Examkin

Soru

Zorluk: OrtaFaktöriyel (Temel)
xx ve yy doğal sayılar olmak üzere,
x!=120⋅y!x! = 120 \cdot y!
eşitliğini sağlayan xx ve yy değerleri için, x+yx+y toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
  1. A
    239
  2. B
    248
  3. C
    254
  4. 259Cevap
  5. E
    260

Cevap

Doğru cevap, x+y toplamının alabileceği tüm değerlerin toplamı olan 259'dur.
Verilen eşitliği sağlayan dört farklı (x,y)(x,y) ikilisi vardır. Bunlar:
1. x=120,y=119x=120, y=119 (Toplam: 239)
2. x=6,y=3x=6, y=3 (Çünkü 6.5.4=1206.5.4=120, Toplam: 9)
3. x=5,y=1x=5, y=1 (Çünkü 120=5!120=5!, 1!=11!=1, Toplam: 6)
4. x=5,y=0x=5, y=0 (Çünkü 120=5!120=5!, 0!=10!=1, Toplam: 5)
Bu değerlerin toplamı 239+9+6+5=259239 + 9 + 6 + 5 = 259 eder.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliği x!/y!=120x! / y! = 120 şeklinde düzenleyip 120 sayısını ardışık çarpanlar şeklinde yazabileceğimiz durumları analiz et.
x!=120⋅y!x! = 120 \cdot y! ifadesini incelemeye başla.
Faktöriyel tanımı gereği x!=x⋅(x−1)⋅...⋅(y+1)⋅y!x! = x \cdot (x-1) \cdot ... \cdot (y+1) \cdot y! olduğundan, 120120 sayısı ardışık sayıların çarpımı olmalıdır.
2
1. Durum: Ardışık tek sayı durumu. x!=120⋅119!x! = 120 \cdot 119! olabilir.
x=120x=120 ve y=119y=119. Bu durumda x+y=120+119=239x+y = 120 + 119 = 239.
Her nn sayısı için n!=n⋅(n−1)!n! = n \cdot (n-1)! eşitliği geçerlidir.
3
2. Durum: Ardışık üç sayı çarpımı. 120=6⋅5⋅4120 = 6 \cdot 5 \cdot 4.
x=6x=6 seçilirse, 6⋅5⋅4⋅3!=6!6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3! = 6! olacağından y=3y=3 olur. x+y=6+3=9x+y = 6+3=9.
6!/3!=(720/6)=1206! / 3! = (720/6) = 120 eşitliği sağlanır.
4
3. Durum: 120 sayısının kendisinin bir faktöriyel olup olmadığını kontrol et. 120=5!120 = 5!.
x=5x=5 seçilirse, 5!=120⋅y!⇒120=120⋅y!⇒y!=15! = 120 \cdot y! \Rightarrow 120 = 120 \cdot y! \Rightarrow y!=1 olur.
y!=1y!=1 eşitliğini sağlayan iki farklı doğal sayı vardır: y=1y=1 ve y=0y=0.
5
y!=1y!=1 durumundan gelen kökleri bul ve toplamları hesapla.
y=1y=1 için x=5⇒x+y=6x=5 \Rightarrow x+y = 6. y=0y=0 için x=5⇒x+y=5x=5 \Rightarrow x+y = 5.
0!=10! = 1 ve 1!=11! = 1 olduğu unutulmamalıdır.
6
Bulunan tüm x+yx+y değerlerini topla.
239+9+6+5=259239 + 9 + 6 + 5 = 259.
Soruda tüm olası değerlerin toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Faktöriyel kavramında n!=n(n−1)!n! = n(n-1)! özelliği ve 0!=10! = 1 kuralı.

İpuçları

1
Faktöriyel tanımını hatırlayın: x!/y!x! / y! ifadesi ardışık sayıların çarpımı olmalıdır. 120 sayısını ardışık sayıların çarpımı olarak kaç farklı şekilde yazabilirsiniz?
2
120 sayısı 5!5!'e eşittir. Bu durumda y!y! kaç olmalıdır? y!=1y! = 1 denkleminin kaç farklı doğal sayı çözümü vardır?
3
Olası durumlar: 1) 120⋅119!120 \cdot 119!, 2) 6⋅5⋅46 \cdot 5 \cdot 4 (yani 6!'den geriye), 3) 5!⋅1!5! \cdot 1!, 4) 5!⋅0!5! \cdot 0!. 0!=10!=1 olduğunu unutmayın.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Faktöriyel (Temel)

Bu konudan daha fazla soru