Examkin

Soru

Zorluk: ZorArdışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

nn pozitif bir tam sayı olmak üzere; 11'den nn'ye kadar olan ardışık tam sayıların toplamı AA, 1515'ten nn'ye kadar olan ardışık tam sayıların toplamı BB ile ifade edilmektedir.

A+B=1535A + B = 1535 olduğuna göre, nn değeri kaçtır?

  1. A
    39
  2. 40Cevap
  3. C
    41
  4. D
    42
  5. E
    44

Cevap

Doğru cevap, nn değerinin 4040 olduğunu gösteren seçenektir.
11'den nn'ye kadar olan sayıların toplamı (AA) ile 1515'ten nn'ye kadar olanların toplamı (BB) arasındaki fark, baştaki eksik terimlerin (11'den 1414'e kadar) toplamıdır. Bu fark 105105 olarak bulunur. Soruda verilen A+B=1535A+B=1535 eşitliği ile A−B=105A-B=105 eşitliği taraf tarafa çözüldüğünde A=820A=820 bulunur. n(n+1)2=820\frac{n(n+1)}{2}=820 denkleminden n=40n=40 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
AA ve BB toplamlarını açık bir şekilde tanımla.
A=1+2+⋯+14+15+⋯+nA = 1 + 2 + \dots + 14 + 15 + \dots + n ve B=15+⋯+nB = 15 + \dots + n
Toplamlar arasındaki ilişkiyi görmek için ifadeleri açmak gerekir.
2
AA ve BB arasındaki farkı bul.
A−B=1+2+⋯+14A - B = 1 + 2 + \dots + 14
AA toplamı, BB toplamından ilk 14 sayının toplamı kadar fazladır.
3
İlk 14 sayının toplamını hesapla.
14⋅152=105\frac{14 \cdot 15}{2} = 105. Yani, A−B=105A - B = 105.
Gauss toplam formülü (n(n+1)2 \frac{n(n+1)}{2} ) kullanılarak fark hesaplanır.
4
Elde edilen denklemleri kullanarak AA değerini bul.
Verilen: A+B=1535A + B = 1535. Bulunan: A−B=105A - B = 105. Taraf tarafa toplanırsa: 2A=1640⇒A=8202A = 1640 \Rightarrow A = 820.
İki bilinmeyenli denklem sistemi çözülerek AA toplamına ulaşılır.
5
A=n(n+1)2A = \frac{n(n+1)}{2} formülünü kullanarak nn'yi bul.
n(n+1)2=820⇒n(n+1)=1640\frac{n(n+1)}{2} = 820 \Rightarrow n(n+1) = 1640. 40⋅41=164040 \cdot 41 = 1640 olduğundan n=40n = 40.
Ardışık sayıların toplam formülü tersine uygulanarak son terim bulunur.

Anahtar Kavram

Sonlu Toplamlar ve Gauss Yöntemi

İpuçları

1
AA toplamı 1,2,…,n1, 2, \dots, n sayılarından, BB toplamı ise 15,16,…,n15, 16, \dots, n sayılarından oluşur. AA ve BB arasındaki farkı bulmaya çalışın.
2
A−BA - B işlemi, 11'den 1414'e kadar olan ardışık sayıların toplamına eşittir. Bu toplamı hesaplayıp elinizdeki A+BA + B denklemiyle birlikte kullanın.
3
A−B=14⋅152=105A - B = \frac{14 \cdot 15}{2} = 105. Elinizde A+B=1535A+B=1535 ve A−B=105A-B=105 var. Bu iki denklemi taraf tarafa toplayarak önce AA'yı, sonra nn'yi bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, çift sayıların toplamı üzerinden kurgulanan soruları inceleyin.

Alternatif Yöntem

AA ve BB yerine doğrudan Gauss formülleri yazılabilir: n(n+1)2+(n(n+1)2−105)=1535\frac{n(n+1)}{2} + (\frac{n(n+1)}{2} - 105) = 1535. Buradan n(n+1)−105=1535⇒n(n+1)=1640n(n+1) - 105 = 1535 \Rightarrow n(n+1) = 1640 elde edilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Ardışık Sayılar ve Sonlu Toplamlar

Bu konudan daha fazla soru