Examkin

Soru

Zorluk: ZorKartezyen Çarpım

Tam sayılar kümesi üzerinde A={x:∣x−2∣≤1}A = \{x : |x - 2| \le 1\} ve B={y:∣y+1∣≤2}B = \{y : |y + 1| \le 2\} kümeleri tanımlanıyor.

Analitik düzlemde A×BA \times B kartezyen çarpımının grafiğini oluşturan tüm noktaları içine alan en küçük çemberin yarıçapı kaç birimdir?

  1. A
    2
  2. 5\sqrt{5}Cevap
  3. C
    3
  4. D
    252\sqrt{5}
  5. E
    5

Cevap

En küçük çemberin yarıçapı 5\sqrt{5} birimdir.
Doğru cevap, A×BA \times B kümesinin oluşturduğu dikdörtgenin köşegen uzunluğunun yarısıdır. A kümesi x ekseninde 2 birim, B kümesi y ekseninde 4 birim uzunluğunda bir aralık belirtir. Pisagor bağıntısı ile köşegen 22+42=20=25\sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} bulunur. Yarıçap bunun yarısı olan 5\sqrt{5}'tir.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını ve analitik düzlemdeki sınırlarını belirle.
∣x−2∣≤1⇒−1≤x−2≤1⇒1≤x≤3|x - 2| \le 1 \Rightarrow -1 \le x - 2 \le 1 \Rightarrow 1 \le x \le 3. A kümesinin uç noktaları x=1x=1 ve x=3x=3'tür.
Mutlak değer eşitsizliğini çözerek x koordinatlarının aralığını bulmak gerekir.
2
B kümesinin elemanlarını ve analitik düzlemdeki sınırlarını belirle.
∣y+1∣≤2⇒−2≤y+1≤2⇒−3≤y≤1|y + 1| \le 2 \Rightarrow -2 \le y + 1 \le 2 \Rightarrow -3 \le y \le 1. B kümesinin uç noktaları y=−3y=-3 ve y=1y=1'dir.
Mutlak değer eşitsizliğini çözerek y koordinatlarının aralığını bulmak gerekir.
3
A×BA \times B kümesinin oluşturduğu geometrik şekli ve boyutlarını analiz et.
Noktalar x∈[1,3]x \in [1, 3] ve y∈[−3,1]y \in [-3, 1] aralığında bir dikdörtgensel bölge oluşturur. Genişlik =3−1=2= 3-1=2 birim, Yükseklik =1−(−3)=4= 1-(-3)=4 birimdir.
Kartezyen çarpım grafiği, belirtilen aralıklardaki tam sayı noktalarından oluşan bir ızgaradır.
4
Bu noktaları kapsayan en küçük çemberin yarıçapını hesapla.
Çemberin çapı, dikdörtgenin köşegenine eşittir. Köşegen d=22+42=20=25d = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} birimdir. Yarıçap r=d2=5r = \frac{d}{2} = \sqrt{5} birimdir.
Bir dikdörtgeni içine alan en küçük çember, o dikdörtgenin çevrel çemberidir ve çapı dikdörtgenin köşegenidir.

Anahtar Kavram

Kartezyen çarpım grafiğinin geometrik yorumu ve çevrel çember hesabı.

İpuçları

1
Önce A ve B kümelerinin elemanlarını listeleyerek analitik düzlemde hangi aralıklara karşılık geldiklerini bulunuz.
2
A×BA \times B kümesinin elemanları analitik düzlemde bir dikdörtgenin köşeleri ve içindeki tam sayı noktalarıdır. Bu dikdörtgenin boyutlarını (en ve boy) hesaplayınız.
3
Noktaları içine alan en küçük çember, bu dikdörtgenin köşelerinden geçen çemberdir. Bu çemberin çapı, dikdörtgenin köşegen uzunluğuna eşittir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda kümelerin kesişim bölgesinin alanı veya eleman sayısı sorulabilir.

Alternatif Yöntem

Çemberin merkezi dikdörtgenin ağırlık merkezidir. x orta noktası (1+3)/2=2(1+3)/2 = 2, y orta noktası (−3+1)/2=−1(-3+1)/2 = -1. Merkez M(2,−1)M(2, -1) ile en uzak nokta olan (3,1)(3, 1) arasındaki uzaklık formülüyle r=(3−2)2+(1−(−1))2=1+4=5r = \sqrt{(3-2)^2 + (1-(-1))^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5} bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kartezyen Çarpım

Bu konudan daha fazla soru