gerekir.
3
Kartezyen çarpımın kesişim özelliğini hatırla ve ilgili kümeyi tespit et.
(A×B)∩(B×A)=(A∩B)×(B∩A)(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (B \cap A) özelliğine göre, bizden istenen (A∩B)×(A∩B)(A \cap B) \times (A \cap B) kümesinin eleman sayısıdır. Çünkü A∩B=B∩AA \cap B = B \cap A'dır.
İşlemi kısaltmak için kartezyen çarpımın dağılma özelliğini kullanmak en etkili yoldur.
4
A∩BA \cap B kümesini ve eleman sayısını bul.
AA ve BB kümelerinin ortak elemanları: {−1,0,1,2,3,4}\{-1, 0, 1, 2, 3, 4\}. Bu durumda s(A∩B)=6s(A \cap B) = 6.
Kesişim kümesinin eleman sayısı sonuca ulaşmak için gereklidir.
5
Sonucu hesapla.
s((A∩B)×(A∩B))=s(A∩B)⋅s(A∩B)=6⋅6=36s((A \cap B) \times (A \cap B)) = s(A \cap B) \cdot s(A \cap B) = 6 \cdot 6 = 36.
Kartezyen çarpımın eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpımda kesişim işlemi: (A×B)∩(C×D)=(A∩C)×(B∩D)(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)

İpuçları

1
Önce A ve B kümelerinin elemanlarını liste yöntemiyle açıkça yazmayı deneyin.
2
(A×B)∩(C×D)=(A∩C)×(B∩D)(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D) özdeşliğini kullanabilirsiniz. Burada C yerine B, D yerine A gelmektedir.
3
Sorulan ifade aslında (A∩B)×(B∩A)(A \cap B) \times (B \cap A) kümesidir. A∩BA \cap B kümesinin kaç elemanı olduğunu bulup karesini alın.

Daha Fazla Pratik

Kartezyen çarpım grafiğinin çevrelediği alanı soran geometrik soruları inceleyin.

Alternatif Yöntem

Kümeleri analitik düzlemde çizip, oluşan karesel bölgenin içindeki tamsayı koordinatlı noktaları sayarak da sonuca ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kartezyen Çarpım

Bu konudan daha fazla soru